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        從一道高考題談數(shù)量積的求法

        2014-11-22 16:06:04佘雨環(huán)
        求知導刊 2014年10期
        關(guān)鍵詞:思路教材思想

        佘雨環(huán)

        向量是近代數(shù)學中重要和基本的數(shù)學概念,它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具,同時又是數(shù)形結(jié)合思想運用的典范。向量作為代數(shù)對象,它可以運算;作為幾何對象,它有方向和長度。正是由于向量既有幾何形式又有代數(shù)形式的雙重身份。所以使其成為中學數(shù)學知識的一個交匯點,向量的數(shù)量積更是把向量的基本知識與方法融會貫通于一體,所以成為近年高考的一個熱點,平面向量的數(shù)量積的高考考綱要求是:

        (1)理解平面向量數(shù)量積的含義與物理意義。

        (2)了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系。

        (3)掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的坐標運算。

        (4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

        2012年湖南文科高考第15題考查了這樣一道向量題。

        如圖:在平行四邊形ABCD中,

        AP⊥ BD,垂足為P,AP=3,則AP·

        AC=_.

        1.從兩向量數(shù)量積的定義入手

        思路分析:目標為求兩向量的數(shù)量積,首先想到的是兩向量的定義a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉,設AP與AC 的夾角為θ,AC與BD相交于點O,則AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ,|AP| 是已知的,關(guān)鍵是從|AC|和cosθ入手。而△APO是直角三角形,cosθ就與AP和AC都有關(guān)系,從而找到了解題的切入點。

        解法1:設AP與AC 的夾角為θ,

        ∵△APO是直角三角形,

        ∴cosθ=—=—=—

        ∴AP·AC=|AP|·|AC|·cosθ=

        |AP|·|AC|·—=2AP2=18.

        點評:此種解法充分運用數(shù)量積的定義,是最基本最經(jīng)典的一種思路。這與考綱的“理解平面向量數(shù)量積的含義”相吻合。

        2.從兩向量數(shù)量積的幾何意義入手

        思路分析:根據(jù)教材必修4第103頁的內(nèi)容,a·b=|a|·|b|·cos〈a,b〉,設b與a的夾角為θ,如圖,b在a方向上的投影為OB1=|b|cosθ,則a·b等于|a|與b在a方向上的投影的乘積。

        結(jié)合本題的圖形,那么要求AP·AC,關(guān)鍵是找出AC在AP上的投影。由此想到作輔助線的方法,過點C作AP的垂線交AP的延長線于H,則AH為向量AC在AP方向上的投影。再根據(jù)已知條件可求AH的長度。思路至此豁然開朗了。

        解法2:如圖,過點C作AP的垂線交AP的延長線于H。

        ∵△APO和△ACH是直角三角形,且O為AC的中點。

        ∴PO是△ ACH的中位線。

        ∴AH=2AP=6

        ∴AP·AC=|AP|·AH=2AP2=18.

        3.從兩向量數(shù)量積的坐標運算入手

        思路分析:若建立了平面直角坐標系,兩向量的數(shù)量積就有了簡潔的坐標運算公式,若a=(x1,y1),b=(x2,y2)則a·b=x1x2+y1y2。按照此種思路分析,則先應想到恰當建系。

        解法3:如圖,以O為原點,BD所在的直線為X軸,過點O平行于AP的直線為Y軸,作直角坐標系, 設P(-x,0),則A(-x,3),AP=(0,-3),

        又O為AC中點,且O(0,0),由此可得C(X,-3),AC=(0,-6)。

        所以AP·AC=18。

        4.利用兩向量數(shù)量積的運算進行轉(zhuǎn)化

        思路分析:如果兩向量的夾角或者兩向量的模難于直接運算時,也就是說直接運用定義比較困難時,我們有時候可以運用轉(zhuǎn)化思想來求解兩向量的數(shù)量積。轉(zhuǎn)化的目標為已知向量或與已知向量關(guān)系特殊的向量,例如此題中AP為已知向量,AP與BP和BD都垂直,兩向量垂直有一條重要性質(zhì):a⊥b = a·b=0。由此得到如下解法。

        解法4:設AC∩BD=O,則AC=2(AB+BO),AP·AC=AP·2(AB+BO) =

        2AP·AB+2AP·BO=2AP·AB=2AP(AP+PB)=2AP2.

        縱觀此題的各種分析與方法,高考考題的生發(fā)點依然是教材,重視教材的基本概念、基本思想方法是我們復習迎考努力的方向。同時把握好考試大綱對教材的要求,掌握好數(shù)學的數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)化思想,特殊化思想等數(shù)學思想方法。我們就會在知識的海洋里自由翱翔!

        (作者單位:湖南省長沙市雅禮中學)

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