連軍強(qiáng)，孫宏坤

1 海軍駐桂林地區(qū)軍事代表室，廣西桂林 541000

2 海軍駐黃埔造船有限公司軍事代表室，廣東廣州 510715

0 引 言

隨著艦船綜合電力和稀土永磁技術(shù)的發(fā)展，永磁電機(jī)已被廣泛應(yīng)用于艦船推進(jìn)領(lǐng)域。與傳統(tǒng)的勵(lì)磁電機(jī)相比，永磁電機(jī)具有低損耗、高功率密度等優(yōu)點(diǎn)。然而，齒槽轉(zhuǎn)矩作為永磁電機(jī)的固有特點(diǎn)會(huì)引起電機(jī)的振動(dòng)、噪聲和控制困難；因此，削弱永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩成為永磁電機(jī)研究的重要方面。永磁電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩的產(chǎn)生來自永磁體與電樞齒之間的切向力，是永磁體與電樞齒槽相互作用的結(jié)果［1-3］，它受電機(jī)極弧系數(shù)、永磁體厚度、氣隙長(zhǎng)度、定子槽口寬度等多個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)的影響。這些設(shè)計(jì)參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩之間呈現(xiàn)出既相互影響又相互制約的關(guān)系。所以在齒槽轉(zhuǎn)矩參數(shù)優(yōu)化時(shí)，需要在允許的參數(shù)空間內(nèi)尋找一組最優(yōu)的參數(shù)。采用有限元方法可以精確分析計(jì)算永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩，但該方法計(jì)算耗時(shí)長(zhǎng)，且無法給出永磁電機(jī)設(shè)計(jì)參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩之間的顯性關(guān)系。本文擬提出一種基于粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化方法。該方法將建立齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，并根據(jù)參數(shù)實(shí)際的取值范圍確定約束條件，以齒槽轉(zhuǎn)矩最小為目標(biāo)函數(shù)，使用粒子群算法對(duì)該解析模型在設(shè)計(jì)約束的多維參數(shù)空間內(nèi)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)，從而得到最優(yōu)的參數(shù)組合。

1 齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型及改進(jìn)

目前，齒槽轉(zhuǎn)矩的計(jì)算方法可以分為兩類：解析方法和數(shù)值方法。其中，解析法的物理概念清晰。齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型很多，主要分為基于能量法的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型和基于麥克斯韋張量法的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型兩大類［4-7］。齒槽轉(zhuǎn)矩參數(shù)優(yōu)化對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型有以下要求：

1）解析模型中要包含所有需要優(yōu)化的設(shè)計(jì)參數(shù)，這樣才能求得全局最優(yōu)解；

2）解析模型要能精確計(jì)算齒槽轉(zhuǎn)矩，且計(jì)算過程耗時(shí)要短，以減少粒子群尋優(yōu)的時(shí)間。

由于基于能量法的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型能直觀地體現(xiàn)各設(shè)計(jì)參數(shù)與齒槽轉(zhuǎn)矩的關(guān)系，且求解簡(jiǎn)單，所以選取基于能量法的解析模型，在參數(shù)選擇時(shí)，取對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響最大的極弧系數(shù)ap、永磁體厚度hm和定子槽口寬度b等參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)。齒槽轉(zhuǎn)矩參數(shù)優(yōu)化可描述為：

由于采用基于能量法的齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型，為便于計(jì)算，根據(jù)能量法［8］，齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型可進(jìn)行以下化簡(jiǎn)：

式中：θ為永磁體相對(duì)某一指定齒的中心線旋轉(zhuǎn)的角度；Wg(θ)為電機(jī)在角 θ時(shí)的儲(chǔ)能；G(α)為定轉(zhuǎn)子相對(duì)機(jī)械角為α的氣隙磁導(dǎo)；B(α，θ)為氣隙磁密；NL為磁極數(shù)與定子齒數(shù)的最小公倍數(shù)；n=1，2，…，N ；GnNL為磁導(dǎo)的NL的整數(shù)次諧波；為磁密的NL的整數(shù)次諧波。

從上式可以看出，建立齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型的關(guān)鍵是推導(dǎo)出氣隙相對(duì)磁導(dǎo)GnNL和氣隙磁密BnNL的表達(dá)式，氣隙相對(duì)磁導(dǎo)GnNL的表達(dá)式為

