許 剛 談元鵬 黃 琳

（華北電力大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院 北京 102206）

1 引言

近年來，隨著國家電網(wǎng)建設(shè)的持續(xù)發(fā)展，交聯(lián)聚乙烯（Cross-Linked Polyethylene，XLPE）電力電纜被廣泛應(yīng)用于城市電網(wǎng)建設(shè)中。與油紙絕緣電纜相比，XLPE電力電纜具有生產(chǎn)周期短、安裝工藝簡便、抗高溫、防腐蝕等優(yōu)點(diǎn)。然而，隨著運(yùn)行時(shí)間的推移，早期投運(yùn)的XLPE電力電纜由于受熱老化、局部放電、電樹枝、水樹枝和機(jī)械損傷等因素的影響發(fā)生了絕緣老化[1,2]，導(dǎo)致電纜提前接近原設(shè)計(jì)使用壽命的終點(diǎn)，給電網(wǎng)的安全運(yùn)行帶來重大隱患。若無選擇地對(duì)所有電纜進(jìn)行檢測，這將會(huì)是一個(gè)費(fèi)時(shí)費(fèi)力、耗資巨大的工程[3]。因此，對(duì)在役XLPE電力電纜進(jìn)行壽命評(píng)估，預(yù)測電纜的剩余壽命已成為當(dāng)前最重要的課題之一。

目前，國內(nèi)外對(duì) XLPE電力電纜的壽命評(píng)估方法大多偏向于對(duì)單一檢測指標(biāo)的分析。通過分析加速熱老化拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)[4]、加速熱延伸實(shí)驗(yàn)[5]、局放測量實(shí)驗(yàn)[6,7]、等溫松弛電流實(shí)驗(yàn)[8]、差示掃描量熱實(shí)驗(yàn)[9]、分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)[10]及直流泄漏電流實(shí)驗(yàn)[11]等電纜檢測實(shí)驗(yàn)所測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與電纜壽命之間的線性或非線性關(guān)系，實(shí)現(xiàn)對(duì)XLPE電力電纜定性或定量的壽命評(píng)估?；趩我粰z測指標(biāo)的電纜壽命評(píng)估方法的研究，也有學(xué)者提出考慮多種檢測指標(biāo)的電纜壽命綜合評(píng)估方法來提高壽命評(píng)估的精度，如模糊綜合評(píng)定法[12]及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[13]等。然而，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)實(shí)踐中，由于各廠家與檢測機(jī)構(gòu)對(duì)電纜的檢測條件不同，相關(guān)檢測設(shè)備較為復(fù)雜昂貴，導(dǎo)致大多數(shù)電纜樣本的檢測指標(biāo)類別并非完全相同。由于上述傳統(tǒng)的電纜壽命綜合評(píng)估方法要求電纜樣本之間的檢測指標(biāo)類別相同，這就導(dǎo)致來自不同廠家與檢測機(jī)構(gòu)的部分樣本與檢測指標(biāo)得不到有效利用，對(duì)現(xiàn)有的XLPE電力電纜檢測資源造成了極大浪費(fèi)。同時(shí)，這種小樣本情況也為XLPE電力電纜壽命評(píng)估帶來巨大挑戰(zhàn)，使得傳統(tǒng)的電纜壽命評(píng)估方法效果不佳甚至失效。

為應(yīng)對(duì)傳統(tǒng)算法所不能處理的電纜樣本檢測指標(biāo)類別不統(tǒng)一導(dǎo)致的小樣本壽命評(píng)估問題，本文提出一種基于低秩矩陣填充技術(shù)，并適用于部分電纜檢測指標(biāo)缺失的XLPE電力電纜壽命評(píng)估方法。該方法能有效利用現(xiàn)有的電纜檢測指標(biāo)，在對(duì)缺失的電纜檢測指標(biāo)信息進(jìn)行恢復(fù)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)電纜樣本精確、定量的壽命綜合評(píng)估。

