陳為剛，馮秀川，梁晨馳，邵亞東

(天津大學(xué)電子信息工程學(xué)院，天津300072)

衡量通信系統(tǒng)的指標(biāo)之一是系統(tǒng)的可靠性，而信道編碼是保證數(shù)據(jù)傳輸可靠性的一項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)。通過信道編碼可降低系統(tǒng)的誤比特率(Bit Error Rate，BER)，滿足一些通信系統(tǒng)對低BER的要求，例如數(shù)字廣播中所要求的BER至少要低至10－11。

傳統(tǒng)的高效編碼技術(shù)，如Turbo碼和低密度奇偶校驗(yàn)(Low－Density Parity－Check，LDPC)碼都可獲得非常低的譯碼門限性能，但設(shè)計(jì)的大多數(shù)高效糾錯碼都存在誤碼平層現(xiàn)象［1－2］。而設(shè)計(jì)基于LDPC碼的高效級聯(lián)碼是解決糾錯碼誤碼平層問題的一個有效方法。例如，中國地面數(shù)字電視傳輸(DTMB)標(biāo)準(zhǔn)采用的LDPC碼與BCH碼的級聯(lián)碼使得系統(tǒng) BER 低至10－12～10－11［3］。歐洲第二代衛(wèi)星數(shù)字電視廣播(DVB－S2)標(biāo)準(zhǔn)也采用LDPC碼與BCH碼的級聯(lián)碼作為信道編碼方案［4］。由P Elias提出的乘積碼［5］也是一種通過短碼構(gòu)造長碼用以提高性能的有效方法。目前基于LDPC碼的乘積碼構(gòu)造已取得有價值的研究成果，文獻(xiàn)［6］中基于IEEE802.16e標(biāo)準(zhǔn)中LDPC碼構(gòu)造了一種低復(fù)雜度的乘積碼;文獻(xiàn)［7］針對移動數(shù)字電視提出一種基于LDPC碼的乘積碼。

本文基于DTMB標(biāo)準(zhǔn)中的LDPC碼與BCH碼構(gòu)造乘積碼，而且構(gòu)造了不同碼長的乘積碼。與DTMB標(biāo)準(zhǔn)中的級聯(lián)碼相比，構(gòu)造的乘積碼也可有效降低LDPC碼的誤碼平層，并且乘積碼的編譯碼運(yùn)算復(fù)雜度沒有增加，只是延時與存儲量增加。

1 DTMB中的級聯(lián)碼方案

LDPC碼具有良好的性能，但由于誤碼平層問題的存在，使得LDPC碼很難實(shí)現(xiàn)極低的誤比特率。為解決LDPC碼的誤碼平層問題，DTMB標(biāo)準(zhǔn)采用了以BCH碼為外碼，LDPC碼為內(nèi)碼的級聯(lián)碼方案［8］。級聯(lián)碼中出現(xiàn)的錯誤主要由LDPC碼糾正，而BCH碼的作用主要是降低LDPC碼的誤碼平層，使得DTMB系統(tǒng)的誤碼平層低于10－12。

DTMB標(biāo)準(zhǔn)中采用的BCH(762，752，t=1)碼是BCH(1 023，1 013，t=1)碼的縮短碼。DTMB標(biāo)準(zhǔn)提供了等效碼率為0.4，0.6和0.8的3種LDPC 碼。3種碼率的LDPC 碼為 LDPC(7 493，3 048)碼、LDPC(7 493，4 572)碼和LDPC(7 493，6 096)碼。LDPC碼對應(yīng)的生成矩陣中的小矩陣 Gi，j為循環(huán)矩陣，大小為b×b，0≤i≤k－1，0≤j≤c－1。3種碼率的LDPC碼與BCH 碼級聯(lián)得到的3種前向糾錯碼結(jié)構(gòu)分別為:

1)FEC(7 488，3 008)碼:首先 BCH 碼進(jìn)行編碼，得到的4個BCH(762，752)碼字作為LDPC碼的信息位比特，然后LDPC碼編碼得到LDPC(7 493，3 048)碼，再將LDPC(7 493，3 048)碼前面的5個校驗(yàn)位刪除。其中，LDPC(7 493，3 048)碼的生成矩陣參數(shù)為k=24，c=35，b=127。

2)FEC(7 488，4 512)碼:首先BCH碼進(jìn)行編碼，得到的6個BCH(762，752)碼字作為LDPC碼的信息位比特，然后LDPC碼編碼得到LDPC(7 493，4 572)碼，再將LDPC(7 493，4 572)碼前面的5個校驗(yàn)位刪除。其中，LDPC(7 493，4 572)碼的生成矩陣參數(shù)為k=36，c=23，b=127。

