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        帶電粒子在磁場中運動問題的析與解

        2014-11-22 09:52:38李成林
        求知導(dǎo)刊 2014年10期

        李成林

        摘 要:求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫茲力、圓周運動以及數(shù)學(xué)等知識,本文從帶電粒子在磁場中的受力特點、運動規(guī)律、求解此類問題的一般方法與規(guī)律、范圍型問題四個方面分析了帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動問題,既有理論闡述又結(jié)合實際問題對理論進(jìn)行剖析和解答。

        關(guān)鍵詞:帶電粒子;勻強(qiáng)磁場;析與解

        在高考中物理成了大多數(shù)學(xué)生的“頭痛病”,面對三道大題往往心有余而力不足。帶電粒子在磁場中運動問題近幾年在高考中屢見身影,老師重點講,學(xué)生重點學(xué),但是考試時還是不能順利解決。求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫磁力、圓周運動以及圓的幾何知識等,解題中的障礙往往是由于不能準(zhǔn)確確定運動的軌跡,找不準(zhǔn)半徑與給定長度之間的幾何關(guān)系難以下手。下面作者從帶電粒子在磁場中的受力特點、運動規(guī)律、數(shù)學(xué)知識幾方面談?wù)劷鉀Q此類問題方法。

        一、明確帶電粒子在磁場中的受力特點

        (1)產(chǎn)生洛倫茲力的條件。①電荷對磁場有相對運動;磁場對與其相對靜止的電荷不會產(chǎn)生洛倫茲力作用;②電荷的運動速度方向與磁場方向不平行。

        (2)洛倫茲力大小:當(dāng)電荷運動方向與磁場方向平行時,洛倫茲力f=0;當(dāng)電荷運動方向與磁場方向垂直時,洛倫茲力最大,f=qvB;當(dāng)電荷運動方向與磁場方向有夾角θ時,洛倫茲力f= qvB·sinθ。

        (3)洛倫茲力的方向:洛倫茲力方向用左手定則判斷。

        (4)洛倫茲力不做功。

        二、明確規(guī)律

        只受洛倫茲力作用的帶電粒子在磁場中運動的條件:

        (1)當(dāng)粒子速度方向與磁場方向平行時(θ=0°或180°),帶電粒子在磁場中以原來速度做勻速直線運動。

        (2)當(dāng)電粒子的速度方向與勻強(qiáng)磁場方向垂直時(θ=90°),帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中以原來入射速度做勻速圓周運動。①向心力由洛倫茲力提供:qvB=m—,②軌道半徑公式:R=—,③周期:T=—=—,可見T只與—有關(guān),與v、R無關(guān)。

        三、充分運用數(shù)學(xué)知識

        運用數(shù)學(xué)知識(尤其是幾何中的圓知識,切線、弦、相交、相切、磁場的圓、軌跡的圓)構(gòu)建粒子運動的物理學(xué)模型,歸納帶電粒子在磁場中的題目類型,總結(jié)得出求解此類問題的一般方法與規(guī)律。

        1.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動”的基本型問題

        (1)定圓心、定半徑、定轉(zhuǎn)過的圓心角是解決這類問題的前提。確定半徑和給定的幾何量之間的關(guān)系是解題的基礎(chǔ),有時需要建立運動時間t和轉(zhuǎn)過的圓心角α之間的關(guān)系(t=—T或t=—T)作為輔助。圓心的確定,通常有以下兩種方法。①已知進(jìn)入磁場方向和射出方向時,可通過進(jìn)入點和射出點作垂直于進(jìn)入方向和射出方向的直線,圓弧軌道的圓心是兩條直線的交點(如圖1中P為入射點,M為出射點)。②已知進(jìn)入方向和射出點的位置,可以通過進(jìn)入點作進(jìn)入方向的垂線,連接進(jìn)入點和射出點,作此線段的中垂線,圓弧軌道的圓心是這兩條垂線的交點(如圖2,P為進(jìn)入點,M為射出點)。

        (2)半徑的確定和計算,利用平面幾何關(guān)系,求出該圓的可能半徑或圓心角。并注意以下兩個重要的特點:①φ=α=2θ=ωt,φ為粒子速度的偏向角,α為回旋角,弦切角θ等于AB弦與切線的夾角的2倍,如圖3所示。②θ+θ'=180°即θ與相鄰的弦切角θ'互補(bǔ) ,與相對的弦切角θ相等。

        (3)運動時間的確定。粒子在磁場中運動一周的時間為T,當(dāng)粒子運動的圓弧所對應(yīng)的圓心角為α?xí)r,其運動時間可由下式表示t=—T或t=—T。(注意:帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動具有對稱性)①帶電粒子如果從一直線邊界進(jìn)入又從該邊界射出,則其軌跡關(guān)于入射點和出射點線段的中垂線對稱,入射速度方向、出射速度方向與邊界的夾角相等;②在圓形磁場區(qū)域內(nèi),沿徑向射入的粒子,必沿徑向射出。

        例:如圖4所示,在y<0的區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,磁場方向垂直于xy平面并指向紙面外,以速度v0運動的正電的粒子從O點射入磁場,方向在xy平面內(nèi),與x軸正向的夾角為θ,若帶正電粒子射出磁場的位置與O點的距離為L,求該粒子質(zhì)量M與電量Q的比值。

        審題:本題為一側(cè)有邊界的勻強(qiáng)磁場,粒子從一側(cè)射入,一定從邊界射出,只要根據(jù)弦切角等于回旋角的一半,應(yīng)用對稱規(guī)律①畫出軌跡,畫出直角三角形可求解。

