成軍祥 張艷

摘要：在常利率下考慮投資收益和干擾因素的雙二項風險模型，對單位時間內收到的保單數(shù)和發(fā)生的理賠次數(shù)都服從二項分布的模型進行研究，討論模型的調節(jié)系數(shù)，最終得到保險公司的破產(chǎn)概率表達式和Lundberg不等式，對于在利率不變的情況下研究保險公司的破產(chǎn)概率提供一定的理論依據(jù).

關鍵詞：雙二項；破產(chǎn)概率；調節(jié)系數(shù)；鞅論；布朗運動

中圖分類號：F83

文獻標識碼：A

文章編號：1672—3198（2014）21—0117—02

0引言

破產(chǎn)概率在保險公司眾多數(shù)據(jù)中，可視為評估風險大小的重要參數(shù)，因此學術界對其的研究也在持續(xù)升溫和發(fā)展.眾多學者為了建立更貼合實際情況的風險模型對經(jīng)典破產(chǎn)模型進行更深入的研究，對其進行大量的拓廣。在保險公司的實際營運過程中，保險公司的經(jīng)營者為降低破產(chǎn)的風險，往往會將初始資本金和單位時間內收到的保費進行整合用來作為其他投資的本金.本文在固定利率下，考慮隨機因素的干擾和投資對破產(chǎn)問題的影響并且假設模型中保單數(shù)和索賠次數(shù)都是服從二項分布的，得到此模型的調節(jié)系數(shù)和破產(chǎn)概率。

1模型的建立

定義1：設u>0，c>0在給定的完備的概率空間（Ω，F(xiàn)，P），定義保險公司在時刻n的盈余為：

U（n）=（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）

其中，u表示保險公司的初始資本金，c表示每張保單收取的保費，u>0，c>0，u，c為常數(shù)，i表示固定的常數(shù)利率，j表示單位時間區(qū)間內的投資收益率，M（n）表示在n>0時間內收到的保單數(shù)，N（n）表示在（0，n]時間內產(chǎn)生的總索賠次數(shù)，Xk表示第k次的索賠額，隨機因素的干擾為B（n）。

結合保險公司的實際經(jīng)營情況，對上述模型做以下假設：

（1）X={Xk，k≥1}的均值為μ，方差為δ，是取值在（0，+∞）上的獨立同分布的隨機變量序列；

（2）二項分布M={M（n），n≥0}是服從參數(shù)（n，p1）的；

（3）二項分布N={N（n），n≥0}是服從參數(shù)（n，p2）的；

（4）標準布朗運動B={B（n），n≥0}，表示保險公司各種不確定因素，例如保險公司不穩(wěn)定的收入及各種隨時出現(xiàn)的付款，σ>0且為常數(shù)；

（5）假設X，M，N，B相互獨立；

（6）F是綜合考慮各項因素用于投資的金額，例如根據(jù)初始資本金的大小、單位時間內收取的保費以及預測將要產(chǎn)生的索賠額的大小而設定的。

記S（n）=cM（n）（1+i）+Fnj-∑N（n）k=1Xk+σB（n），則U（n）=u+（u-F）i+S（n）。

為保證保險公司能夠正常經(jīng)營不至于破產(chǎn)發(fā)生，結合模型，如果我們假定單位時間內平均收益大于平均理賠，這在理論上我們可以認為保險公司破產(chǎn)不會發(fā)生.在考慮投資收益和固定利率的情況下，如果盈余為負那么我們理論上說破產(chǎn)產(chǎn)生了，因此我們通常假設E[S（n）]>0.

定義破產(chǎn)時刻：T=inf{n：U（n）<0}，約定T=∞表示公司永不破產(chǎn)的概率為Pr（T=∞），定義破產(chǎn)概率：Ψ（u）=Pr（T<∞）。

2模型的相關性質

性質1盈余過程{U（n），n≥0}具有獨立平穩(wěn)增量性。

證明：令0≤n0≤n1≤…≤nk≤…，則

U（nm）-U（nm-1）=[（u+cM（nm））（1+i）+F（nmj-i）-∑N（nm）k=1Xk+σB（nm）]-[（u+cM（nm-1））（1+i）+F（nm-1j-i）-∑N（nm-1）k=1Xk-1+σB（nm-1）]=（M（nm）-M（nm-1））（1+i）+F（nm-nm-1）j-（∑N（nm）k=1Xk-∑N（nm-1）k=1Xk）+σ（B（nm）-B（nm-1））

由于

M（n2）-M（n1），M（n3）-M（n2），…，M（nk）-M（nk-1）

B（n2）-B（n1），B（n3）-B（n2），…，B（nk）-B（nk-1）

XN（n2）-XN（n1），XN（n3）-XN（n2），…，XN（nk）-XN（nk-1）

都是相互獨立的，所以U（nm）-U（nm-1）是相互獨立的，因此{U（n），n≥0}是獨立增量過程。所以得到{U（n），n≥0}具有平穩(wěn)獨立增量性。

性質2E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

證明：E[U（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）+F（nj-i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）]=E[（u+cM（n））（1+i）]+E[F（nj-i）]-E[∑N（n）k=1Xk]+E[σB（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

3主要結果

定理3.1對于保險公司營運盈余總額{S（n），n≥0}，存在一個函數(shù)g（r），使得

E[exp（-rS（n））]=eng（r），并且方程g（r）=0內存在唯一正解R，稱為調節(jié)系數(shù).