2 基于低秩矩陣填充的電纜壽命評(píng)估方法

2.1 電纜壽命評(píng)估問題重述

在對(duì)電纜樣本壽命進(jìn)行評(píng)估時(shí)，設(shè)電纜樣本的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)向量與其壽命yi∈R所構(gòu)成有序?qū)Υ嬖谟成銽:RM→R，使得yi=T(xi)，其中M為電纜樣本的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)的類別數(shù)量，N為廠家與檢測機(jī)構(gòu)的數(shù)量，，fj為第j項(xiàng)電纜檢測指標(biāo)的數(shù)據(jù)預(yù)處理函數(shù)，為對(duì)第i個(gè)電纜樣本的第j項(xiàng)檢測指標(biāo)的第k項(xiàng)檢測數(shù)據(jù)。傳統(tǒng)的電纜壽命綜合評(píng)估正是從已有數(shù)據(jù)中分析、挖掘這一映射關(guān)系后，應(yīng)用該映射關(guān)系對(duì)目標(biāo)電纜樣本進(jìn)行壽命評(píng)估的。但正如上文中所述，在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)實(shí)踐中，大多數(shù)電纜樣本的檢測指標(biāo)類別并非完全相同，即電纜檢測指標(biāo)信息是不完整的、缺失的，如圖1所示。

圖1 電纜檢測指標(biāo)信息缺失示意圖Fig.1 Schematic diagram of missing information on cable test categories

圖1所示表格中的行坐標(biāo)為檢測指標(biāo)類型，列坐標(biāo)為廠家類別，帶“？”標(biāo)記的白色格子表示因廠家不能檢測相應(yīng)指標(biāo)而導(dǎo)致的數(shù)據(jù)缺失。傳統(tǒng)的電纜壽命綜合評(píng)估方法使用所有廠家共同具有的檢測指標(biāo)類別（如圖1中粗線框所示的指標(biāo)1、指標(biāo)3、指標(biāo)4及指標(biāo)5等）進(jìn)行壽命評(píng)估，余下的檢測指標(biāo)（如圖1中指標(biāo)2、指標(biāo)M-1及指標(biāo)M）的信息將被丟棄。然而，若能利用這部分被丟棄的信息對(duì)缺失信息進(jìn)行恢復(fù)，則可能達(dá)成更高精度的壽命評(píng)估。若將缺失的指標(biāo)信息xij的值標(biāo)記為0，則可得到一個(gè)包含所有樣本的所有指標(biāo)信息的受損矩陣，而缺失信息的恢復(fù)則可看作是該受損矩陣的填充問題。值得注意的是，若電纜樣本的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與壽命滿足線性相關(guān)性，則電纜樣本信息所構(gòu)成的受損矩陣可被看做一個(gè)受損的低秩矩陣，其填充問題可由低秩矩陣填充技術(shù)進(jìn)行求解。更進(jìn)一步的，參考文獻(xiàn)[14,15]，在應(yīng)用低秩矩陣填充技術(shù)對(duì)缺失信息進(jìn)行恢復(fù)的同時(shí)，也可實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)電纜的壽命評(píng)估。

2.2 低秩矩陣填充原理

矩陣填充技術(shù)（Matrix Completion，MC）主要研究了如何通過已知的部分矩陣元素來恢復(fù)整個(gè)矩陣這一問題。一般來說，滿足要求的矩陣有無窮多個(gè)。然而，若原始信息矩陣D是一個(gè)受損的低秩矩陣，則可通過優(yōu)化方法將其唯一分解為一個(gè)完好的低秩矩陣A與一個(gè)稀疏的噪聲矩陣E之和，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信息矩陣D的精確恢復(fù)。對(duì)該受損矩陣D進(jìn)行恢復(fù)的優(yōu)化問題可表述如下

式中，μ為不可行點(diǎn)懲罰因子，μ＞0。參考文獻(xiàn)[18]，則可通過迭代的方式對(duì)增廣拉格朗日乘式優(yōu)化問題進(jìn)行求解（詳見算法1）。

