李夏青 王奎鵑

（1. 北京石油化工學(xué)院電氣工程系 北京 102617 2. 北京化工大學(xué) 北京 100029）

1 引言

直流牽引供電系統(tǒng)的短路故障是威脅供電系統(tǒng)運(yùn)行安全的主要因素。由于發(fā)生短路故障的隨機(jī)性和不可預(yù)知性，使故障原因查找、故障機(jī)理分析等工作更多地依賴于牽引供電系統(tǒng)的電磁暫態(tài)模型。

牽引供電系統(tǒng)的電磁暫態(tài)模型由電源、牽引網(wǎng)和負(fù)荷模型組成。目前，普遍采用一階 RL電路的暫態(tài)過程作為牽引供電系統(tǒng)的電磁暫態(tài)模型，并基于此模型設(shè)置了電流變化率與電流增量暫態(tài)保護(hù)（dI/dt-ΔI保護(hù)）；文獻(xiàn)[1]從分析直流牽引供電系統(tǒng)故障錄波的波形特征入手，指出直流牽引供電系統(tǒng)的電磁暫態(tài)模型不能用一階 RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)模型等效；文獻(xiàn)[2]討論了射頻電磁波在隧道內(nèi)的傳輸、衰減特性，分析了隧道尺寸等因素對射頻電磁波傳播的影響；文獻(xiàn)[3]分析了直流牽引網(wǎng)泄漏電流的分布特性，以及美國、歐洲地鐵的軌道電位限制標(biāo)準(zhǔn)問題；文獻(xiàn)[4]研究了直流牽引供電系統(tǒng)儲(chǔ)能電容的效率及其對供電系統(tǒng)的影響；文獻(xiàn)[5]研究了架設(shè)于地面的電氣化鐵路工頻交流接觸網(wǎng)的電磁場分布特性，但未考慮隧道的影響；文獻(xiàn)[6]建立了直流牽引供電系統(tǒng)的電源與負(fù)荷的等效模型；文獻(xiàn)[7]研究了牽引網(wǎng)的穩(wěn)態(tài)電路參數(shù)，未研究隧道對牽引網(wǎng)電路參數(shù)的影響?？傊瑢χ绷鳡恳╇娤到y(tǒng)的穩(wěn)態(tài)模型的研究較多，對牽引網(wǎng)的暫態(tài)特性的研究較少；在為數(shù)不多的有關(guān)直流牽引供電系統(tǒng)電磁暫態(tài)特性的文獻(xiàn)中，有關(guān)電磁暫態(tài)模型的研究較多，缺少對隧道內(nèi)牽引網(wǎng)電路參數(shù)的系統(tǒng)研究，致使直流牽引供電系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型存在缺陷，使保護(hù)系統(tǒng)不得不采用“寧可誤動(dòng)，不可拒動(dòng)”的整定原則，造成供電系統(tǒng)誤動(dòng)率居高不下，降低了牽引供電系統(tǒng)的可靠性。

本文針對牽引供電系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型的“短板”（隧道內(nèi)牽引網(wǎng)等效電路元件的暫態(tài)特性表述）問題，建立了物理模型，解決了直流牽引網(wǎng)的暫態(tài)電阻、電感、電容的建模與求解問題。

2 直流牽引網(wǎng)等效電路模型

2.1 直流牽引網(wǎng)

直流供電牽引網(wǎng)是沿地鐵（或礦山）線路敷設(shè)并為電動(dòng)車輛提供電能的專用裝置。牽引網(wǎng)由正極接觸軌和負(fù)極走行軌構(gòu)成，如圖1所示。

圖1 牽引網(wǎng)示意圖Fig.1 Diagram of traction power supply net

對于采用三軌供電方式的牽引網(wǎng)，由于正極接觸軌布置在隧道側(cè)面，使隧道內(nèi)電磁場呈不對稱分布，導(dǎo)致牽引網(wǎng)等效電路元件的求解困難，截面圖如圖2所示。

圖2 隧道截面圖Fig.2 Cross-section of subway tunnel

2.2 牽引網(wǎng)等效電路模型

運(yùn)行實(shí)踐表明，在牽引網(wǎng)發(fā)生短路故障或運(yùn)行狀態(tài)發(fā)生改變時(shí)，牽引網(wǎng)的電流會(huì)出現(xiàn)劇烈的變化如圖3和圖4所示，故需考慮牽引網(wǎng)的暫態(tài)特性，圖5為牽引網(wǎng)等效電路的暫態(tài)模型。

