劉 超， 孫 秦， 劉彥杰

(西北工業(yè)大學 航空學院，西安710072)

金屬材料的單向拉伸試驗為研究材料基本力學性能提供了數(shù)據(jù)參考。模擬金屬棒材試件在單向拉伸狀態(tài)下的裂紋形成與擴展直至完全斷裂的全過程非常必要。數(shù)值仿真與真實試驗相比成本低，并能獲得真實試驗難以測量的數(shù)據(jù)。因此，基于斷裂力學或損傷力學為基本理論進行數(shù)值模擬延性金屬構件的斷裂過程一直是工程材料力學性能研究中的熱點。在對光滑圓試樣和帶缺口試樣的有限元仿真計算中，通常選用含旋轉的軸對稱單元(二維單元)來劃分網(wǎng)格，將本應選用體單元劃分網(wǎng)格進行分析的三維應力問題進行簡化。三維應力狀態(tài)下的數(shù)值計算更接近于試件單向拉伸直至斷裂的整個過程。

楊慶生等［1］基于自適應有限元法的基本原理并假設裂紋沿著單元之間的路徑連續(xù)擴展，發(fā)展了一種可隨裂尖連續(xù)移動的網(wǎng)格動態(tài)加密和釋放方法。黃向平等［2］討論了自適應有限元模擬裂紋擴展的網(wǎng)格生成技術，通過修改裂紋周圍單元的形狀及單元間的鄰接關系，實現(xiàn)網(wǎng)格動態(tài)劃分對裂紋擴展的跟蹤。上述研究均基于斷裂力學基本理論并用有限元法進行數(shù)值分析，其局限性為必須確定裂紋擴展的路徑或不斷地重新劃分網(wǎng)格。文獻［3 ～5］分別利用邊界元方法、熱權函數(shù)法和多虛擬裂紋擴展技術、有限元法研究了三維狀態(tài)下I 型裂紋擴展。然而其局限性為均采用斷裂力學方法研究，所選構件必須含有初始裂紋，無法模擬無初始裂紋構件的裂紋萌生。文獻［6］在總結前人［7，8］研究的基礎上提出了Gurson 模型，Tvergaard 和Needleman［9～12］隨后對初始Gurson 模型進行了修正。應用GTN 本構模型能夠模擬通過空穴形核和長大的累積微觀斷裂，因此可以應用于模擬金屬的延性斷裂。

TC4 鈦合金以其強度高、耐蝕性好、耐熱性高的特點廣泛應用于航空航天工業(yè)中，主要用于制造發(fā)動機的風扇和壓氣機盤及葉片以及飛機結構中的梁和隔框等重要承力構件。但人們通常關注合金的制備工藝對性能影響的研究，最近趙嘉琪等［13］研究了α 污染層對鑄態(tài)合金沖擊性能的影響，劉曉華等［14］研究了焊接接頭的疲勞性能，但是少有關于合金受力過程的報道。本工作采用GTN準則與有限元數(shù)值計算相結合的方法對TC4 鈦合金光滑圓試樣和兩種不同缺口形式的試樣進行靜力破壞過程的數(shù)值模擬。模擬時除了選用含旋轉的軸對稱單元(二維單元)來劃分網(wǎng)格的簡化計算外，又采用三維應力狀態(tài)下體單元劃分網(wǎng)格的方法來模擬TC4 鈦合金棒材試件單向拉伸試驗的過程。并與試驗結果進行了對比分析。

1 TC4 鈦合金靜強度單向拉伸試驗

1.1 TC4 鈦合金光滑圓試樣和帶缺口試樣的靜力拉伸試驗

單向拉伸試驗所選材料為高強度變形TC4 鈦合金，其名義化學成分如表1 所示［15］。

三種試樣的TC4 鈦合金單向拉伸試驗分別為:光滑圓試樣的單向拉伸試驗(圖1a 定義為試樣a)，兩種帶有不同大小缺口試樣的單向拉伸試驗(圖1b和圖1c，定義為試樣b 和試樣c)。三種形狀試樣拉伸試驗均在Instron8801 試驗機上進行，試樣尺寸如圖1 所示。三種形狀試樣斷裂后的宏觀形貌如圖2所示。TC4 鈦合金工程應力-應變曲線和真實應力-應變曲線如圖3 所示。其中真實應力-應變曲線中未包含頸縮后的無效數(shù)據(jù)，因為利用頸縮前的數(shù)據(jù)就能完成基體無損傷真實應力-應變曲線的構造。