        分析:根據(jù)帶電粒子在有界磁場的對稱性規(guī)律作出運動軌跡,如圖5所示,找出圓心A,作AH垂直x軸,垂足為H,由幾何關(guān)系得:

        Rsinθ=—L......①

        帶電粒子在磁場中作圓周運動,根據(jù)qv0B=—,求得:R=—......②

        ①②聯(lián)解得到:—=—。

        小結(jié):在應(yīng)用一些物理和數(shù)學(xué)的特殊規(guī)律解題時,必須明確規(guī)律適用的條件,準(zhǔn)確無誤地畫出軌跡是關(guān)鍵。

        2. 運動范圍類型的問題

        例:如圖6所示,寬為d的真空區(qū)域內(nèi)有一勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向如圖所示,質(zhì)量為m的帶電負(fù)粒子q,以速度V0垂直射入磁場中,且與CD成θ角。要使粒子一定從EF射出,則初速度V0應(yīng)滿足什么條件?EF上有粒子射出的區(qū)域大小?

        分析:如圖7所示,當(dāng)入射速度很小時電子會在磁場中轉(zhuǎn)動一段圓弧后又從同一側(cè)射出,速率越大,軌道半徑越大,當(dāng)軌道與邊界相切時,電子恰好不能從另一側(cè)射出,當(dāng)速率大于這個臨界值時便從右邊界射出,依此畫出臨界軌跡,借助幾何知識即可求解速度的臨界值;對于射出區(qū)域,只要找出上下邊界即可。

        總結(jié):帶電粒子在磁場中以不同的速度運動時,圓周運動的半徑隨著速度的變化而變化,因此可以將半徑放縮,運用“放縮法”探索出臨界點的軌跡,使問題得解;對于范圍型問題,求解時關(guān)鍵尋找引起范圍的“臨界軌跡”及“臨界半徑R0”,然后利用粒子運動的實際軌道半徑R與R0的大小關(guān)系確定范圍。

        3. 極值型問題

        根據(jù)已學(xué)知識查找極值產(chǎn)生的條件:①同一圓中大弦對應(yīng)大的圓心角;②最大弦是圓的直徑;③由所運動的軌跡確定半徑的極值。

        例:圖9中半徑r=10cm的圓形區(qū)域內(nèi)有勻強(qiáng)磁場,其邊界跟y軸在坐標(biāo)原點O處相切;磁場B=0.33T垂直于紙面向內(nèi),在O處有一放射源S可沿紙面向各個方向射出速率均為v=3.2×106m/s的α粒子;已知α粒子質(zhì)量為m=6.6×10-27kg,電量q=3.2×10-19c,則α粒子在磁場中運動的最長時間t和通過磁場空間的最大偏轉(zhuǎn)角θ各是多少?

        解題分析:因為α粒子速率一定,所以在磁場中圓周運動半徑一定,由于α粒子從點O進(jìn)入磁場的方向不同故其相應(yīng)的軌跡與出場位置均不同,則粒子通過磁場的速度偏向角θ不同,要使α粒子在運動中通過磁場區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角θ最大,則必使粒子在磁場中運動經(jīng)過的弦長最大,因而圓形磁場區(qū)域的直徑即為粒子在磁場中運動所經(jīng)過的最大弦,依此作出α粒子的運動軌跡進(jìn)行求解。

        總結(jié):當(dāng)速度一定時,弧長(或弦長)越長,圓周角越大,則帶電粒子在有界磁場中運動的時間越長。

        4.“帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動”的多解型問題

        抓住多解的產(chǎn)生原因:①帶電粒子電性不確定形成多解;③磁場方向不確定形成多解;②臨界狀態(tài)不唯一形成多解;④運動的重復(fù)性形成多解。

        例:如圖10所示,第一象限范圍內(nèi)有垂直于xoy平面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B。質(zhì)量為m,電量大小為q的帶電粒子在xoy平面里經(jīng)原點O射入磁場中,初速度v0與x軸夾角θ=60°,試分析計算:

        (1)帶電粒子從何處離開磁場?

        (2)穿越磁場時運動方向發(fā)生的偏轉(zhuǎn)角多大?

        (3)帶電粒子在磁場中運動時間多長?

        審題分析:若帶電粒子帶負(fù)電,進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動,圓心為O1,粒子向x軸偏轉(zhuǎn),并從A點離開磁場。若帶電粒子帶正電,進(jìn)入磁場后做勻速圓周運動,圓心為O2,粒子向y軸偏轉(zhuǎn),并從B點離開磁場。粒子速率一定,所以不論粒子帶何種電荷,其運動軌道半徑一定。只要確定粒子的運動軌跡,即可利用上述公式和數(shù)學(xué)知識求解。

        總結(jié):受洛倫茲力作用的帶電粒子,可能帶正電荷,也可能帶負(fù)電荷,在相同的初速度下,正負(fù)粒子在磁場中運動軌跡不同,導(dǎo)致形成雙解。弄清軌跡后可利用公式和數(shù)學(xué)知識求解。

        總之,求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的圓周運動問題往往要用到洛倫磁力、圓周運動、數(shù)學(xué)等知識,通過認(rèn)真審題后,描出正確的運動軌跡草圖,再結(jié)合幾方面的知識才能解出。

        (作者單位:甘肅廣播電視大學(xué)定西市分校)

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