圖3 負(fù)荷電流Fig.3 Original records of traction load current

圖4 故障錄波Fig.4 Current waveform of short-circuit test

圖5中，牽引網(wǎng)的回路電阻R由接觸軌電阻R1和走行軌電阻 R2、R3組成；過渡電阻 Rg是走行軌與隧道壁之間的電阻。

圖5 牽引網(wǎng)暫態(tài)等效電路Fig.5 Transient equivalent circuit on traction power supply net

牽引網(wǎng)的電感：牽引網(wǎng)的接觸軌、走行軌的電感L1、L2、L3由各自的內(nèi)自感Ln和外自感Lw構(gòu)成；外自感 Lw包括接觸軌與走行軌之間的電感 LR和接觸軌（走行軌）與隧道壁之間的電感Ls。

牽引網(wǎng)的電容 C：由接觸軌與走行軌之間的電容和CR接觸軌與隧道間的電容CS構(gòu)成。

3 元件模型與算法

3.1 元件建模的共性問題

3.1.1 接觸軌、鋼軌的簡化計(jì)算模型

接觸軌、鋼軌為不規(guī)則截面導(dǎo)體，用具有相同橫截面積的圓柱形導(dǎo)體等效接觸軌、鋼軌，以簡化計(jì)算的復(fù)雜性。表1所示為軌條截面幾何參數(shù)。

表1 軌條截面幾何參數(shù)Tab.1 Geometry parameters of rail

在圖 6中，r1為接觸軌等效截面半徑，r2、r3為鋼軌等效截面半徑，d12、d13、d23為軌道間距。

圖6 軌道間距Fig.6 Gauge of rail

3.1.2 趨膚效應(yīng)與磁導(dǎo)率

牽引網(wǎng)負(fù)荷電流（見圖 3）變化緩慢（變化周期約 20～30s）；牽引網(wǎng)故障電流（見圖 4）變化較快，其頻譜主要成分為直流和低于 30Hz的交流分量（表2）。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究結(jié)果，直徑較大的導(dǎo)體，當(dāng)電流頻率超過 10Hz時(shí)，需考慮趨膚效應(yīng)對電阻、電感計(jì)算值的影響問題。密（為增強(qiáng)隧道的強(qiáng)度）之特點(diǎn)，將隧道壁等效為半徑為 Rl的金屬空心圓柱；接觸軌（或走行軌）等效為套在空心圓柱內(nèi)的半徑為R2的金屬圓柱，且兩柱軸線平行并相距d，如圖7所示。

圖7 內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體結(jié)構(gòu)Fig.7 Embedded eccentric center conductor

（2）保角映射。為使用安培環(huán)路定律計(jì)算牽引網(wǎng)三條軌道對隧道壁的外自感及電容，需將圖 7b中z平面上的圓C1、C2變換為兩個(gè)同心圓。在圖7b中，設(shè)z平面上的點(diǎn)a和b的坐標(biāo)分別為 x1和 x2，且點(diǎn)a、點(diǎn)b同時(shí)關(guān)于圓C1、C2對稱，則由對稱點(diǎn)的定義[10]得

表2 故障電流頻譜Tab.2 Fault current spectrum

鋼軌由鐵磁性材料構(gòu)成，根據(jù)文獻(xiàn)[9]的實(shí)驗(yàn)結(jié)論，需考慮鋼軌磁導(dǎo)率隨電流變化的非線性影響。

3.1.3 內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體的保角映射模型

地鐵（或礦山）隧道為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，因牽引網(wǎng)位于隧道一側(cè)（見圖2），使隧道內(nèi)電磁場呈不對稱分布，為計(jì)算牽引網(wǎng)三條軌道對隧道壁的外自感和電容，建立了“內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體的保角映射”模型，具體方法如下。

（1）內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體結(jié)構(gòu)。根據(jù)隧道結(jié)構(gòu)鋼筋很

將點(diǎn)a變換為ζ平面的原點(diǎn)ζ＝0，點(diǎn)b變換為ζ平面的無限遠(yuǎn)點(diǎn) ζ＝∞。根據(jù)分式保角變換的性質(zhì)，z平面上的圓 C1變換為 ζ平面上的圓C1'；同理，圓C2變換為 ζ平面上的圓C2'，且圓C1'和圓C2'為同心圓，如圖8所示。