表1 TC4 鈦合金的化學成分(質量分數(shù)/%)Table 1 Chemical compositions of TC4 titanium alloy(mass fraction/%)

圖1 試樣示意圖Fig.1 Illustration of specimens (unit:mm) (a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖2 3 種拉伸試樣宏觀斷裂形貌Fig.2 Macroscopic fracture morphology of three specimens(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖3 應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain curve

2 損傷模型和本構關系

2.1 GTN 模型

Gurson 模型中考慮了靜水壓力和空穴體積分數(shù)對屈服面的影響。材料的空穴體積分數(shù)f 是一個從0 到1 的數(shù)，分別對應無損傷材料和完全損傷材料。Tvergaard 和Needleman 隨后對Gurson 模型進行修正，其表達式如下:

式(1)中σeq為Von-Mises 等效應力，σ*為基體的流變應力，σkk為第一應力不變量，q1，q2，q3為考慮到空穴周圍非均勻應力場和相鄰空穴之間相互作用的修正系數(shù)，且q3=q21。f*為材料空穴體積分數(shù)的方程，如式(2)和式(3):

式(2)中fc表示空穴體積分數(shù)的臨界值，當f 達到fc時材料的應力承載能力便迅速衰減。fF表示應力承載能力完全喪失時的空穴體積分數(shù)。f*F為關于q1，q2，q3的方程?？昭ǖ男纬汕闆r可用下式表示:

2.2 金屬大變形的本構關系

由正交性條件和塑性加載的一致性條件，張克實［16］給出了適用于金屬大變形的GTN 塑性本構方程如下:

式(5)的逆行式如式(6)所示:

式(5)和式(6)中

Dij是形變率張量且vi是物質點的速度，xi是瞬時坐標;σ▽ij是柯西應力σij的Jaumann 率;E，μ 為彈性模量和泊松比;σ'ij為應力偏張量;α*在單向拉伸時取值為1;δij是克羅內(nèi)克符號;σeq為Von-Mises 等效應力;σ*為基體的流變應力;Φ 為式(1)所表示的空穴材料的塑性勢。

3 三種試樣單向拉伸的數(shù)值計算

3.1 光滑圓試樣、帶缺口試樣單向拉伸試驗的數(shù)值仿真計算

三維有限元模型根據(jù)光滑圓試樣和兩種不同缺口半徑的試樣全尺寸建模，二維有限元模型選取橫截面的1/2 且沿長度方向的縱軸為對稱軸，如圖4和圖5 所示，在長度方向(y 方向)一端施加位移約束，另一端添加位移載荷，后處理中可通過計算約束端支反力的方式確定力載荷。劃分網(wǎng)格時兩端稀疏，預計斷裂的危險區(qū)域加密網(wǎng)格。

圖4 三維有限元模型圖Fig.4 Illustration of the 3-dimensional finite element model(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

圖5 二維有限元模型圖Fig.5 Illustration of the 2-dimensional finite element model(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

三維有限元模型中單元類型采用帶有沙漏控制的8 節(jié)點縮減積分體單元(C3D8R)。在稀疏區(qū)與加密區(qū)之間用四面體單元(C3D4)過渡。二維有限元模型中單元類型采用沙漏控制的4節(jié)點縮減積分軸對稱單元(CAX4R)。稀疏區(qū)與加密區(qū)之間用軸對稱單元(CAX3)進行過渡。加密區(qū)最小單元尺寸取0.1mm。數(shù)值計算中所選材料密度ρ =4400kg/m3，泊松比μ =0. 34，彈性模量E =1.09 ×105MPa 可由彈性段試驗數(shù)據(jù)獲得。應用GTN 損傷模型進行數(shù)值計算需要的無損傷材料的應力-應變曲線獲取方法可通過材料真實應力-應變曲線進行適當處理得出［17］，材料彈性數(shù)據(jù)保持不變，進入塑性后在曲線上遠離真實應力最大值的某一點處將其延伸，并選擇延伸起點應變?yōu)?.025，如圖6 所示。

