尹霖+張金鳳+趙云飛+范海英

摘 要：誤差理論是測量不確定評定和一切實驗研究的基礎，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類號：P2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開始，人們在長期的觀測中很早就意識到測量不可避免會產(chǎn)生誤差；而由于真值=測量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認識自然使得人們開始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學及實驗科學的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時，討論了這個問題： “薩：……首先我問你，天文學家們用他們的儀器觀測并測算諸如新星在地平線上的仰角時，是否會測算得過頭一點，或測算得不夠一點；這就是說，有時候把角度推算得比正確的角度高些，有時候低些？還是推算的錯誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過頭了一點；或者總是不夠，而永遠不會過頭？辛：毫無疑問，過與不及的兩種傾向都同樣地存在?！薄八_：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測算上的誤差決不能從計算結果上來決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實際測量出的度和分的數(shù)目來定……”雖然伽利略當時并沒有明確提出“隨機”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測值都可以有誤差，其來源可歸因于觀測者、儀器工具以及觀測條件；觀測誤差對稱地分布在0的兩側；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻的另一個人是英國數(shù)學家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫的一封信《在應用天文學中取若干個觀測值的平均的好處》中提出。在信里，他構造了一個離散的誤差分布：假定在一次測量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測量的誤差（絕對值）不超過1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見，他又計算出6次測量的平均值的誤差（即6個誤差的平均）不超過1的概率是0.725，不超過2的是0.967——易見平均值的估計優(yōu)于單個值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來的人——后面可以看到這一點的意義十分重大，因為整個誤差理論就是建立在概率論基礎上的。

誤差理論發(fā)展的下一個階段就是隨機誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運動的理論》一書，在此書末尾他寫了一節(jié)有關“數(shù)據(jù)結合”的問題（data combination），即：當對同一目標的若干次觀測結果不同時，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測數(shù)據(jù)對觀測目標的真值進行估計？（雖然人們一直采取算術平均值的方法來處理這一問題，但并無理論根據(jù)——辛普森對此進行了嘗試，但他所構造的誤差分布是錯誤的）最終，高斯在書中介紹了他用來預測行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時以出人意料的方法找到了隨機誤差的分布——正態(tài)分布。

設隨機誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個獨立測量值為 ，真值為 ，則對應的 個隨機誤差為 。由于觀測是相互獨立的，因而這些誤差同時出現(xiàn)的概率為 ，對真值 的最佳估計應使L極大（極大似然估計——由高斯首先提出，1912年被英國數(shù)學家費歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認為算數(shù)平均值 就是最佳估計——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達式。

雖然正態(tài)分布的表達式最早由法國數(shù)學家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過后來凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認識和正態(tài)分布的應用廣泛滲透到了社會、經(jīng)濟和遺傳學等多個領域，故我們在討論對與正態(tài)分布的貢獻時更多的將其歸因于高斯，并稱正態(tài)分布為高斯分布，有人認為整個19世紀的統(tǒng)計學就是正態(tài)分布應用的擴展。

誤差理論發(fā)展的第四個階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機誤差正態(tài)分布的理論基礎。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達式的法國數(shù)學家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項分布的極限情況時首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來另外一位法國數(shù)學家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎的中心極限定理則是由俄國數(shù)學家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設隨機變量 相互獨立，且數(shù)學期望 ，方差 ，記 ，如果 滿足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當 時，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機變量是由大量獨立的隨機變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個隨機因素對總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨立的隨機因素的總和所形成的隨機變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機）誤差實際上是測量各要素的不完美所引起的各（隨機）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機誤差（ ）、視角、光線明暗、讀數(shù)時的判斷等等很多因素引起的各個隨機誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機誤差（ ）滿足正態(tài)分布！中心極限定理被稱為概率論與數(shù)理統(tǒng)計的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因為它既從正面解釋和證明了為什么隨機誤差滿足正態(tài)分布，同時也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導。

誤差理論發(fā)展的最后一個階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標志的。因為現(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機誤差所滿足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機變量——通過研究隨機變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻

[1] 《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計學小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計與信息論壇.2006.11endprint

