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        高中數(shù)學存在性問題解法淺探

        2014-11-20 09:19:02李國強
        中學教學參考·理科版 2014年10期
        關鍵詞:易知例子題意

        李國強

        所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣,綜合性較強.解決該類問題常依據(jù)基本知識去尋求例子(或是反例),即構(gòu)造(進一步探求)出符合條件的,抑或者是否定的例子,或運用反證法去推證.這類問題是高中數(shù)學學習中的一個熱點問題,也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結(jié)論存在,然后再根據(jù)題意去推導,如果得出的結(jié)論符合題意,即存在,若得出的結(jié)論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾,即為不存在.其方法比較靈活,解法巧妙,對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

        一、三角函數(shù)中的存在性問題

        【例1】 (2010年北京大學自主招生試題)是否存在0

        解:假設存在滿足題意的角x,使得sinx,cosx,tanx,cotx成一個等差數(shù)列,則有sinx+tanx=2cosx,且cosx+cotx=2tanx,兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx,即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx,顯然sinx-cosx≠0(否則,由題意0

        令sinx+cosx=t,由0

        點評:首先去假設存在滿足題意的角,然后再用一些基本的概念(等差數(shù)列,三角函數(shù)及其相應的一些公式等)去化簡,最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1,并進行換元(注意取值范圍),從而發(fā)現(xiàn)矛盾.

        二、數(shù)列中的存在性問題

        【例2】 等差數(shù)列a1,a2,a3,…an(n∈N*)的公差為d,若數(shù)列中任意不同兩項之和仍是這個數(shù)列中的一項.求證:必存在整數(shù)m≥1,使a1=md.

        解:假設存在符合題意的整數(shù)m,則由題意任取數(shù)列中兩項as,at(s≠t),由題意可知,存在ak,使ak=as+ata1=(k-s-t+1)d,令m=k-s-t+1,則a1=md.下面證明m≥-1.

        (1)若d=0,結(jié)論顯然成立.

        (2)若d≠0,假設m<-1,取p=-m≥2,由題意知,存在aq,使a1+qp=aq2md+(-m-1)d=md+(q-1)dqd=0不成立.故m≥-1.

        點評:上述例題為數(shù)列中的肯定型存在性問題,這種題一般是抓住特征,從特征去突破.

        三、函數(shù)中的存在性問題

        【例3】 設函數(shù)f(x)=x22,g(x)=e·lnx,是否存在實數(shù)k,b使f(x)≥kx+b≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出k,b的值,若不存在,請說明理由.

        解:函數(shù)f(x)的圖像在(0,+∞)上是單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)的圖像在(0,+∞)上也是單調(diào)遞增.

        設h(x)=f(x)-g(x),由h′(x)≥0得x≥e.即函數(shù)h(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,e)上單調(diào)遞減.

        ∴h(x)min=h(e)=0,∴f(e)=g(e)=e2,∴函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有且僅有一個公共點(e,e2).

        ∵f′(e)=e,∴f(x)與g(x)在公共點(e,e2)的切線方程為y=ex-e2,即為直線y=kx+b.

        ∴k=e,b=e2.

        點評:這類問題,可直接求解,按理論模型進行操作.

        從上面幾個例子我們可以看出,存在性問題在數(shù)學中還是大量存在的,也是高中數(shù)學中比較重要的一個問題,對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視,積極引導學生掌握存在性問題的相關解法,以提高學生的學習效率.

        參考文獻

        [1]葛軍,李善良,游建華.高中數(shù)學競賽讀本(下冊)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

        [2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數(shù)學教學,2004(3):28.

        [3]王為民.構(gòu)造向量的內(nèi)積證明不等式例說[J].數(shù)學學習與研究,2011(21):72.

        [4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數(shù)學教學,2011(3):30.

