陳明娟

摘 要 數(shù)學(xué)廣角是在培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題能力中滲透數(shù)學(xué)思維的重要載體。本文以“植樹問(wèn)題”為例，闡述如何在數(shù)學(xué)廣角教學(xué)中滲透對(duì)應(yīng)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)建模等重要數(shù)學(xué)思想，以提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)廣角 數(shù)學(xué)思想

中圖分類號(hào)：G424 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

基本數(shù)學(xué)思想方法是提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力和思維能力的重要手段，是實(shí)現(xiàn)從傳授知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力轉(zhuǎn)變的重要途徑。但它們都是隱性的，抽象的。數(shù)學(xué)廣角的內(nèi)容都是把這些抽象的數(shù)學(xué)思想方法以學(xué)生可以理解的直觀的、生動(dòng)有趣的形式呈現(xiàn)。讓學(xué)生在直觀的解決問(wèn)題過(guò)程中感悟抽象的數(shù)學(xué)思想。在教學(xué)過(guò)程中教師的作用就不可小覷，應(yīng)該作為組織引導(dǎo)者和促進(jìn)參與者，要運(yùn)用多種手段激發(fā)學(xué)生的思考意識(shí)和問(wèn)題意識(shí)。引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮主體作用，自主實(shí)踐，運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，探索新方法手段，利用多樣的思想方法來(lái)解決問(wèn)題。在“植樹問(wèn)題”教學(xué)中筆者充分滲透了如下的一些思想方法。

1 對(duì)應(yīng)思想

所謂“對(duì)應(yīng)”是指一個(gè)系統(tǒng)中某一項(xiàng)性質(zhì)、作用、位置或數(shù)量上跟另一系統(tǒng)中某一項(xiàng)相當(dāng)。對(duì)應(yīng)思想有助于加深對(duì)知識(shí)的理解，培養(yǎng)學(xué)生清晰有條理的思考方法，提高學(xué)生比較問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。在植樹問(wèn)題教學(xué)中，對(duì)于研究段數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系，筆者充分引導(dǎo)了這一思想方法。

【片斷一】

探究關(guān)系：（1）為什么都是在24米長(zhǎng)的小路，都是每隔6米種一棵，會(huì)出現(xiàn)3種不同的結(jié)果呢？（2）有沒(méi)有共同的地方？（3）段數(shù)相同，棵樹相同嗎？

打開信封，結(jié)合里面的兩個(gè)材料想一想。

材料一：

材料二：

男生女生排隊(duì)，人數(shù)一樣多，最后一位（ ）

（1）先獨(dú)立思考。（2）可以同桌之間，小組之間相互討論。（3）請(qǐng)小朋友說(shuō)出自己的想法，并把關(guān)鍵字板書。（4） 總結(jié)。

學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，籬笆數(shù)和木樁數(shù)之間的關(guān)系：籬笆數(shù)=木樁數(shù)+1。

男學(xué)生數(shù)和女學(xué)生數(shù)之間的關(guān)系：男生數(shù)=女生數(shù)。

再回到3種種樹情況中有沒(méi)有對(duì)應(yīng)思想的存在。

一棵樹跟著一個(gè)間隔，間隔和樹一一對(duì)應(yīng)，最后那棵樹沒(méi)有間隔與其對(duì)應(yīng)，所以棵樹比間隔數(shù)多1。

一棵樹跟著一個(gè)間隔，間隔和樹一一對(duì)應(yīng)，棵樹和間隔數(shù)一樣。

一棵樹跟著一個(gè)間隔，間隔和樹一一對(duì)應(yīng)，最后多了一個(gè)間隔出來(lái)。

至此學(xué)生已經(jīng)感受植樹問(wèn)題中一一對(duì)應(yīng)思想方法的存在，理解了多1的原因，建立起深刻、整體的表象，體會(huì)到不同植樹問(wèn)題情形中棵樹和間隔之間的關(guān)系。在后續(xù)的練習(xí)中，學(xué)生能夠充分利用這一思想方法來(lái)解題，正確率大大提高了。

2 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合是指借助簡(jiǎn)單的圖形、符號(hào)和文字所做的示意圖，促進(jìn)學(xué)生形象思維和抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，溝通數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，從復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系中凸顯最本質(zhì)的特征。在學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的基礎(chǔ)上，通過(guò)教師的引導(dǎo)，建立數(shù)形結(jié)合有利于學(xué)生的思考，降低學(xué)習(xí)的難度。加大學(xué)生的思考空間和創(chuàng)造空間，激活學(xué)生的思維。