現(xiàn)對(duì)BnNL進(jìn)行推導(dǎo)。在齒槽轉(zhuǎn)矩模型中，一般都是將氣隙磁密理想化為矩形，根據(jù)拉普拉斯和準(zhǔn)泊松方程可得到精確的氣隙磁密表達(dá)式［9-12］。本文選取徑向充磁表貼式永磁電機(jī)為研究對(duì)象，在圖1所示的表貼式永磁電機(jī)模型中，Rs為定子半徑，Rr為轉(zhuǎn)子鐵心半徑，Rm為轉(zhuǎn)子外半徑，永磁體厚度表示為：hm=Rm-Rr，氣隙軸線的位置選在r==，對(duì)氣隙磁密徑向分量表達(dá)式進(jìn)行變形，得

式中：Mn為磁化強(qiáng)度矢量；μ0為真空磁導(dǎo)率；μr為永磁體相對(duì)磁導(dǎo)率；Np為轉(zhuǎn)子極對(duì)數(shù)。

在一個(gè)磁極范圍內(nèi)對(duì)式（4）積分，得

將式（5）和式（3）代入式（2），得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析模型。解析模型中只有極弧系數(shù)ap、永磁體厚度hm和定子槽口寬度b為未知參數(shù)，其余均為已知量。

2 粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法（Particle Swarm Optimization，PSO）最早由Eberhart和Kennedy于1995年提出，基本概念源于對(duì)鳥群覓食行為的研究［13-15］。

假設(shè)在一個(gè)D維的目標(biāo)搜索空間中，有N個(gè)粒子組成一個(gè)群落，其中第i個(gè)粒子表示為一個(gè)D維的向量：

第i個(gè)粒子的“飛行”速度也是一個(gè)D維的向量，記為

第i個(gè)粒子迄今為止搜索到的最優(yōu)位置稱為個(gè)體極值，記為

整個(gè)粒子群迄今為止搜索到的最優(yōu)位置為全局極值，記為

在找到這兩個(gè)最優(yōu)值時(shí)，粒子根據(jù)式（10）和式（11）來更新自己的速度和位置。

式中：c1和c2為學(xué)習(xí)因子，也稱加速常數(shù)（acceleration constant）；r1和 r2為［0，1］范圍內(nèi)的均勻隨機(jī)數(shù)［16］。算法流程如圖2所示。

圖2 PSO算法流程圖Fig.2 The flow chart of PSO

3 齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型參數(shù)尋優(yōu)及優(yōu)化結(jié)果分析

以圖1所示的表貼式永磁電機(jī)為研究對(duì)象，電機(jī)軸長(zhǎng)94 mm，電機(jī)參數(shù)見表1。永磁電機(jī)極弧系數(shù)ap的取值范圍[0 .6，0.9]，永磁體厚度hm（單位：mm）的取值范圍[3 .5，6.5]，定子槽口寬度b（單位：mm）的取值范圍[2 .25，2.75] ，解析模型中傅里葉級(jí)數(shù)迭代次數(shù)取20。將電機(jī)已知參數(shù)代入式（4）并進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得到電機(jī)徑向磁場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式：

表1 電機(jī)參數(shù)Tab.1 Parameters of permanent magnet motor

由式（2）、式（3）、式（4）和式（12），可得到齒槽轉(zhuǎn)矩的解析表達(dá)式

由式（13）所得的計(jì)算結(jié)果為沿氣隙軸線分布的多個(gè)點(diǎn)的齒槽轉(zhuǎn)矩值，而在電機(jī)設(shè)計(jì)過程中是將齒槽轉(zhuǎn)矩的峰值作為性能指標(biāo)，所以優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為

使用Matlab軟件對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型（式（14））進(jìn)行編程，粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)選取為：種群數(shù)為50；最大迭代次數(shù)分別取50，100和200。圖3所示為參數(shù)優(yōu)化過程和優(yōu)化函數(shù)收斂曲線。其中：圖3（a）和圖3（c）為迭代次數(shù)分別取50和200時(shí)，表貼式永磁電機(jī)3個(gè)對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大的參數(shù)，即極弧系數(shù)ap、永磁體厚度hm和定子槽口寬度b在粒子群尋優(yōu)過程中的變化；圖3（b）和圖3（d）為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即電機(jī)齒槽轉(zhuǎn)矩峰值在迭代過程中的收斂曲線。迭代50次時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值為0.23 N·m；粒子群算法迭代100次時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值為0.13 N·m；粒子群算法迭代200次時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值仍為0.13 N·m；所以，粒子群算法在迭代100次已尋到全局最優(yōu)值。