3)FEC(7 488，6 016)碼:首先BCH碼進(jìn)行編碼，得到的8個BCH(762，752)碼字作為LDPC碼的信息位比特，然后LDPC碼編碼得到LDPC(7 493，6 096)碼，再將LDPC(7 493，6 096)碼前面的5個校驗(yàn)位刪除。其中，LDPC(7 493，6 096)碼的生成矩陣參數(shù)為k=48，c=11，b=127。

LDPC碼編碼器輸出的碼字，校驗(yàn)比特在前，信息比特在后。例如，等效碼率為0.4的編碼器輸出信號中輸入信息、BCH碼校驗(yàn)比特、LDPC碼校驗(yàn)比特的關(guān)系如圖1所示。圖1 中，DATA1、DATA2、DATA3、DATA4 表示每個 BCH 碼字的信息比特，標(biāo)志“BCH”表示BCH碼的校驗(yàn)比特。

圖1 碼率為0.4的LDPC碼編碼器輸出信號示意圖

2 乘積碼的構(gòu)造

基于上述DTMB中的級聯(lián)碼方案，本文提出基于DTMB標(biāo)準(zhǔn)中LDPC碼與BCH碼構(gòu)造更高性能的乘積碼的方法。構(gòu)造的乘積碼中BCH(n1，k1)碼和LDPC(n2，k2)碼的參數(shù)為:n1=762，k1=752，n2=7 488。不同碼率的LDPC碼k2不同。碼率為0.4的LDPC碼與BCH碼構(gòu)造的乘積碼碼字結(jié)構(gòu)如圖2所示。由圖2可得，每一行為一個LDPC碼碼字，除右邊陰影部分外的剩余部分中每a列為一個BCH碼碼字，也即每個LDPC碼包含的每個BCH碼中的比特數(shù)目為a，a為762的因子。由此可知該乘積碼中，BCH碼碼字?jǐn)?shù)目為LDPC碼的信息比特數(shù)目除以a，即k2/a，LDPC碼碼字的數(shù)目為縮短的BCH碼碼長除以a，即n1/a。若a=762，該乘積碼就退化為DTMB中的級聯(lián)碼，成為這里提出方法的特例。表1給出3種碼率的LDPC碼構(gòu)造的乘積碼中BCH碼與LDPC碼的數(shù)目，在該表中a的取值分別為1、2和3。不同的a值構(gòu)造的乘積碼的碼長不同。

圖2 碼率為0.4的LDPC碼與BCH碼構(gòu)造的乘積碼

表1 基于LDPC碼與BCH碼的乘積碼的構(gòu)成

以下介紹乘積碼的編譯碼過程。乘積碼編碼過程:首先進(jìn)行BCH碼編碼，一個乘積碼中的所有BCH碼編碼完成后再進(jìn)行LDPC碼編碼，LDPC碼編碼完成也即整個乘積碼的編碼過程結(jié)束。乘積碼具體編碼過程如下:

1)BCH碼編碼

圖2所示的乘積碼結(jié)構(gòu)中，輸入的信息比特序列(圖2中無陰影部分所示)按列劃分為k2/a列，每一列又包含a列且包含的比特數(shù)目為k1，每一列的k1個比特為一個BCH碼碼字的信息比特。k1個比特利用循環(huán)碼的編碼方式進(jìn)行編碼。由于BCH(n1，k1)碼為縮短BCH碼，所以在BCH碼編碼前需要添加261 bit的0，編碼完成后將261 bit的0舍棄，不進(jìn)行傳輸。BCH碼編碼完成后共有k2/a個BCH碼碼字。

2)LDPC碼編碼

BCH碼編碼完成后，(k2/a)×n1個比特劃分為n1/a行，每一行包含k2個比特，每一行的k2個比特為一個LDPC碼碼字的信息比特。由于DTMB中的LDPC碼為準(zhǔn)循環(huán)LDPC碼，生成矩陣為準(zhǔn)循環(huán)矩陣，所以LDPC碼的編碼可采用移位寄存器編碼實(shí)現(xiàn)［9］。根據(jù)不同LDPC碼碼率對應(yīng)的生成矩陣完成LDPC碼編碼。編碼完成后得到n1/a個碼率為R2=k2/n2的LDPC碼碼字，得到的乘積碼碼長為(n1/a)×n2bit。

