曾 光， 黃 晉， 雷 莉， 寧德圣

(1. 東華理工大學(xué)理學(xué)院，江西 南昌 330013;2. 電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，四川 成都 611731)

考慮二維弱奇異積分

這類積分來源于大量工程問題諸如彈性力學(xué)、斷裂力學(xué)等問題中。其中尋找有效，精度高的數(shù)值方法求解弱奇異積分和弱奇異積分方程成為計(jì)算數(shù)學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)之一(阮周生等，2010;Lifanov et al.，2004;Sidi et al.，1988;Lyness et al.，1967)。對于各類一維奇異積分與奇異積分方程的計(jì)算已有很多學(xué)者做了大量的工作，主要包括配置法和有限元Galerkin 方法，這是由Sloan 等(1988)提出的，配置法是對非奇異部分用一組正交基的線性組合表示，然后用配點(diǎn)求積來處理，每個離散元素需要計(jì)算一重奇異積分;有限元Galerkin 方法對非奇異部分的處理跟配置法相同，即用一組正交基線性表示，然后取內(nèi)積，每個離散元素需要計(jì)算二重奇異積分。這兩種方法存在一些不足:①需要處理奇異積分;②計(jì)算量大，精度低;③很難得到誤差的漸進(jìn)展開式和后驗(yàn)誤差估計(jì)。此外還有Duffy 變換消去法和奇異減方法:這是由Atkinson(1989，1997)提出，Duffy 變換消去法是利用該變換把區(qū)間的奇異性轉(zhuǎn)化到端點(diǎn)部分進(jìn)行計(jì)算，不過同樣存在端點(diǎn)的超奇異性計(jì)算;奇異減方法的不足:雖然奇異消去了，但卻產(chǎn)生了一個高階函數(shù)項(xiàng)和一個已知的奇異部分，仍然存在著一個奇異部分的計(jì)算。

為了克服以上方法的不足，本文主要工作是基于歐拉—麥克勞林展開式和Sidi 推導(dǎo)出的一維弱奇異積分的求積公式基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了二維弱奇異積分的求積公式及其誤差的漸進(jìn)展開式，此類求積公式只需賦值，不需計(jì)算二重積分。因此，計(jì)算量小，同時收斂階大為提高。利用這類積分公式進(jìn)行計(jì)算可以得到十分精確的結(jié)果。這為后面討論多維弱奇異積分方程奠定了堅(jiān)實(shí)地基礎(chǔ)。

1 主要結(jié)論

為方便后面討論，先給出幾個定義:

定義 2.1(b)(Choi et al.，2004).

令h = (b -a)/m，xj= a +jh(j = 0，1，…，m)，

下面給出本文主要結(jié)論證明需用到的引理。

引理2.2 (Sidi et al.，1988)假設(shè)g(x)在［a，b］上2l 階可微，且1.和則當(dāng)h→0 時，誤差的漸進(jìn)展開式為

其中

是一維弱奇異積分的求積公式，B2μ是Bernoulli 數(shù)以及ξ(τ)是Riemamn zeta 函數(shù)，E(h)= I(g)-Q(h)。

推論2.3 假設(shè)g(x)在［a，b］上2l 階可微，G(x)是周期為b-a 的周期函數(shù)。且G(x)在(-∞，上2l 階可微。則當(dāng)h→0 時，誤差的漸進(jìn)展開式為

其中

是一維弱奇異積分的求積公式，B2μ是Bernoulli 數(shù)以及ξ(τ)是Riemamn zeta 函數(shù)。

定理2.4 假設(shè)f(x，y)在區(qū)域［a，b］×［c，d］內(nèi)有直到2l 階偏導(dǎo)數(shù)存在，令 F(x，y) =

0 ＜α，β ＜1.則有誤差的漸進(jìn)展開式

其中

是 二 維 弱 奇 異 積 分 的 求 積 公 式，B2μ是Bernoulli 數(shù)及ξ(τ)是Riemamn zeta 函數(shù)，h =max{hm，hn}，同時

證明:根據(jù)定理2.2，可以推導(dǎo)出

則

下面分別計(jì)算出Pi，i = 1，2，3，4.首先

其中，

這里，

下面求P13，P14

其中

下面計(jì)算P2，P3，

同時，

根據(jù)公式(12，13，15，17 ～20)，完成了此定理的證明。

3 結(jié)語

積分方程數(shù)值解中的一類很重要的數(shù)值方法——機(jī)械求積法的關(guān)鍵是求積公式的構(gòu)造，本文主要基于歐拉—麥克勞林展開式及A. Sidi 和M.Israeli 推導(dǎo)出的一維弱奇異積分的求積公式基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出了新的二維弱奇異積分求積公式及其誤差的漸進(jìn)展開式，此類求積公式只需賦值，不需計(jì)算二重積分。因此，計(jì)算量小，同時收斂階大為提高到。因此，利用這類積分公式進(jìn)行計(jì)算可以得到十分精確的結(jié)果。這為后面討論多維弱奇異積分方程奠定了基礎(chǔ)。

阮周生，孫海. 2010. 同倫攝動法在一類線性積微分方程初值問題中的應(yīng)用［J］. 東華理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，33(3):298-300.

Atkinson K E.1989. An Introduction to Numerical Analysis［M］. 2nd edn. Wiley＆Sons.

Atkinson K E.1997. The Numerical Solution of Integral Equations of the Second Kind［M］. Cambridge University Press.

Choi U J，Kim S W，Yun B I. 2004. Improvement of the asymptotic behavior of the Euler-Maclaurin formula for Cauchy principal value and Hadamard finite-part integrals［J］. Int. J. Numer. Meth. Engin.，61:496-513.

Lyness J N，Ninham B W. 1967. Numerical quadrature and asymptotic expansions［J］. Math. Comp.，21:162-178.

Lifanov I K，Poltavskii L N，Vainikko G M.2004. Hypersingular Integral Equations and Their Applications［M］. ACRC Press Company.

Sidi A，Israeli M. 1988. Quadrature method for periodic singular and weak singular Fredholm integral equations［J］. J Sci. comp.，2:201-231.

Sloan I H，Spence A.1988. The Galerkin method for integral equations of first-kind with logarithmic kernel:theory［J］. IMA J. Numer. Anal.，8:105-122.