2.3 基于低秩矩陣填充的電纜壽命預(yù)測模型

若所研究的電纜樣本的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)的總類別為M，則對(duì)于已知壽命的N1個(gè)電纜樣本（即訓(xùn)練集）的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)向量RM∈可建立訓(xùn)練集檢測指標(biāo)矩陣，i=1,2,…,N1。由于不同電纜樣本所測試的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)并不一定完全相同，易知訓(xùn)練集檢測指標(biāo)矩陣Xtr中存在若干零元素。將N1個(gè)電纜樣本的壽命yi∈R寫為一行，則可得到訓(xùn)練集壽命矩陣。同理，對(duì)于需要進(jìn)行壽命估計(jì)的N2個(gè)電纜樣本（即測試集）的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)向量（zi1,zi2,...,ziM）T∈RM，也可建立測試集檢測指標(biāo)矩陣，i=1,2,…,N2。同樣地，測試集檢測指標(biāo)矩陣Xte也會(huì)存在若干零元素。建立零矩陣作為測試集壽命矩陣。則原始信息矩陣D可記為

將原始信息矩陣D中非零元素的位置記為Ω。則部分檢測指標(biāo)缺失的電纜壽命預(yù)測問題就轉(zhuǎn)化為2.2節(jié)中提到的受損矩陣恢復(fù)問題，可通過對(duì)式（3）所示的優(yōu)化問題的求解求得N2個(gè)電纜樣本的壽命進(jìn)行評(píng)估。具體算法步驟如下所示。

輸入訓(xùn)練集的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與壽命iR∈y，i=1,2,…,N1；測試集的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)向量，i=1,2,…,N2；懲罰因子λ＞0；不可行點(diǎn)懲罰因子μ＞0；收縮步長ρ；收斂閾值ε；并初始化。

（2）為實(shí)現(xiàn)對(duì)原始信息矩陣D的填充修復(fù)，依照以下步驟實(shí)施，直到收斂：

通過特征值分解和算子收縮方法求解

輸出測試集電纜樣本的預(yù)測壽命AΛ。

值得注意的是，只有當(dāng)電纜樣本所測試的絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與老化時(shí)間或剩余壽命滿足線性相關(guān)性時(shí)，樣本之間絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)向量才能表現(xiàn)出顯著的相關(guān)性，即原始信息矩陣才能被認(rèn)定為受損的低秩矩陣。為保證絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與老化時(shí)間或剩余壽命滿足線性相關(guān)性，本文還需要在利用MC-LP算法進(jìn)行壽命預(yù)測之前，對(duì)電纜檢測數(shù)據(jù)做如下所示的預(yù)處理。

3 電纜檢測實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的預(yù)處理方法

本文分別討論了對(duì)于加速熱老化拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)[4]、加速熱延伸實(shí)驗(yàn)[5]、差示掃描量熱實(shí)驗(yàn)[9]、分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)[10]及直流泄漏電流實(shí)驗(yàn)[11]等 5種電纜檢測實(shí)驗(yàn)所測得的檢測數(shù)據(jù)的預(yù)處理方法。通過對(duì)電纜檢測實(shí)驗(yàn)所測得的檢測數(shù)據(jù)進(jìn)行相應(yīng)的預(yù)處理，可使得若目標(biāo)試樣的電纜檢測指標(biāo)能被N1個(gè)訓(xùn)練樣本的電纜檢測指標(biāo)，(i=1,2,…,N1)線性表示為

時(shí)，目標(biāo)試樣的相對(duì)老化時(shí)間sR能被N1個(gè)訓(xùn)練樣本的相對(duì)老化時(shí)間(i=1,2,…,N1)線性表示為，即保證了絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與相對(duì)老化時(shí)間滿足線性相關(guān)性。由于在MC-LP算法中可通過添加全1行向量的方式來保證，因而只需相對(duì)老化時(shí)間與電纜檢測數(shù)據(jù)xij之間滿足即可。