圖8 映射后的兩同心圓Fig.8 Conformal mapping result

分別取z等于R1、R2，由式（3）可求得圓的半徑為

3.2 回路電阻和過渡電阻

3.2.1 回路電阻

不考慮趨膚效應(yīng)影響時(shí)，牽引網(wǎng)電阻為直流電阻

由表2知，牽引網(wǎng)電流主要由直流、10Hz、20Hz和30Hz的交流成分組成。根據(jù)文獻(xiàn)[8]的研究結(jié)果，對于半徑接近100mm的接觸軌和走行軌，當(dāng)電流頻率超過10Hz時(shí)需考慮趨膚效應(yīng)的影響。定義10Hz電流為基頻電流 I1，其電阻為R1=R0，20Hz、30Hz的電流為2次、3次諧波電流。根據(jù)文獻(xiàn)[11]的分析，h次諧波電阻與基波電阻的關(guān)系為

由能量守恒定律得牽引電流在軌條等效電阻Req上的總損耗為

3.2.2 過渡電阻

根據(jù)中華人民共和國行業(yè)標(biāo)準(zhǔn) CJJ49—92[12]走行軌與隧道壁之間的過渡電阻Rg取3Ω/km；接觸軌與隧道間為絕緣狀態(tài)，接觸軌與隧道間的電阻可視為“∞”。

3.3 牽引網(wǎng)電感

3.3.1 鋼軌、接觸軌的內(nèi)自感

考慮到鋼軌、接觸軌的等效半徑及相對磁導(dǎo)率均較大，在計(jì)算鋼軌、接觸軌的內(nèi)自感時(shí)需考慮趨膚效應(yīng)的影響[8,9]。由此得接觸軌、鋼軌的單位長度內(nèi)自感為

式中，μ=μ0μr為接觸軌、鋼軌的磁導(dǎo)率；ber、bei為貝塞爾函數(shù)的實(shí)部（Bessel Real）、虛部（Bessel Imaginary）；ber'和bei'分別為 ber和 bei的一階導(dǎo)數(shù)，δ為趨膚深度；f為電流頻率；γ為電導(dǎo)率。3.3.2 不考慮隧道影響時(shí)牽引網(wǎng)的外自感

對圖6所示的軌道間距，設(shè)各條走行軌中的電流為接觸軌電流的 1/2，采用三平行導(dǎo)線模型可得不考慮隧道影響時(shí)牽引網(wǎng)的外自感為

3.3.3 牽引網(wǎng)相對隧道壁的外自感

由圖2可見，接觸軌、走行軌距隧道中心的間距相近，且接觸軌、走行軌的等效半徑亦相差不大（表1），所以，經(jīng)“內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體保角映射模型”變換后所得的同心圓半徑R2'基本相同；接觸軌與走行軌中電流的流向相反，根據(jù)安培環(huán)路定律，兩同心圓間的磁場是由接觸軌與走行軌的電流差產(chǎn)生的，故僅需計(jì)算三根軌條中的一根與隧道壁間的外自感。

對圖8，設(shè)內(nèi)外圓柱體上的電流均為I，則由對稱性和安培環(huán)路定律得磁場強(qiáng)度的大小為

由磁能公式 W=(1/2)LI2得牽引網(wǎng)相對隧道壁的外自感為

3.3.4 牽引網(wǎng)電感

從圖5可見，兩根走行軌為并聯(lián)關(guān)系；接觸軌與隧道壁構(gòu)成一個(gè)回路，接觸軌與走行軌構(gòu)成另一個(gè)回路，兩條回路的互感效應(yīng)納入接觸軌的外自感LS，則牽引網(wǎng)電感為

式中

3.4 牽引網(wǎng)電容

接觸軌相對走行軌的電容可使用二平行線模型求得

式中，C1i為接觸軌對走行軌 2、3的電容；r1為接觸軌的等效半徑。

由于走行軌與隧道間的過渡電阻Rg較小，可認(rèn)為走行軌與隧道壁等電位，故只需考慮接觸軌與隧道間的電容。按照“內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體保角映射模型”求得接觸軌與隧道間的等效電容為

牽引網(wǎng)電容為

4 算例

按照北京地鐵隧道內(nèi)牽引網(wǎng)的安裝圖，牽引網(wǎng)各軌條中心間距為 d12=684mm、d13=2176mm、d23=1 505mm；隧道半徑R1=2 650mm；軌條中心距隧道中心的距離d=2 000mm。

