何樹紅，吳 迪，王 珊

(1.云南大學經(jīng)濟學院，云南昆明650091;2.云南大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，云南昆明650091)

巨災是指對人民生命財產(chǎn)造成特別巨大的破壞損失，對區(qū)域或國家經(jīng)濟社會產(chǎn)生嚴重影響的災害事件.按巨災發(fā)生的原因，可將巨災風險分為自然巨災風險和人為巨災風險.自然巨災是指由自然因素所造成的，通常會影響某一區(qū)域和該區(qū)域的大量人群.其損失程度不僅取決于巨災的嚴重程度，還取決于受災地區(qū)的人口密度、建筑規(guī)模和標準、該地區(qū)的防災減損情況等.自然巨災一般包括地震、冰雹、颶風、洪水、雪災、旱災等等.自20世紀80年代以來，全球巨災的發(fā)生頻率逐漸上升，頻繁的巨災發(fā)生給世界各國造成了巨大的經(jīng)濟損失和人員傷亡，還阻礙了經(jīng)濟的可持續(xù)發(fā)展和社會的安定.

我國是世界上自然災害最為嚴重的國家之一.自20世紀90年代以來，我國因為巨災造成的直接經(jīng)濟損失呈逐漸上升趨勢.據(jù)民政部統(tǒng)計資料顯示，近10年來，我國每年因自然災害造成的直接經(jīng)濟損失都在1 000億元以上，常年受災人口達2億多人次.洪水風險是中國自然災害損失中比較嚴重的一種.中國現(xiàn)有100多座大城市，有接近半數(shù)的人口，5億多畝耕地和70%的工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值不同程度地受到洪水災害的威脅.因此，對于洪災風險損失分布的研究，對我國的抗災工作，具有十分重大的意義.

洪水巨災風險往往發(fā)生較少，一旦發(fā)生則會造成巨大的破壞，這是巨災風險與一般風險間的差別.由于巨災風險發(fā)生概率極低，一旦發(fā)生不僅破壞性巨大而且常伴隨次生災害，從而加大損失程度(如洪水災害常伴隨山體滑坡和泥石流以及瘟疫)，因此洪水巨災風險的損失分布會呈現(xiàn)出典型的厚尾特征.基于洪水巨災分布的厚尾性分布特征，需要我們選擇恰當?shù)姆植己瘮?shù)對其進行擬合.POT模型在擬合具有厚尾性分布的巨災風險中體現(xiàn)了明顯的優(yōu)勢，因此，本文將選擇POT模型對洪水巨災進行擬合.

1 巨災風險損失模型的基本原理

1.1 廣義帕累托分布

帕累托分布也稱布拉德福分布，是以意大利經(jīng)濟學家維弗雷多·帕雷托命名的冪次定律的分布.廣義帕累托(generalized Pareto distribution，GPD)被定義為:

但現(xiàn)實中，以下形式被更為廣泛的應(yīng)用:

1.2 POT模型

POT模型(peak-over threshold)的建立基于廣義帕累托分布，設(shè)x1，x2，…，xn為獨立同分布隨機變量，μ 為門限值，我們稱 yi=xi-μ，(i=1，2，3，…，n)為超量損失，超量損失近似服從廣義帕累托分布，其分布為:

滿足POT模型的分布一般為厚尾分布，運用POT模型擬合不需要對整體分布形式做假設(shè)，且殘缺數(shù)據(jù)對POT的影響效果并不大，以此模型來擬合厚尾性強的洪水損失分布將會具有較好的效果.

1.3 厚尾性檢驗

巨災損失數(shù)據(jù)一般呈現(xiàn)出較強的厚尾現(xiàn)象，我們有必要對其分布是否真正厚尾作出判斷.本文用正態(tài)p-p對其厚尾性進行診斷.

正態(tài)p-p圖是一種散點圖，對應(yīng)于正態(tài)分布的p-p圖，就是用標準正態(tài)分布的分位數(shù)為橫坐標，樣本值為縱坐標的散點圖，要利用p-p檢驗樣本數(shù)據(jù)是否近似于正態(tài)分布，只需看p-p圖上的點是否近似的在一條直線附近，若樣本偏離直線，向下凸，則說明正態(tài)分布比該分布增長慢，為厚尾分布.

1.4 帕累托檢驗

若樣本數(shù)據(jù)具有厚尾性，還需要檢驗其是否服從帕累托分布，利用帕累托檢驗紙為檢驗工具，xi為樣本數(shù)據(jù)，yi為經(jīng)過標準化后的樣本數(shù)據(jù)，即yi=，若滿足帕累托分布的點xi對應(yīng)點yi的函數(shù)圖象呈現(xiàn)出一條直線，則樣本xi來自帕累托分布總體.