3.1 加速熱老化拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)

電纜的溫度場與電場之間存在近似的線性關(guān)系[19]，影響著電纜的老化速率與其相對(duì)老化壽命。因而，在通過絕緣材料加速熱老化的方式對(duì)電纜壽命進(jìn)行評(píng)估時(shí)，常會(huì)采用在 Arrhenius公式基礎(chǔ)上的熱壽命方程進(jìn)行分析[4]。熱壽命方程式（5）為

式中，tT為電纜絕緣材料在老化溫度T下的使用壽命；E為絕緣材料的活化能，kJ/mol；R為摩爾氣體常數(shù)，數(shù)值為8.314J/(mol·K)；B為與絕緣材料性能相關(guān)的常數(shù)?？蓪⑹剑?）記為

式中，a、b分別為與目標(biāo)電纜類型絕緣材料及該類型電纜絕緣材料失效標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的常系數(shù)，a=E/R，b=B。因而，在固定的老化溫度T下，電纜絕緣材料的使用壽命為。通過呈等差級(jí)數(shù)的熱老化周期對(duì)同類型新電纜絕緣材料進(jìn)行熱老化，并測得不同老化時(shí)間下電纜試樣的斷裂伸長率信息。根據(jù)最小二乘原理及電纜試樣的斷裂伸長率信息，也可求得式（6）中a與b的值，記為與。則在老化溫度T下電纜絕緣材料的使用壽命的值為。

若實(shí)驗(yàn)中以斷裂伸長率作為壽命評(píng)估特征，將XLPE電力電纜絕緣材料的啞鈴試件放置在不同的溫度下加速熱老化，并對(duì)不同老化時(shí)間下取出的試樣進(jìn)行機(jī)械拉伸實(shí)驗(yàn)。在固定的老化溫度T下，依據(jù)文獻(xiàn)[4]的數(shù)據(jù)結(jié)果，設(shè)斷裂伸長率p與老化時(shí)間sT之間呈線性關(guān)系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關(guān)的系數(shù)。若令老化溫度T下電纜絕緣材料的老化時(shí)間sT與使用壽命tT做比較，則可得到與老化溫度T無關(guān)的相對(duì)老化時(shí)間為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關(guān)的常系數(shù)，因而，斷裂伸長率p與相對(duì)老化時(shí)間sR滿足線性相關(guān)性。

3.2 加速熱延伸實(shí)驗(yàn)

XLPE電纜絕緣材料的交聯(lián)程度一般均以熱延伸這一技術(shù)參數(shù)來間接衡量，因而，XLPE電纜絕緣材料的熱延伸率可在很大程度上反映出電纜的使用壽命，尤其是當(dāng)電纜在高溫下使用時(shí)就顯得更加重要。若實(shí)驗(yàn)中以熱延伸率作為壽命評(píng)估特征，則需對(duì)比新電纜試件和老化電纜試件的負(fù)載伸長率及冷卻后的永久伸長率，以判斷XLPE電纜的老化程度。

將XLPE電纜絕緣材料的啞鈴試件放置在烘箱中加速熱老化，并對(duì)不同老化時(shí)間下取出的試樣進(jìn)行負(fù)載伸長率及冷卻后永久伸長率的測量。試件應(yīng)懸掛在烘箱中，試件下端添加重物以提供 20N/cm2的拉力。當(dāng)烘箱溫度迅速回升至規(guī)定溫度200℃時(shí)，令試件在烘箱中保持加熱狀態(tài)15min后，測量啞鈴試件中部標(biāo)記線間的距離并計(jì)算負(fù)載伸長率ηh。從試件上解除拉力并將試件留在烘箱中恢復(fù)5min，并從烘箱中取出試件使之慢慢冷卻至室溫，再次測量啞鈴試件中部標(biāo)記線間的距離并計(jì)算永久伸長率ηc。在固定的老化溫度T下，本文使用山東某電纜有限公司的出廠電纜測試數(shù)據(jù)，見表1。