圖6 真實應力-應變曲線Fig.6 True stress-strain curve

將圖6 中的真實應力-應變曲線應用式(8)進行處理，即可得到材料進入塑性后無損傷的真實應力-塑性應變曲線，如圖7 所示。

圖7 真實應力-塑性應變曲線Fig.7 True stress-plastic strain curve

圖7 中所示無損傷情況下真實應力-塑性應變曲線即為數(shù)值計算所需要輸入的塑性數(shù)據(jù)，可表示為式(9)的形式。

式(8)中εpl表示塑性應變，εtrue表示真實應變，E 為彈性模量，σtrue為真實應力。

式(9)中εpl表示塑性應變，εk表示參考應變，σy0初始屈服應力，σm為無損傷曲線中硬化階段的真實應力，n 為硬化指數(shù)。計算中所選無損傷真實應力-塑性應變曲線參數(shù)為σy0=850MPa，εk=0.018，n =0.13。

數(shù)值計算中對于絕大多數(shù)金屬材料而言選用q1= 1.5 ，q2= 1 ，q3= 2.25 ，fN是一個小于1 的數(shù)，通常取值范圍在(0.01，0.07)之間，εN取值范圍在(0.1，0.3)，SN取值范圍在(0.05，0.1)，空穴體積分數(shù)的初值f0= 0 ，即假設材料初始狀態(tài)是完全無任何損傷的。fc和fF可根據(jù)試樣斷裂發(fā)生時載荷-位移曲線中的數(shù)據(jù)確定。且fc和fF相比，斷裂發(fā)生時關鍵空穴體積分數(shù)fc起決定作用。通過數(shù)十次有限元數(shù)值計算，并與真實試驗所得載荷-位移曲線進行反復對比，并使最大誤差小于5%，最終確定的GTN 損傷模型參數(shù)如表2 所示。

表2 數(shù)值仿真選用的GTN 損傷模型參數(shù)Table 2 GTN damage model parameters for simulation

應用上述GTN 模型參數(shù)分別對本工作所選三種單向拉伸試樣進行數(shù)值計算后，三維應力狀態(tài)下有限元計算所得載荷-位移曲線相對應的預測宏觀斷裂形貌與試驗結果對比，如圖8 所示。

圖8 對比各試樣宏觀斷裂形貌的試驗結果和仿真結果Fig.8 Comparison of macroscopic fracture morphology of three specimens between experimental and simulation results(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

通過圖8 對比各試樣宏觀斷裂形貌的試驗結果和仿真結果可知，GTN 模型預測出的三種試樣的宏觀斷裂形貌，與真實試樣宏觀斷裂形貌基本一致。仿真結果和光滑圓試樣拉斷后的斷面收縮情況，均能反映出光滑圓試樣在拉伸過程中出現(xiàn)過明顯的頸縮現(xiàn)象。所得各試樣載荷-位移曲線與數(shù)值仿真所得載荷-位移曲線如圖9 所示。

圖9 試驗數(shù)據(jù)和仿真結果的載荷-位移曲線Fig.9 Comparisons of load-displacement curves between experimental and simulation results(a)specimen a;(b)specimen b;(c)specimen c

由圖9 可知，應用GTN 模型在考慮幾何非線性［18］時可以很好地預測出TC4 光滑圓試樣和兩種帶有不同尺寸缺口的試樣的載荷-位移曲線，清晰地反映了三種試樣在單向拉伸直至斷裂的整個過程。二維有限元模型計算結果與三維有限元模型計算結果略有偏差，但與真實試驗載荷-位移曲線結果相比誤差均小于5%。當不考慮幾何非線性的影響時所得結果在彈性段相差不大，但是在塑性大變形階段，載荷-位移曲線明顯比考慮幾何非線性時顯得“剛硬”的多，即在塑性變形階段相同位移條件下的載荷要明顯大于考慮幾何非線性作用的結果。因此，從數(shù)值模擬結果驗證了研究延性金屬大變形問題時考慮幾何非線性作用的必要性。

4 結論

(1)通過二維和三維有限元模型對TC4 光滑圓試樣和兩種不同缺口尺寸的試樣進行建模，利用GTN 模型對三種試樣的靜強度拉伸試驗進行預測。結果表明數(shù)值計算所得載荷-位移曲線與真實試驗所得結果基本一致，較好地反映了三種試樣的靜強度漸進破壞過程。

(2)在三維應力狀態(tài)下使用GTN 模型進行數(shù)值計算后預測所得三種試樣的TC4 鈦合金宏觀斷裂形貌與真實試驗所得結果基本一致。

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