4 優(yōu)化方法的有限元驗(yàn)證

Ansoft軟件為專門的電機(jī)有限元計(jì)算軟件，使用Ansoft軟件自帶的優(yōu)化功能對(duì)文中所提出的優(yōu)化算法進(jìn)行驗(yàn)證，選擇Optimetrics選項(xiàng)中的GA選項(xiàng)，即遺傳算法優(yōu)化選項(xiàng)，Ansoft軟件中GA選項(xiàng)的數(shù)據(jù)樣本是大量的有限元分析數(shù)據(jù)，因此優(yōu)化結(jié)果可信，可作為本文所提出的優(yōu)化算法的驗(yàn)證手段。GA選項(xiàng)的參數(shù)設(shè)置如圖4所示，遺傳算法尋優(yōu)圖和優(yōu)化結(jié)果分別如圖5和圖6所示，迭代52次時(shí)取得全局最優(yōu)值。

圖3 參數(shù)優(yōu)化過程和優(yōu)化函數(shù)收斂曲線Fig.3 Progress of optimization of parameters and optimization function convergence

粒子群優(yōu)化結(jié)果與Ansoft軟件中GA選項(xiàng)優(yōu)化結(jié)果的對(duì)比見表2。從中可見，粒子群優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩值為0.13 N·m，遺傳算法優(yōu)化后齒槽轉(zhuǎn)矩值為0.132 N·m，兩者非常接近，但本文所提優(yōu)化算法的優(yōu)化時(shí)間要比Ansoft軟件中GA選項(xiàng)優(yōu)化時(shí)間少得多。這是由于基于粒子群算法的齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化方法是對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型進(jìn)行優(yōu)化，它的樣本數(shù)據(jù)由解析模型計(jì)算得到，而Ansoft軟件中GA選項(xiàng)的樣本數(shù)據(jù)是由有限元計(jì)算得到的，耗時(shí)較長(zhǎng)。

圖4 遺傳算法參數(shù)設(shè)置Fig.4 The parameter setup of Genetic Algorithm

圖5 遺傳算法尋優(yōu)圖Fig.5 The progress of Genetic Algorithm search for optimistic result

圖6 遺傳算法優(yōu)化結(jié)果Fig.6 The optimization result by using Genetic Algorithm

表2 優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.2 Comparison of the optimization results

使用粒子群優(yōu)化后的參數(shù)建立表貼式永磁電機(jī)的有限元模型，進(jìn)行有限元分析，結(jié)果如圖7所示。在進(jìn)行仿真時(shí)，設(shè)置電機(jī)角速度為1（°）/s，故每秒對(duì)應(yīng)機(jī)械度1°。電機(jī)參數(shù)優(yōu)化前齒槽轉(zhuǎn)矩值為1.23 N·m，使用粒子群算法對(duì)電機(jī)參數(shù)優(yōu)化后，齒槽轉(zhuǎn)矩值降為0.13 N·m，降低了近90%，說明基于粒子群算法的齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化方法能夠有效對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到大幅度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

5 結(jié)語

圖7 PSO算法優(yōu)化前后齒槽轉(zhuǎn)矩對(duì)比圖Fig.7 Cogging torque before optimization and after optimization

本文在對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩解析模型進(jìn)行變形和簡(jiǎn)化的基礎(chǔ)上，選取對(duì)齒槽轉(zhuǎn)矩影響較大的3個(gè)參數(shù)作為優(yōu)化變量，以齒槽轉(zhuǎn)矩峰值為優(yōu)化目標(biāo)量，使用粒子群算法進(jìn)行優(yōu)化，經(jīng)有限元驗(yàn)證，該方法取得了較精確的優(yōu)化參數(shù)，且計(jì)算時(shí)間大大縮短，說明基于粒子群算法的齒槽轉(zhuǎn)矩優(yōu)化方法能夠有效對(duì)電機(jī)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，達(dá)到大幅度削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的目的。

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