表1 110kV XLPE電力電纜熱延伸檢測指標(biāo)Tab.1 Hot set test indicators of 110kV XLPE power cable

設(shè)負(fù)載伸長率ηh及永久伸長率ηc分別與老化時(shí)間sT之間呈線性關(guān)系

式中，kh、vh、kc、vc均為與老化溫度T無關(guān)的常系數(shù)，，。因而，負(fù)載伸長率ηh及永久伸長率ηc分別與相對(duì)老化時(shí)間滿足線性相關(guān)性。

3.3 差示掃描量熱實(shí)驗(yàn)

差示掃描量熱法（Differential Scanning Calorimetry，DSC）是在程序控制溫度下，測量輸給目標(biāo)樣本和參比物的功率差與溫度關(guān)系的一種技術(shù)。DSC試驗(yàn)中，在目標(biāo)試樣和參比物試樣容器下裝有兩組補(bǔ)償加熱絲，當(dāng)試樣在加熱過程中由于熱效應(yīng)與參比物之間出現(xiàn)溫差ΔT時(shí)，通過差熱放大電路和差動(dòng)熱量補(bǔ)償放大器，使流入補(bǔ)償電熱絲的電流發(fā)生變化。當(dāng)目標(biāo)試樣吸熱時(shí)，補(bǔ)償放大器使試樣一邊的電流立即增大；反之，當(dāng)目標(biāo)試樣放熱時(shí)則使參比物試樣一邊的電流增大，直到兩邊熱量平衡，溫差ΔT消失為止。換而言之，目標(biāo)試樣在熱效應(yīng)時(shí)產(chǎn)生的熱量變化因及時(shí)輸入電功率而得到了補(bǔ)償，因而，實(shí)驗(yàn)記錄的應(yīng)是目標(biāo)試樣和參比物試樣下面兩只電熱補(bǔ)償?shù)臒峁β手畹姆逯党霈F(xiàn)時(shí)間。若升溫速率恒定，實(shí)驗(yàn)就僅需考慮出峰溫度T*與老化時(shí)間s之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可。同樣地，對(duì)XLPE電力電纜絕緣材料的試樣放置在不同的溫度下加速熱老化，并對(duì)不同老化時(shí)間下取出的試樣進(jìn)行DSC測量。

在固定的老化溫度T下，依據(jù)文獻(xiàn)[9]的數(shù)據(jù)結(jié)果，設(shè)出峰溫度T*與老化時(shí)間sT之間呈線性關(guān)系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關(guān)的系數(shù)。若令老化溫度T下電纜絕緣材料的老化時(shí)間sT與使用壽命tT做比，則可得到與老化溫度T無關(guān)的相對(duì)老化時(shí)間sR∈[0,1]為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關(guān)的常系數(shù)，。因而，出峰溫度T*與相對(duì)老化時(shí)間sR滿足線性相關(guān)性。

3.4 分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)

分步加壓擊穿法進(jìn)行電纜的壽命評(píng)估是指針對(duì)XLPE電力電纜壽命指數(shù)的研究，從經(jīng)驗(yàn)壽命方程出發(fā)，通過采用近似簡化法等獲取壽命指數(shù)的數(shù)值，進(jìn)而獲得電纜的壽命。XLPE電纜的壽命方程[10]為

式中，U為電纜上所施加的電壓等級(jí)；n為生命時(shí)間指數(shù)；t為電纜絕緣材料的使用壽命；c為常系數(shù)。實(shí)驗(yàn)采用分步加壓法，相鄰電壓等級(jí)的比值為q=1.1。將試樣分為兩個(gè)實(shí)驗(yàn)組，分別在每個(gè)電壓等級(jí)持續(xù)t1=1min和t2=20min，則有