摘 要：誤差理論是測量不確定評定和一切實驗研究的基礎，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類號：P2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開始，人們在長期的觀測中很早就意識到測量不可避免會產(chǎn)生誤差；而由于真值=測量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認識自然使得人們開始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學及實驗科學的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時，討論了這個問題： “薩：……首先我問你，天文學家們用他們的儀器觀測并測算諸如新星在地平線上的仰角時，是否會測算得過頭一點，或測算得不夠一點；這就是說，有時候把角度推算得比正確的角度高些，有時候低些？還是推算的錯誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過頭了一點；或者總是不夠，而永遠不會過頭？辛：毫無疑問，過與不及的兩種傾向都同樣地存在?！薄八_：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測算上的誤差決不能從計算結果上來決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實際測量出的度和分的數(shù)目來定……”雖然伽利略當時并沒有明確提出“隨機”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測值都可以有誤差，其來源可歸因于觀測者、儀器工具以及觀測條件；觀測誤差對稱地分布在0的兩側；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻的另一個人是英國數(shù)學家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫的一封信《在應用天文學中取若干個觀測值的平均的好處》中提出。在信里，他構造了一個離散的誤差分布：假定在一次測量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測量的誤差（絕對值）不超過1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見，他又計算出6次測量的平均值的誤差（即6個誤差的平均）不超過1的概率是0.725，不超過2的是0.967——易見平均值的估計優(yōu)于單個值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來的人——后面可以看到這一點的意義十分重大，因為整個誤差理論就是建立在概率論基礎上的。

誤差理論發(fā)展的下一個階段就是隨機誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運動的理論》一書，在此書末尾他寫了一節(jié)有關“數(shù)據(jù)結合”的問題（data combination），即：當對同一目標的若干次觀測結果不同時，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測數(shù)據(jù)對觀測目標的真值進行估計？（雖然人們一直采取算術平均值的方法來處理這一問題，但并無理論根據(jù)——辛普森對此進行了嘗試，但他所構造的誤差分布是錯誤的）最終，高斯在書中介紹了他用來預測行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時以出人意料的方法找到了隨機誤差的分布——正態(tài)分布。

設隨機誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個獨立測量值為 ，真值為 ，則對應的 個隨機誤差為 。由于觀測是相互獨立的，因而這些誤差同時出現(xiàn)的概率為 ，對真值 的最佳估計應使L極大（極大似然估計——由高斯首先提出，1912年被英國數(shù)學家費歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認為算數(shù)平均值 就是最佳估計——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達式。

雖然正態(tài)分布的表達式最早由法國數(shù)學家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過后來凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認識和正態(tài)分布的應用廣泛滲透到了社會、經(jīng)濟和遺傳學等多個領域，故我們在討論對與正態(tài)分布的貢獻時更多的將其歸因于高斯，并稱正態(tài)分布為高斯分布，有人認為整個19世紀的統(tǒng)計學就是正態(tài)分布應用的擴展。

誤差理論發(fā)展的第四個階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機誤差正態(tài)分布的理論基礎。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達式的法國數(shù)學家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項分布的極限情況時首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來另外一位法國數(shù)學家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎的中心極限定理則是由俄國數(shù)學家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設隨機變量 相互獨立，且數(shù)學期望 ，方差 ，記 ，如果 滿足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當 時，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機變量是由大量獨立的隨機變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個隨機因素對總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨立的隨機因素的總和所形成的隨機變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機）誤差實際上是測量各要素的不完美所引起的各（隨機）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機誤差（ ）、視角、光線明暗、讀數(shù)時的判斷等等很多因素引起的各個隨機誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機誤差（ ）滿足正態(tài)分布！中心極限定理被稱為概率論與數(shù)理統(tǒng)計的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因為它既從正面解釋和證明了為什么隨機誤差滿足正態(tài)分布，同時也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導。

誤差理論發(fā)展的最后一個階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標志的。因為現(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機誤差所滿足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機變量——通過研究隨機變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻

[1] 《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計學小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計與信息論壇.2006.11endprint

摘 要：誤差理論是測量不確定評定和一切實驗研究的基礎，其重要性毋庸置疑，而其本身的發(fā)展又與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響。

關鍵詞：誤差理論 概率論 正態(tài)分布 中心極限定理

中圖分類號：P2 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）02（b）-0000-00

從古人夜觀天象開始，人們在長期的觀測中很早就意識到測量不可避免會產(chǎn)生誤差；而由于真值=測量值-誤差，“得到”誤差就可以得到真值，這樣的認識自然使得人們開始研究誤差。而縱觀誤差理論的發(fā)展史，人們會發(fā)現(xiàn)誤差理論的發(fā)展其實是與概率理論的發(fā)展密不可分、相互影響的。