編碼完成后對碼字進(jìn)行發(fā)送，信道模型為加性高斯白噪聲信道。接收端根據(jù)信道接收值進(jìn)行譯碼，乘積碼的譯碼過程為:先對LDPC碼進(jìn)行譯碼，n1/a個LDPC碼譯碼完成后，再對k2/a個BCH碼進(jìn)行譯碼。乘積碼譯碼過程具體實(shí)現(xiàn)如下:

1)根據(jù)信道接收值計(jì)算出每個LDPC碼碼字的先驗(yàn)概率信息，從而實(shí)現(xiàn)LDPC碼的迭代譯碼。LDPC碼譯碼采用偏移修正最小和(Offset Min －Sum，OMS)譯碼算法［10］，在一個乘積碼中需要對n1/a個LDPC碼碼字進(jìn)行譯碼。

2)n1/a個LDPC碼譯碼完成后，BCH碼采用循環(huán)碼的捕錯譯碼算法或者是Berlekamp－Massey(BM)譯碼算法進(jìn)行譯碼，需要分別對k2/a個BCH碼進(jìn)行譯碼。

與級聯(lián)碼相比，本文構(gòu)造的性能優(yōu)越的乘積碼的編譯碼復(fù)雜度并沒有增加，且碼長明顯增大，從而性能有一定的改善。但由于碼長變長，編譯碼過程中所需的存儲量增加，延時也會增大。

3 仿真結(jié)果與分析

DTMB中3種碼率的LDPC碼與BCH碼構(gòu)造出3種不同的乘積碼，而通過設(shè)置不同的a值可得到不同碼長的乘積碼。本文對3種碼率和3種a值的乘積碼在加性高斯白噪聲(Additive White Gaussian Noise，AWGN)信道下進(jìn)行仿真，調(diào)制方式為二進(jìn)制相移鍵控(Binary Phase Shift Keying，BPSK)。將仿真得到的乘積碼的性能與對應(yīng)碼率的級聯(lián)碼的性能進(jìn)行對比，仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。其中，BCH(1 023，1 013)碼的生成多項(xiàng)式為g(x)=1+x3+x10，LDPC碼OMS譯碼算法中采用的偏移量修正因子為0.6［11］，LDPC 碼的最大迭代譯碼次數(shù)為30 次。

3 LDPC碼碼率為0.4時對應(yīng)的級聯(lián)碼與乘積碼的性能對比

圖5 LDPC碼碼率為0.8時對應(yīng)的級聯(lián)碼與乘積碼的性能對比

由圖3中級聯(lián)碼與乘積碼的性能對比曲線可看出，當(dāng)誤比特率低于5×10－4時，乘積碼的性能優(yōu)于級聯(lián)碼的性能。在誤比特率為1×10－8時，a=1對應(yīng)的乘積碼相比于級聯(lián)碼有約為0.12 dB的編碼增益，a=2，a=3所對應(yīng)的乘積碼的編碼增益約為0.03 dB。由圖4可得，在誤比特率為1×10－7時，與級聯(lián)碼相比，a=1對應(yīng)的乘積碼的編碼增益約為0.11 dB，a=2和a=3對應(yīng)的乘積碼的編碼增益約為0.02 dB。圖5中，誤比特率低于1×10－3時，乘積碼性能優(yōu)于級聯(lián)碼的性能。在誤比特率為1×10－7時，與級聯(lián)碼相比，a=1對應(yīng)的乘積碼的編碼增益約為0.12 dB，a=2和a=3對應(yīng)的乘積碼的編碼增益約為0.05 dB。綜合圖3～圖5，a=1時，乘積碼較級聯(lián)碼有一定的編碼增益，不足是譯碼需要的存儲量和譯碼延時增加。由于本文的性能對比采用計(jì)算機(jī)仿真，僅測試到BER為1×10－7，隨著錯誤率的降低，乘積碼的性能將進(jìn)一步改善，這將在硬件平臺上進(jìn)行更低誤比特率下的編碼增益的驗(yàn)證。

4 小結(jié)

基于DTMB中LDPC碼與BCH碼，本文實(shí)現(xiàn)了與級聯(lián)碼編譯碼復(fù)雜度相當(dāng)?shù)某朔e碼的構(gòu)造。仿真結(jié)果表明，與級聯(lián)碼相比，在誤比特率為1×10－7且碼率相同時，構(gòu)造的不同碼長的乘積碼均能獲得編碼增益，有一定的應(yīng)用價值;每個LDPC碼中包含的每個BCH碼的比特數(shù)目為2和3時的乘積碼較級聯(lián)碼的增益非常有限。未來的研究中將在硬件平臺上驗(yàn)證對比級聯(lián)碼與乘積碼的性能。

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