證明：

E[e-rS（n）]=E{exp[-r（cM（n）（1+i）-∑N（n）k=1Xk+σB（n）+Fnj]}=E{exp[-rc（1+i）M（n）]}·E[exp（-rFnj）]·E[exp（r∑N（n）k=1Xk）]·E[exp（-rσB（n））]=（p1e-rc（1+i）+q1）n·exp（-rFnj）·（p2MX（r）+q2）n·exp（12r2σ2n）=exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}

記

g（r）=nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n

則E[e-rS（n）]=eng（r），由于g（0）=0，

g′（r）=n-c（1+i）p1e-rc（1+i）p1e-rc（1+i）+q1+np2E（XerX）p2MX（r）+q2-Ftj+rσ2n，

g″（r）=n[c（1+i）]2p1q1e-rc（1+i）（p1e-rc（1+i）+q1）2+

np2E（X2erX）（p2MX（r）+q2）-p22E2（XerX）（p2MX（r）+q2）2+σ2n

并且根據(jù)施瓦茲不等式有：

p2E（X2erX）p2MX（r）≥p22E2（XerX）

曲線r>0是下凸的，g（r）具有唯一的極小點，所以方程g（r）=0有兩個解，其中r=0為平凡解.又g′（r）<0且當r→∞時，g′（r）→∞，故方程g（r）=0一定存在一個非平凡解，即方程g（r）=0存在唯一正解R.

定理3.2對于考慮投資收益和帶干擾項的二項分布風險模型，{U（n），n≥0}最終破產(chǎn)概率為Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T<∞]其中R為調節(jié)系數(shù)，特別地Ψ（u）≤e-Ru.

證明：對于任意的n≥1和r>0有

E[e-rU（n）]=E[e-rU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-rU（n）|T>n]Pr（T>n）（1）

由U（n）=u+（u-F）i+S（n），故

E[e-rU（n）]=E[e-ru-r（u-F）i-rS（n）]=E[e-ru-r（u-F）i]·E[e-rS（n）]=e-ru-r（u-F）i·exp{nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}=exp{-ru-r（u-F）i+nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n}

記（1）式中等號右端第一項為I1，則，

U（n）=U（T）+[U（n）-U（T）]=U（T）+[S（n）-S（T）]，則對于給定的T，[S（n）-S（T）]與U（T）獨立，從而

I1=E[e-rU（n）T≤n]Pr（T≤n）=E[e-rU（T）+S（n）-S（T）T≤n]Pr（T≤n）（2）

=E[e-rU（T）·e-r（S（n）-S（T））T≤n]Pr（T≤n）=E{e-rU（T）·exp[（nln（p1e-rc（1+i）+q1）（p2MX（r）+q2）-rFnj+12r2σ2n）（n-T）]T≤n}Pr（T≤n）令r=R，則（1）、（2）可化簡為

e-Ru=E[e-RU（n）|T≤n]Pr（T≤n）+E[e-RU（n）|T>n]Pr（T>n）

（3）

當n→∞時，（3）式右端第一項變?yōu)镋[e-RU（n）T<∞]Pr（T<∞），如果能證明（3）式右端第二項（記為I2）在n→∞時趨于零，那么定理得證。

因為E[U（n）]=u（1+i）+c（1+i）np1+F（j-i）-μnp2

不妨設Var（X）有限，則

Var[U（n）]=c2（1+i）2np1q1+np2（q2μ2+δ2）+σ2n，記

α=c（1+i）p1-μp2，β2=c2（1+i）2p1q1+p2（q2μ2+δ2）+σ2，其中β>0，則

Var[U（n）]=β2n，由于α>0，考慮Λ=u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23，只要n充分大，Λ>0，并且當n→∞時，limn→∞{u（1+i）+F（j-i）+αn-βn23}=∞。

將（3）式中第二項拆成兩項，有

E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）=E[e-RU（n）T≥n，0≤U（n）≤Λ]Pr（T≥n，0≤U（n）≤Λ）+E[e-RU（n）T≥n，U（n）>Λ]Pr（T≥n，U（n）>Λ）（4）

E[e-RU（n）T≥n]Pr（T≥n）≤Pr（0≤Un≤Λ）+e-RΛ，由切比雪夫不等式得

Pr（0≤U（n）≤Λ）=Pr{0≤U（n）≤E[U（n）-βn23]}≤Pr{U（n）-E[U（n）]≥βn23}≤Var[U（n）]（βn23）2=n_13

所以當n→∞時，n-13→0，因此I2→0，所以在（3）式中令n→∞，有Ψ（u）=e-R[u+（u-F）i]E[e-RU（T）T<∞]

再根據(jù)U（T）<0，e-RU（T）>1，從而u≥0，有Ψ（u）≤e-R[u+（u-F）i]。

定理得證。

參考文獻

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