較早期在著作中探討誤差各種性質(zhì)的人是近代科學及實驗科學的奠基人伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）。他在《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》（1632）中談到第谷（Tycho Brahe，1546 -1601）于1572年發(fā)現(xiàn)的一顆新星（Nova）的位置時，討論了這個問題： “薩：……首先我問你，天文學家們用他們的儀器觀測并測算諸如新星在地平線上的仰角時，是否會測算得過頭一點，或測算得不夠一點；這就是說，有時候把角度推算得比正確的角度高些，有時候低些？還是推算的錯誤總是朝一邊倒，以致只要發(fā)生誤差，總是過頭了一點；或者總是不夠，而永遠不會過頭？辛：毫無疑問，過與不及的兩種傾向都同樣地存在?！薄八_：……從這種地方你可以看出，所謂儀器測算上的誤差決不能從計算結果上來決定其誤差的大小，而必須根據(jù)儀器實際測量出的度和分的數(shù)目來定……”雖然伽利略當時并沒有明確提出“隨機”和“分布”這樣的概念，但可以看出他所描述的誤差的種種性質(zhì)，實際上正是我們現(xiàn)在所理解的隨機誤差的分布性質(zhì)——即所有觀測值都可以有誤差，其來源可歸因于觀測者、儀器工具以及觀測條件；觀測誤差對稱地分布在0的兩側；小誤差出現(xiàn)得比大誤差更頻繁。此外他的表述中還涉及了誤差傳遞的思想。

對早期誤差理論的發(fā)展做出了重大貢獻的另一個人是英國數(shù)學家辛普森（Thomas Simpson，1710-1761），他的工作在他1755年寫的一封信《在應用天文學中取若干個觀測值的平均的好處》中提出。在信里，他構造了一個離散的誤差分布：假定在一次測量中，誤差只能取0、±1、±2、±3、±4、±5這11個值，取這些值的概率在0處最大，然后在兩邊按比例下降，直到±6處為0：即 。 根據(jù)所給的分布，可算得單次測量的誤差（絕對值）不超過1（0、±1）的概率為16/36=0.444，不超過2（0、±1、±2）的概率是24/36=0.667；為比較起見，他又計算出6次測量的平均值的誤差（即6個誤差的平均）不超過1的概率是0.725，不超過2的是0.967——易見平均值的估計優(yōu)于單個值。由此出發(fā)，辛普森就首次從數(shù)學上“證明”了算數(shù)平均值的優(yōu)良性，而由于出發(fā)點是誤差取值的概率，辛普森也被視為是第一個將誤差理論與概率理論聯(lián)系起來的人——后面可以看到這一點的意義十分重大，因為整個誤差理論就是建立在概率論基礎上的。

誤差理論發(fā)展的下一個階段就是隨機誤差的分布的確定，這眾所周知的是由大數(shù)學家高斯（Carl Friedrich Gauss，1777-1855）所完成的。1809年高斯發(fā)表了他的《繞日天體運動的理論》一書，在此書末尾他寫了一節(jié)有關“數(shù)據(jù)結合”的問題（data combination），即：當對同一目標的若干次觀測結果不同時，如何處理這些數(shù)據(jù)？或如何利用觀測數(shù)據(jù)對觀測目標的真值進行估計？（雖然人們一直采取算術平均值的方法來處理這一問題，但并無理論根據(jù)——辛普森對此進行了嘗試，但他所構造的誤差分布是錯誤的）最終，高斯在書中介紹了他用來預測行星軌道的方法——最小二乘法（一維情況下即算數(shù)平均值），同時以出人意料的方法找到了隨機誤差的分布——正態(tài)分布。

設隨機誤差的概率密度函數(shù)為 ， 個獨立測量值為 ，真值為 ，則對應的 個隨機誤差為 。由于觀測是相互獨立的，因而這些誤差同時出現(xiàn)的概率為 ，對真值 的最佳估計應使L極大（極大似然估計——由高斯首先提出，1912年被英國數(shù)學家費歇爾所推廣）。這里高斯由最小二乘法出發(fā)認為算數(shù)平均值 就是最佳估計——即 極大。