        (責任編輯 鐘偉芳)

        所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣,綜合性較強.解決該類問題常依據(jù)基本知識去尋求例子(或是反例),即構(gòu)造(進一步探求)出符合條件的,抑或者是否定的例子,或運用反證法去推證.這類問題是高中數(shù)學學習中的一個熱點問題,也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結(jié)論存在,然后再根據(jù)題意去推導,如果得出的結(jié)論符合題意,即存在,若得出的結(jié)論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾,即為不存在.其方法比較靈活,解法巧妙,對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

        一、三角函數(shù)中的存在性問題

        【例1】 (2010年北京大學自主招生試題)是否存在0

        解:假設存在滿足題意的角x,使得sinx,cosx,tanx,cotx成一個等差數(shù)列,則有sinx+tanx=2cosx,且cosx+cotx=2tanx,兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx,即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx,顯然sinx-cosx≠0(否則,由題意0

        令sinx+cosx=t,由0

        點評:首先去假設存在滿足題意的角,然后再用一些基本的概念(等差數(shù)列,三角函數(shù)及其相應的一些公式等)去化簡,最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1,并進行換元(注意取值范圍),從而發(fā)現(xiàn)矛盾.

        二、數(shù)列中的存在性問題

        【例2】 等差數(shù)列a1,a2,a3,…an(n∈N*)的公差為d,若數(shù)列中任意不同兩項之和仍是這個數(shù)列中的一項.求證:必存在整數(shù)m≥1,使a1=md.

        解:假設存在符合題意的整數(shù)m,則由題意任取數(shù)列中兩項as,at(s≠t),由題意可知,存在ak,使ak=as+ata1=(k-s-t+1)d,令m=k-s-t+1,則a1=md.下面證明m≥-1.

        (1)若d=0,結(jié)論顯然成立.

        (2)若d≠0,假設m<-1,取p=-m≥2,由題意知,存在aq,使a1+qp=aq2md+(-m-1)d=md+(q-1)dqd=0不成立.故m≥-1.

        點評:上述例題為數(shù)列中的肯定型存在性問題,這種題一般是抓住特征,從特征去突破.

        三、函數(shù)中的存在性問題

        【例3】 設函數(shù)f(x)=x22,g(x)=e·lnx,是否存在實數(shù)k,b使f(x)≥kx+b≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出k,b的值,若不存在,請說明理由.

        解:函數(shù)f(x)的圖像在(0,+∞)上是單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)的圖像在(0,+∞)上也是單調(diào)遞增.

        設h(x)=f(x)-g(x),由h′(x)≥0得x≥e.即函數(shù)h(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,e)上單調(diào)遞減.

        ∴h(x)min=h(e)=0,∴f(e)=g(e)=e2,∴函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有且僅有一個公共點(e,e2).

        ∵f′(e)=e,∴f(x)與g(x)在公共點(e,e2)的切線方程為y=ex-e2,即為直線y=kx+b.

        ∴k=e,b=e2.

        點評:這類問題,可直接求解,按理論模型進行操作.

        從上面幾個例子我們可以看出,存在性問題在數(shù)學中還是大量存在的,也是高中數(shù)學中比較重要的一個問題,對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視,積極引導學生掌握存在性問題的相關解法,以提高學生的學習效率.

        參考文獻

        [1]葛軍,李善良,游建華.高中數(shù)學競賽讀本(下冊)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

        [2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數(shù)學教學,2004(3):28.

        [3]王為民.構(gòu)造向量的內(nèi)積證明不等式例說[J].數(shù)學學習與研究,2011(21):72.

        [4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數(shù)學教學,2011(3):30.

        (責任編輯 鐘偉芳)

        所謂存在性問題指的是判斷滿足某一些條件的事物是否存在的問題.這類問題所涉及的知識相對來講覆蓋面較廣,綜合性較強.解決該類問題常依據(jù)基本知識去尋求例子(或是反例),即構(gòu)造(進一步探求)出符合條件的,抑或者是否定的例子,或運用反證法去推證.這類問題是高中數(shù)學學習中的一個熱點問題,也是一個難點問題.它的解決方法一般是先假設結(jié)論存在,然后再根據(jù)題意去推導,如果得出的結(jié)論符合題意,即存在,若得出的結(jié)論與我們所學的定理、定義、事實或題意相矛盾,即為不存在.其方法比較靈活,解法巧妙,對學生的能力要求較高.下面筆者就這類問題舉幾個例子來淺談存在性問題的一些簡單解法.