4.1 鋼軌電阻

按式（9）和式（10），得到表3所示軌道單位長度電阻值。

表3 軌條電阻Tab.3 Resistance of rail

4.2 牽引網(wǎng)電感

按式（11）～式（17）計(jì)算牽引網(wǎng)的電感。為便于與測量值比較，表 4～表 6所給數(shù)值均為 50Hz電流的計(jì)算值，圖9給出了P50鋼軌內(nèi)自感隨頻率、電流的變化關(guān)系。

表4 軌條內(nèi)自感Tab.4 Internal inductance of rail

表5 軌條外自感及隧道電感Tab.5 External inductance

表6 牽引網(wǎng)電感Tab.6 Inductance of traction power supply net

4.3 牽引網(wǎng)電容

按式（18）和式（19）計(jì)算牽引網(wǎng)電容結(jié)果見表 7。

表7 牽引網(wǎng)電容Tab.7 Capacitance of traction power supply net

針對使用較為普遍的牽引網(wǎng)（采用P50鋼軌作為走行軌），表8給出了電流為直流、交流f=50Hz，電流I=50A條件下的計(jì)算值和測量值。

表8 參數(shù)對比Tab.8 Comparing with parameters of measure and calculate

5 討論

（1）牽引網(wǎng)電阻。從表8可見：故障瞬間牽引網(wǎng)電流的交流成分使?fàn)恳W(wǎng)等效電阻值大于牽引網(wǎng)的直流電阻測量值，其相對偏差高于10%。

（2）牽引網(wǎng)電感與電流頻率、電流強(qiáng)度的關(guān)系。構(gòu)成牽引網(wǎng)電感的各成分中，內(nèi)自感與電流頻率、電流強(qiáng)度相關(guān)，圖9給出了內(nèi)自感與電流頻率、電流強(qiáng)度的關(guān)系曲線。從圖9和表4可見，電感的峰值出現(xiàn)在I=500～1 000A范圍，且隨電流頻率的升高而降低。

圖9 內(nèi)自感與電流、頻率關(guān)系Fig.9 Curve of internal inductance

（3）隧道電感 LS是難以測量且不容忽略的重要分量。由表 5可見，隧道電感 LS與 LR1、LR2、LR3的數(shù)值相當(dāng)，其作用不容忽略。但從隧道空間尺寸及磁場強(qiáng)度計(jì)算式（式（13））可見，欲測量隧道電感LS，需提供足夠大的測量電流，通常使用的阻抗測量法的測量電流為AC50Hz，I=10A～30A，不足以產(chǎn)生測量隧道電感LS的磁場強(qiáng)度，其測量值為不考慮LS影響的牽引網(wǎng)電感值，且該測量值與計(jì)算值接近（見表8）；牽引網(wǎng)短路瞬間，短路電流可達(dá)數(shù)千安乃至上萬安培，綜合考慮 LS、LR1、LR2、LR3與地鐵 VVVF列車的儲(chǔ)能濾波電容所構(gòu)成的 RLC二階電路[1]，其振蕩頻率與圖 4波形的周波時(shí)間吻合，表明忽略 LS的影響將導(dǎo)致牽引供電系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型失真嚴(yán)重。

（4）牽引網(wǎng)電容。由表7可見，牽引網(wǎng)電容C遠(yuǎn)小于電感、電阻之值，其影響可忽略。

6 結(jié)論

牽引網(wǎng)是直流牽引供電系統(tǒng)電磁暫態(tài)模型中的重要組成部分，通常使用阻抗測量法確定其等效電阻、電感之值，由于測量條件限制，所獲得的測量值為接觸軌與走行軌的穩(wěn)態(tài)值，不能反映故障瞬間的等效參數(shù)，導(dǎo)致所建電磁暫態(tài)模型不能正確描述直流牽引供電系統(tǒng)的暫態(tài)特性。

本文針對地鐵隧道和三軌供電牽引網(wǎng)的特殊結(jié)構(gòu)，建立了內(nèi)嵌偏心導(dǎo)體的保角映射模型和牽引網(wǎng)等效電阻模型，該模型物理概念清晰，計(jì)算方法簡便，有效解決了直流牽引網(wǎng)的暫態(tài)電阻、電感、電容的建模與求解問題。

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