由

有 ，

首先令 ，并記 ，有

由于 ，因此 ；

然后令 ，其中 ，有

于是有 ；

由 的任意性（如可令 ），可推出 ， 為常數(shù)。

由此可得 ，考慮到 是概率密度函數(shù)，歸一化后可得正態(tài)分布表達式。

雖然正態(tài)分布的表達式最早由法國數(shù)學家棣莫弗得到，但是由于是高斯首先找到了它作為隨機誤差分布的這一重要作用，而經(jīng)過后來凱特勒（Lambert Adolphe Jacques Quetelet，1796～1874）、高爾頓（Francis Galton，1822-1911）等人的努力，使得這一認識和正態(tài)分布的應用廣泛滲透到了社會、經(jīng)濟和遺傳學等多個領域，故我們在討論對與正態(tài)分布的貢獻時更多的將其歸因于高斯，并稱正態(tài)分布為高斯分布，有人認為整個19世紀的統(tǒng)計學就是正態(tài)分布應用的擴展。

誤差理論發(fā)展的第四個階段是著名的中心極限定理的提出和證明，它是隨機誤差正態(tài)分布的理論基礎。最早提出中心極限定理思想的人是發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布表達式的法國數(shù)學家棣莫弗（Abraham De Moivre，1667-1754），他于1733年在研究二項分布的極限情況時首先發(fā)現(xiàn)了正態(tài)分布的表達式，并由此得到了中心極限定理的最早特例，后來另外一位法國數(shù)學家拉普拉斯（Pierre-Simon de Laplace，1749-1827）于1812年完成了更一般的證明，即棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。而真正能夠成為誤差分布理論基礎的中心極限定理則是由俄國數(shù)學家李雅普諾夫（Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918）于1901年證明，即李雅普諾夫中心極限定理。

設隨機變量 相互獨立，且數(shù)學期望 ，方差 ，記 ，如果 滿足林德伯格條件：存在正數(shù) ，使得當 時，有 ，則 。

中心極限定理的含義是：如果某隨機變量是由大量獨立的隨機變量綜合影響（相加）形成的，而其中每一個隨機因素對總和的影響是微小的（林德伯格條件），那么可以保證這些大量的、獨立的隨機因素的總和所形成的隨機變量總是服從正態(tài)分布。而這就很好的解釋了隨機誤差的正態(tài)分布性質(zhì)：我們知道所謂（隨機）誤差實際上是測量各要素的不完美所引起的各（隨機）誤差因素的總和，如溫度漲落引起的隨機誤差（ ）、氣壓漲落引起的隨機誤差（ ）、視角、光線明暗、讀數(shù)時的判斷等等很多因素引起的各個隨機誤差（ ）……那么根據(jù)中心極限定理，總的隨機誤差（ ）滿足正態(tài)分布！中心極限定理被稱為概率論與數(shù)理統(tǒng)計的“首席定理”，在誤差理論中它同樣具有非常重要的作用：因為它既從正面解釋和證明了為什么隨機誤差滿足正態(tài)分布，同時也指出很多情況下誤差合成后仍近似滿足正態(tài)分布，為誤差的合成及置信概率的確定提供了有可行性的重要指導。

誤差理論發(fā)展的最后一個階段是建立在現(xiàn)代概率理論建立的基礎上的，這是以1936年蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987）發(fā)表《概率論基本概念》為標志的。因為現(xiàn)代概率理論不僅研究了隨機誤差所滿足的正態(tài)分布，也系統(tǒng)研究了系統(tǒng)誤差所滿足的其他各種分布如均勻分布、三角分布、反正弦分布等等。而誤差理論的基礎正是概率理論，核心思想就是將誤差看作隨機變量——通過研究隨機變量的各種性質(zhì)（期望、方差、方差的合成等）來研究誤差的各種性質(zhì)。

參考文獻

[1] 《關于托勒密和哥白尼：兩大世界體系的對話》【意】伽利略著.上海人民出版社.1974

[2] 《數(shù)理統(tǒng)計學小史》陳希儒.數(shù)理統(tǒng)計與管理.1999.1

[3] 《高斯與觀測誤差分布的發(fā)現(xiàn)》于忠義.統(tǒng)計與信息論壇.2006.11endprint