        一、三角函數(shù)中的存在性問題

        【例1】 (2010年北京大學自主招生試題)是否存在0

        解:假設存在滿足題意的角x,使得sinx,cosx,tanx,cotx成一個等差數(shù)列,則有sinx+tanx=2cosx,且cosx+cotx=2tanx,兩式相加得sinx+cosxsinx=cosx+sinxcosx,即sinx-cosx=sinxcosx-cosxsinx,顯然sinx-cosx≠0(否則,由題意0

        令sinx+cosx=t,由0

        點評:首先去假設存在滿足題意的角,然后再用一些基本的概念(等差數(shù)列,三角函數(shù)及其相應的一些公式等)去化簡,最后利用三角恒等式sinx2+cos2x=1,并進行換元(注意取值范圍),從而發(fā)現(xiàn)矛盾.

        二、數(shù)列中的存在性問題

        【例2】 等差數(shù)列a1,a2,a3,…an(n∈N*)的公差為d,若數(shù)列中任意不同兩項之和仍是這個數(shù)列中的一項.求證:必存在整數(shù)m≥1,使a1=md.

        解:假設存在符合題意的整數(shù)m,則由題意任取數(shù)列中兩項as,at(s≠t),由題意可知,存在ak,使ak=as+ata1=(k-s-t+1)d,令m=k-s-t+1,則a1=md.下面證明m≥-1.

        (1)若d=0,結(jié)論顯然成立.

        (2)若d≠0,假設m<-1,取p=-m≥2,由題意知,存在aq,使a1+qp=aq2md+(-m-1)d=md+(q-1)dqd=0不成立.故m≥-1.

        點評:上述例題為數(shù)列中的肯定型存在性問題,這種題一般是抓住特征,從特征去突破.

        三、函數(shù)中的存在性問題

        【例3】 設函數(shù)f(x)=x22,g(x)=e·lnx,是否存在實數(shù)k,b使f(x)≥kx+b≥g(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出k,b的值,若不存在,請說明理由.

        解:函數(shù)f(x)的圖像在(0,+∞)上是單調(diào)遞增,函數(shù)g(x)的圖像在(0,+∞)上也是單調(diào)遞增.

        設h(x)=f(x)-g(x),由h′(x)≥0得x≥e.即函數(shù)h(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,在(0,e)上單調(diào)遞減.

        ∴h(x)min=h(e)=0,∴f(e)=g(e)=e2,∴函數(shù)f(x)與g(x)的圖像有且僅有一個公共點(e,e2).

        ∵f′(e)=e,∴f(x)與g(x)在公共點(e,e2)的切線方程為y=ex-e2,即為直線y=kx+b.

        ∴k=e,b=e2.

        點評:這類問題,可直接求解,按理論模型進行操作.

        從上面幾個例子我們可以看出,存在性問題在數(shù)學中還是大量存在的,也是高中數(shù)學中比較重要的一個問題,對高中生來講也是比較難以掌握的一種題型.對此教師應給予重視,積極引導學生掌握存在性問題的相關解法,以提高學生的學習效率.

        參考文獻

        [1]葛軍,李善良,游建華.高中數(shù)學競賽讀本(下冊)[M].南京:江蘇教育出版社,2012.

        [2]許少華.肯定型存在性問題求解的四種策略[J].中學數(shù)學教學,2004(3):28.

        [3]王為民.構(gòu)造向量的內(nèi)積證明不等式例說[J].數(shù)學學習與研究,2011(21):72.

        [4]謝廣喜.一道自主招生試題多種解題思路的思考[J].數(shù)學教學,2011(3):30.

        (責任編輯 鐘偉芳)

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