在植樹問(wèn)題教學(xué)中，要進(jìn)一步研究不同情形的植樹問(wèn)題棵樹和間隔數(shù)之間的關(guān)系，并且抽象出公式，如果只是單純地把數(shù)量關(guān)系告訴學(xué)生，讓學(xué)生強(qiáng)硬記住，并且反復(fù)練習(xí)，所得的結(jié)果只有兩個(gè)：易混淆和易出錯(cuò)，時(shí)間一長(zhǎng)容易忘記。所以筆者不提倡讓學(xué)生單純記憶任何一種植樹問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系和公式，而是注重讓學(xué)生與他人合作交流，利用較小的數(shù)做實(shí)驗(yàn)，通過(guò)探究活動(dòng)，畫線段圖或示意圖的方式很好地把數(shù)量關(guān)系抽象出來(lái)，并嘗試用自己的語(yǔ)言表述這個(gè)結(jié)果，利用“多數(shù)推廣”的方法找規(guī)律，以小見(jiàn)大，推廣應(yīng)用。

【片斷二】

（1）獨(dú)立嘗試把上述不同的種樹情況和自己的想法通過(guò)畫圖表示出來(lái)，收集不同圖示進(jìn)行展示，如下：

（2）就上述不同情況進(jìn)行比較和辨析。

為什么在同樣長(zhǎng)24米的小路一邊植樹，都是每隔6米種一棵，會(huì)出現(xiàn)三種不同的結(jié)果？（關(guān)鍵是看兩個(gè)端點(diǎn)是否植樹）。初步感知棵樹和段數(shù)之間的關(guān)系。

（3）再次嘗試合作探究，不同條件下棵樹和段數(shù)直接的關(guān)系。

①在這條24米長(zhǎng)的路上植樹，除了可以每隔6米種一棵，還可以每隔幾米種一棵？學(xué)生紛紛說(shuō)出各自的想法，每隔2米、3米、4米、8米等等。

②請(qǐng)學(xué)生選擇自己喜歡的相隔米數(shù)，再次通過(guò)畫圖來(lái)完成三種不同的植樹情況。（提供獨(dú)立探究的操作紙）

③數(shù)據(jù)填入表格

④展示學(xué)生研究結(jié)果

觀察表格結(jié)果，你對(duì)不同植樹情況下，棵樹和段數(shù)之間的關(guān)系有什么新的發(fā)現(xiàn)？（很多學(xué)生都說(shuō)有規(guī)律）。

總結(jié)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)：兩端都種：棵樹=段數(shù)+1。

一端種，一端不種：棵樹=段數(shù)

兩端都不種：棵樹=段數(shù)1

這樣的操作和探索不單單做到了數(shù)形結(jié)合，同時(shí)又把三種植樹情況聯(lián)系在一起，為學(xué)生的個(gè)性化思維提供了寬敞的舞臺(tái)，力求讓每個(gè)層次的學(xué)生都能展現(xiàn)出自己的理解，并在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候進(jìn)行交流，讓學(xué)生由表及里地把外在的感性操作提升為內(nèi)在的理性經(jīng)驗(yàn)，真正培養(yǎng)和發(fā)展了學(xué)生的抽象思維能力和問(wèn)題解決能力。

3 數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模是把錯(cuò)綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的合理的易于理解的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的過(guò)程。它是一種數(shù)學(xué)的思考方法和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，有助于學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，體驗(yàn)數(shù)學(xué)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系，體驗(yàn)綜合運(yùn)用知識(shí)和方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)；激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力?！爸矘鋯?wèn)題”的模型是典型的數(shù)學(xué)模型，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于生活。在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用。

【片斷三】

發(fā)現(xiàn)生活中的植樹問(wèn)題

（1）先讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)生活中有沒(méi)有類似植樹問(wèn)題的例子。

（2）老師這里準(zhǔn)備了一些圖片，我們一起來(lái)看一看。（課件出示有間隔的圖片）①手；②樓梯。③鋸木頭。④學(xué)生排隊(duì)。⑤栽電線桿、安路燈、插彩旗、汽車站、鐘面。

通過(guò)舉例身邊的實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)，現(xiàn)實(shí)生活中的許多不同事件都含有與植樹問(wèn)題相同的數(shù)量關(guān)系，它們都可以利用植樹問(wèn)題的模型來(lái)解決它，感悟數(shù)學(xué)建模的重要意義。