式中，P1、P2分別為兩組達(dá)到擊穿電壓等級(jí)所需的級(jí)數(shù)；、分別為兩組在最后一級(jí)達(dá)到擊穿電壓等級(jí)的加壓時(shí)間。若設(shè)==0，經(jīng)過一系列的數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得出n值的計(jì)算公式為

依照以上實(shí)驗(yàn)方法，首先，對(duì)新出廠的 XLPE電纜樣本進(jìn)行分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)，測得新電纜樣本的生命時(shí)間指數(shù)n0，進(jìn)而根據(jù)電纜在額定電壓等級(jí)U0下的設(shè)計(jì)使用壽命，計(jì)算得出。其次，對(duì)目標(biāo)XLPE電纜樣本進(jìn)行分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)，測得老化電纜樣本的生命時(shí)間指數(shù)，則可根據(jù)電纜的真實(shí)工作電壓等級(jí)計(jì)算得出電纜的相對(duì)老化時(shí)間sR∈[0,1]為

式中，P1、P2分別為兩組新電纜樣本達(dá)到擊穿電壓等級(jí)所需的級(jí)數(shù)；、分別為兩組老化電纜樣本達(dá)到擊穿電壓等級(jí)所需的級(jí)數(shù)。因而，與相對(duì)老化時(shí)間sR滿足線性相關(guān)性。

3.5 直流泄漏電流實(shí)驗(yàn)

直流泄漏電流實(shí)驗(yàn)是通過在長度為l的電纜導(dǎo)體內(nèi)芯上施加直流電壓Ui，測試經(jīng)過絕緣層到電纜外部包覆的金屬屏蔽層的泄漏電流IG，從而計(jì)算電纜的單位長度絕緣電阻值R=RXl=Ui(IG·l)。實(shí)驗(yàn)中，從目標(biāo)電纜上截取一段長度為l的電纜作為試樣，并在試樣的中央部分包覆屏蔽層。屏蔽層可由金屬編織或金屬帶構(gòu)成，其包覆的有效長度至少為1m，在有效長度的兩端留出1mm的間隙，再綁扎5mm寬的金屬絲作為保護(hù)環(huán)。之后，將試樣彎成直徑約為15d，（d為絕緣線芯的外徑）但至少為0.2m的圓圈。試樣應(yīng)先置于試驗(yàn)溫度T的空氣烘箱中持續(xù)加溫2h，再利用電壓-電流法測電纜導(dǎo)體內(nèi)芯和屏蔽層之間的絕緣電阻，原理如圖2所示。此外，為使測量所得的絕緣電阻值基本穩(wěn)定，進(jìn)行電壓-電流法測試時(shí)的充電時(shí)間應(yīng)不少于1min。

圖2 電壓-電流法測試原理圖AD—高阻抗直流放大器E—直流電源 G—檢流計(jì)或微安表Rj—直流放大器輸入電阻Rx—試樣絕緣電阻Us—交流輸入電源電壓Ur—直流輸出電壓Uo—放大器輸入電阻壓降 V—直流電壓表Fig.2 Schematic diagram of current-voltage test

在固定的老化溫度T下，依據(jù)文獻(xiàn)[11]的數(shù)據(jù)結(jié)果，設(shè)單位長度絕緣電阻R與老化時(shí)間sT之間呈線性關(guān)系

式中，kT、cT為與老化溫度T相關(guān)的系數(shù)。若令老化溫度T下的電纜絕緣材料的老化時(shí)間sT與使用壽命tT做比，則可得到與老化溫度T無關(guān)的相對(duì)老化時(shí)間sR∈[0,1]為