1.5 門限值選取

門限值的選取非常重要，它是估計形狀參數(shù)ε和尺度參數(shù)σ的前提，門限值太高會導致超量損失太少，進而使得尺度參數(shù)偏高，門限值太低會導致有偏估計量的產(chǎn)生，達不到擬合效果.

假設(shè)樣本數(shù)據(jù)在門限值的左端服從正態(tài)分布，且正態(tài)分布的均值和方差與GPD分布相同，右端服從廣義帕累托分布，其分布函數(shù)為:

則將樣本數(shù)據(jù)分別代入正態(tài)分布與廣義帕累托分布的方程中，所得二元方程的解即為所求門限值.

1.6 參數(shù)ε和σ的估計

GPD的概率密度函數(shù)為:

現(xiàn)求解其極大似然函數(shù):

其對數(shù)化后的極大似然函數(shù)取最大值，得ε，σ為最佳估計量.

若要求得最大函數(shù)值，需將極大似然估計函數(shù)求偏導，得:

解方程組即可求得ε和σ.

1.7 K－S擬合優(yōu)度檢驗

選用K-S擬合優(yōu)度檢驗來判斷樣本數(shù)據(jù)分布是否與理論分布相一致，若一致，那么結(jié)論更具說服力.利用K-S檢驗法，將原假設(shè)設(shè)定為H0:F(x)=F0(x)，求出經(jīng)驗分布函數(shù)和統(tǒng)計量，其中

其中規(guī)定:Fn(xn+1)=1.

對于給定檢驗水平α和樣本容量n，查Kolmogorov分布的分位數(shù)表，得臨界值 Dn，1-α，使得 P{Dn≤Dn，1-α};若 Dn≤Dn，1-α，則接受原假設(shè).

2 洪水災害損失的實證研究

2.1 數(shù)據(jù)收集與處理

樣本數(shù)據(jù)主要來源于《中國防汛抗旱》登載的從2004年至2012年的每次洪水災害損失，共225組數(shù)據(jù)，并以2010年CPI為定基指數(shù)，對從2004年至2012年每次洪澇災害的損失數(shù)據(jù)進行了調(diào)整.

2.2 散點圖

為初步觀察樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分布，現(xiàn)用SPSS軟件以時間為橫坐標，樣本數(shù)據(jù)為縱坐標做散點圖.

通過發(fā)現(xiàn)，點的分布過分密集，無法對其分布進行準確的回歸，為克服這一弊端，需將樣本數(shù)據(jù)對數(shù)化(圖2).

2.3 對數(shù)化數(shù)據(jù)的厚尾性檢驗

我們通過頻率直方圖(圖3)和正態(tài)p-p圖(圖4)對對數(shù)化數(shù)據(jù)的厚尾性進行檢驗.檢驗結(jié)果如圖5所示.

通過頻率直方圖3可以看出，與正態(tài)分布曲線相對比，對數(shù)化數(shù)據(jù)的尾部分布更為頻繁，具有明顯的右偏、厚尾、長尾特性，且在正態(tài)p-p圖4中，對數(shù)化數(shù)據(jù)偏離直線下凸，厚尾特征顯著.

2.4 帕累托檢驗

將與其標準化后的數(shù)據(jù)yi相對應(yīng)，共得到225個點(xi，yi)，將數(shù)據(jù)代入，畫出帕累托檢驗圖(圖5)，由圖5可見，函數(shù)圖象近似一條直線，所以對數(shù)化數(shù)據(jù)滿足帕累托分布.

2.5 門限值估計

將對數(shù)化數(shù)據(jù)分別代入正態(tài)分布與廣義帕累托分布的方程中，解二元方程，得μ=8.1.

2.6 ε，σ估計

將 xi，yi，μ 代入公式(7)中，結(jié)果見表 1.

表1 分布函數(shù)估計

2.7 K－S擬合優(yōu)度檢驗

3 結(jié)語

本文將基于廣義帕累托分布的POT模型用于洪水損失的擬合中，盡管在以往的文獻中，Gamma，Weibull和Lognormal等分布被廣泛應(yīng)用，但是在擬合具有強大厚尾特征的巨災損失分布時，大大降低擬合效果的準確度.POT模型比以往模型具有更好的擬合效果和擬合精度，是一種值得推廣的巨災損失擬合模型，運用該模型進行擬合，對在今后巨災債券產(chǎn)品進行定價研究具有重要的實際意義.

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