王曉鵬，王明泉，侯慧玲

(中北大學(xué)儀器科學(xué)與動(dòng)態(tài)測(cè)試教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山西太原030051)

CT重建算法分為解析法與迭代法兩大類(lèi)，解析法中的卷積反投影算法(CBP)廣泛應(yīng)用于商業(yè)和工業(yè)中，濾波函數(shù)的選擇是其中的關(guān)鍵。濾波器的作用是消除反投影過(guò)程中的星形偽影，其頻率響應(yīng)理論上要求H(ρ)=，ρ為空間頻率，其頻帶無(wú)限，根據(jù)佩利－維納準(zhǔn)則，這種濾波器是無(wú)法獲得的，可通過(guò)其進(jìn)行加窗處理實(shí)現(xiàn)，即H(ρ)=W(ρ)，其中W(ρ)為窗函數(shù)。常用的窗函數(shù)是矩形窗和sinc函數(shù)窗，對(duì)應(yīng)的濾波函數(shù)為R－L濾波函數(shù)和S－L濾波函數(shù)。R－L濾波函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是形式簡(jiǎn)單實(shí)用，重建圖像輪廓清晰，缺點(diǎn)是有Gibbs效應(yīng)，表現(xiàn)為明顯的振蕩，當(dāng)有噪聲時(shí)重建質(zhì)量較差。S－L濾波函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是重建的圖像振蕩響應(yīng)較小，對(duì)噪聲具有一定的抑制作用，缺點(diǎn)是由于其在低頻段偏離了的緣故，所以其在低頻段的重建質(zhì)量沒(méi)有R－L濾波函數(shù)高［1］。因此針對(duì)它們的缺點(diǎn)，必須要對(duì)重建過(guò)程中的濾波函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)。人們?cè)诖酥筇岢隽藢煞N濾波函數(shù)進(jìn)行混合的R－L－S－L濾波函數(shù)［2］，對(duì)兩者各自的優(yōu)缺點(diǎn)進(jìn)行了折衷，取得了一定的效果。文獻(xiàn)［3］從理想函數(shù)的概念出發(fā)提出了一種新的濾波函數(shù)，記為New濾波函數(shù)，其表達(dá)為

文獻(xiàn)［4］通過(guò)將R－L與New濾波函數(shù)混合得到一種濾波函數(shù)，記為R－L－New濾波函數(shù)，表達(dá)式為

本文在前人的基礎(chǔ)上提出了一種新的濾波函數(shù)。通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析，新濾波函數(shù)比傳統(tǒng)的濾波函數(shù)對(duì)噪聲有更好的抑制作用，也能很好地抑制振蕩。它將空間分辨率和密度分辨率做了很好的綜合，得到了較好的重建效果。

1 新濾波函數(shù)的構(gòu)建思路

濾波函數(shù)的選取主要考慮3個(gè)因素:主瓣、近鄰旁瓣以及遠(yuǎn)處旁瓣。主瓣越高越窄，空間的分辨率就越好。旁瓣越小，數(shù)值精度越高，密度分辨率越高［5］。從信號(hào)與系統(tǒng)的角度，可以利用加權(quán)平均的思想，使主瓣變低旁瓣變小，以犧牲一定空間分辨率來(lái)提高密度分辨率。經(jīng)典的S－L濾波函數(shù)的采樣序列為

進(jìn)行加權(quán)平均的時(shí)候并不是用的點(diǎn)越多越好，當(dāng)大于3點(diǎn)時(shí)，濾波函數(shù)的性質(zhì)將嚴(yán)重變壞，沒(méi)有必要選取［6］。因此對(duì)S－L濾波函數(shù)進(jìn)行3點(diǎn)加權(quán)平均，記為MS－L濾波函數(shù)，其采樣序列為

即

圖1和圖2分別為 R－L，R－L－New 和 MS－L三種濾波函數(shù)主瓣和遠(yuǎn)旁瓣的離散分布。對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)R－L濾波函數(shù)的主瓣高而窄，空間分辨率較好，但是它的遠(yuǎn)旁瓣幅度和寬度都較大，所以Gibbs效應(yīng)很?chē)?yán)重。而MS－L濾波函數(shù)的主瓣較低且寬，但是它的旁瓣收斂快，有利于抑制Gibbs效應(yīng)和噪聲，密度分辨率高。R－L－New介于兩者之間。由此可以得出在設(shè)計(jì)濾波函數(shù)的時(shí)候可以兼顧空間和密度分辨率，從整體提高重建質(zhì)量。