式中，k'、c'為與老化溫度T無關(guān)的常系數(shù)，。因而，單位長度絕緣電阻R也與相對(duì)老化時(shí)間sR滿足線性相關(guān)性。

4 仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文所有仿真實(shí)驗(yàn)均使用Core-TM i3-M330@2.13GHz處理器在Matlab 2012a環(huán)境下進(jìn)行。MC-LP算法的懲罰因子取λ=0.15，不可行點(diǎn)懲罰因子取μ=0.85，收縮步長為ρ=0.995，收斂閾值為ε=0.05。本文實(shí)驗(yàn)所采用的22kV XLPE電力電纜樣本的真實(shí)工作電壓等級(jí)為22kV，工作環(huán)境溫度T為90℃，設(shè)計(jì)使用壽命tT為30年。式（6）所示的熱壽命方程中常系數(shù)a與b的值分別為=1424.50，=-9.98。仿真實(shí)驗(yàn)使用了22kV XLPE電力電纜樣本在加速熱老化拉伸斷裂實(shí)驗(yàn)、加速熱延伸實(shí)驗(yàn)、差示掃描量熱實(shí)驗(yàn)、分步加壓擊穿實(shí)驗(yàn)及直流泄漏電流實(shí)驗(yàn)等5種電纜檢測實(shí)驗(yàn)中測得的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并以山東某電纜有限公司的真實(shí)測試數(shù)據(jù)（見表2）為中心點(diǎn)，依照高斯分布生成45個(gè)訓(xùn)練集樣本、15個(gè)測試集樣本進(jìn)行試驗(yàn)。

將單個(gè)訓(xùn)練樣本與測試樣本的斷裂伸長率、負(fù)載伸長率、永久伸長率、DSC出峰溫度、擊穿實(shí)驗(yàn)折算指標(biāo)及單位長度絕緣電阻等6個(gè)絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)的數(shù)值均作為一個(gè)列向量形成一個(gè)矩陣，并隨機(jī)對(duì)其中的50個(gè)元素強(qiáng)制賦值為0，且使每列上的零元素的數(shù)量不超過2，則可得到一個(gè)部分檢測指標(biāo)缺失的電纜絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)信息矩陣(Xtr,Xte)∈R6×60。將訓(xùn)練樣本的相對(duì)老化時(shí)間寫為一個(gè)行向量Ytr∈R1×45，并生成一個(gè)全零的行向量Ote∈R1×15來對(duì)測試樣本的相對(duì)老化時(shí)間進(jìn)行評(píng)估。對(duì)原始信息矩陣D添加全1行向量1T∈R1×60來保證絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)與相對(duì)老化時(shí)間滿足線性相關(guān)，則可得到原始信息矩陣。應(yīng)用MC-LP算法對(duì)原始信息矩陣D進(jìn)行求解，可得測試集電纜樣本的相對(duì)老化時(shí)間。依據(jù)測試集中第i個(gè)電纜樣本的真實(shí)投運(yùn)時(shí)間，易知其壽命應(yīng)為。

表2 22kV XLPE電力電纜絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)Tab.2 Insulating state test indicators of 22kV XLPE power cable

為避免實(shí)驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性，本文應(yīng)用 MC-LP算法及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)誤差反向傳播（Error Back Propagation，BP）算法重復(fù)進(jìn)行了10次電纜壽命評(píng)估對(duì)照實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)共設(shè)立了 3個(gè)對(duì)照組，分別為應(yīng)用 BP算法、MC-LP算法對(duì)帶有數(shù)據(jù)缺失的原始信息進(jìn)行壽命評(píng)估（BP/MC-LP with original data）及應(yīng)用BP算法對(duì)完整信息進(jìn)行壽命評(píng)估（BP with fixed data），并計(jì)算了測試集樣本的相對(duì)老化時(shí)間誤差百分比的平均值，如圖3所示。