圖1 各種濾波函數(shù)的空域主瓣分布

受混合濾波思想的啟發(fā)將R－L濾波函數(shù)與MS－L濾波函數(shù)進(jìn)行線性混合得到一種新的混合濾波函數(shù)，它的沖擊響應(yīng)為

式中:k1≥0，k2≥0，k1+k2=1。k1，k2的值是可以調(diào)節(jié)的，當(dāng)k1=0時(shí)，它是R－L濾波函數(shù)，當(dāng)k2=0時(shí)，它是MS－L的混合濾波函數(shù)，其采樣序列為

圖2 各種濾波函數(shù)的空域主瓣分布

2 實(shí)驗(yàn)仿真與結(jié)果分析

本文對(duì)二維Shepp－Logan模型［7］分別使用 R－L濾波函數(shù)、R－L－New混合濾波函數(shù)和本文濾波函數(shù)進(jìn)行平行束重建。對(duì)得到的投影加入均值為0、方差為1的高斯噪聲，噪聲強(qiáng)度為5%。為了評(píng)價(jià)重建后的圖像質(zhì)量，本文采用歸一化均方距離對(duì)圖像進(jìn)行評(píng)價(jià)，即

式中:tu，v，ru，v分別表示測(cè)試模型和重建后圖像中各點(diǎn)的像素密度;為測(cè)試模型密度的平均值。d較敏感地反映少數(shù)點(diǎn)的大誤差情況，d值越大表示兩者偏差越大［1］。圖3a為原始Shepp－Logan，圖3b為其橫線部分，即第128行的灰度曲線。圖4～圖6分別為利用R－L，R－L－New和R－L－MS－L濾波函數(shù)重建后的結(jié)果和對(duì)應(yīng)橫線部分的灰度曲線。

圖3 原始圖

圖4 R－L濾波結(jié)果

圖5 R－L－New濾波結(jié)果

通過(guò)圖4～圖6的對(duì)比可以看出新濾波函數(shù)比R－L和R－L－New濾波函數(shù)重建后的圖像更加平滑且更接近原始圖像。

為了研究不同的噪聲強(qiáng)度對(duì)重建質(zhì)量的影響，在投影中分別加入強(qiáng)度為5%，10%，20%的高斯噪聲，然后分別利用R－L，R－L－New 和R－L－MS－L 濾波函數(shù)進(jìn)行重建。并利用式(8)作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)得到表1。

表1 3種濾波函數(shù)在不同噪聲強(qiáng)度下的歸一化距離

通過(guò)對(duì)表1的定量分析可以看出，在不同噪聲強(qiáng)度下利用本文濾波函數(shù)重建圖像的歸一化均方距離更小，比R－L－New濾波函數(shù)的抗噪聲性能更好。

為了研究系數(shù)k1對(duì)R－L－MS－L濾波函數(shù)的影響，選取不同的值重建，得到系數(shù)與歸一化均方距離的關(guān)系，如圖7所示。通過(guò)觀察可以看出，在無(wú)噪聲的情況下本文濾波函數(shù)選取的最佳k1為0.7左右。此時(shí)可以更好地抑制振蕩與噪聲。

圖7 不同k1時(shí)的歸一化均方距離

對(duì)實(shí)驗(yàn)室采集到的360幅1 024×1 024的火箭發(fā)動(dòng)機(jī)模型投影數(shù)據(jù)進(jìn)行FDK重建。圖8a和圖8b分別是采用R－L－New和新濾波函數(shù)重建的第150層的切片圖像，從圖中可以看出采用R－L－MS－L濾波函數(shù)重建的圖像細(xì)節(jié)信息更加清晰，圖像質(zhì)量更好。

圖8 R－L－New和新濾波重建結(jié)果

3 小結(jié)

本文通過(guò)結(jié)合混合濾波器和多點(diǎn)加權(quán)平均的思想提出了一種新的濾波函數(shù)即R－L－MS－L濾波函數(shù)。通過(guò)實(shí)驗(yàn)與仿真，從定性和定量?jī)蓚€(gè)角度都可以看出，R－LMS－L濾波函數(shù)比傳統(tǒng)的R－L和R－L－New濾波函數(shù)重建后的圖像質(zhì)量都要好。它有效抑制了圖像重建時(shí)的振蕩，使重建后的圖像更平滑，且其抗噪聲性能比傳統(tǒng)的濾波函數(shù)更高。在無(wú)噪聲的情況下選擇k1=0.7，可以較好地改善重建圖像的空間分辨率和密度分辨率。

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