由圖3可知，3個(gè)對(duì)照組（BP/MC-LP with original data，BP with fixed data）的平均相對(duì)老化時(shí)間誤差分別在15.300%、2.255%及2.865%左右波動(dòng)。易知，應(yīng)用 MC-LP算法對(duì)帶有數(shù)據(jù)缺失的原始信息進(jìn)行壽命評(píng)估的評(píng)估效果遠(yuǎn)勝于 BP算法，同時(shí)也優(yōu)于應(yīng)用BP算法對(duì)完整信息進(jìn)行壽命評(píng)估的評(píng)估效果。由于實(shí)驗(yàn)所采用的 22kV XLPE電力電纜樣本的設(shè)計(jì)使用壽命tT為 30a，因而電纜樣本真實(shí)壽命的預(yù)測誤差在0.68a左右，相比 30a的設(shè)計(jì)壽命而言是可以接受的。

圖3 測試集樣本的平均相對(duì)老化時(shí)間誤差Fig.3 Test error of average relative aging time

同時(shí)，本文考慮了3個(gè)對(duì)照組（BP/MC-LP with original data，BP with fixed data）的電纜壽命評(píng)估實(shí)驗(yàn)所得的相對(duì)老化時(shí)間的方差。3個(gè)對(duì)照組的10次電纜壽命評(píng)估對(duì)照實(shí)驗(yàn)的相對(duì)老化時(shí)間方差分別為15.300 0、5.369 3及8.250 8。這表明，在對(duì)絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)有不同缺失情況的樣本進(jìn)行壽命評(píng)估的過程中，MC-LP算法能保持較之于BP算法更高的算法穩(wěn)定性。

此外，本文還討論了測試集誤差與樣本數(shù)量的關(guān)系，以討論本文所提出的MC-LP算法對(duì)不同樣本數(shù)量的算法穩(wěn)定性。采用MC-LP with original data及BP with fixed data兩個(gè)對(duì)照組，保持訓(xùn)練集樣本與測試集樣本的數(shù)量比為 3:1不變，增大總樣本數(shù)量，可得測試集樣本的相對(duì)老化時(shí)間誤差百分比的平均值，如圖4所示。

圖4 測試集誤差與樣本數(shù)量的關(guān)系Fig.4 Relationship between test error and sample number

由圖4可知，當(dāng)樣本數(shù)量非常小以至于不足以體現(xiàn)電纜絕緣狀態(tài)檢測數(shù)據(jù)的內(nèi)在規(guī)律時(shí)，MC-LP with original data及BP with fixed data兩個(gè)對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果均不理想，且本文提出的MC-LP算法的評(píng)估效果明顯優(yōu)于BP算法。而當(dāng)樣本數(shù)量充分大時(shí)，兩個(gè)對(duì)照組的計(jì)算所得誤差百分比的平均值逐漸下降并趨于穩(wěn)定。此時(shí)，樣本數(shù)量對(duì)兩個(gè)對(duì)照組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果不再造成顯著影響。因而，本文提出的MC-LP算法不僅適用于小樣本評(píng)估問題，在樣本較多時(shí)也能保證令人滿意的評(píng)估效果。

綜上所述，本文所提出的MC-LP算法作為一種XLPE電纜壽命的綜合評(píng)估方法，其電纜壽命的評(píng)估結(jié)果是精確且穩(wěn)定的，且評(píng)估效果勝于傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)BP算法。

5 結(jié)論

本文所提出的基于低秩矩陣填充的XLPE電力電纜壽命評(píng)估方法通過對(duì)斷裂伸長率、負(fù)載伸長率、永久伸長率、DSC出峰溫度、擊穿實(shí)驗(yàn)折算指標(biāo)及單位長度絕緣電阻等6個(gè)絕緣狀態(tài)檢測指標(biāo)進(jìn)行相應(yīng)預(yù)處理，保證了其與相對(duì)老化時(shí)間之間的線性相關(guān)性。進(jìn)而，對(duì)帶有缺失的電纜信息矩陣進(jìn)行低秩矩陣填充，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)電纜準(zhǔn)確且穩(wěn)定的壽命評(píng)估。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法可有效克服樣本少、信息缺失等困難，在評(píng)估精度上勝于傳統(tǒng)的基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的電纜壽命綜合評(píng)估方法，為電力電纜壽命評(píng)估提供了一種新思路。

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