宋利梅

(嘉應(yīng)學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東梅州 514015)

0 引言

隨著非線性科學(xué)的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)用分?jǐn)?shù)階微分方程更能準(zhǔn)確地描述一些自然現(xiàn)象的變化規(guī)律.因此，研究分?jǐn)?shù)階微分方程對解決非線性問題意義重大［1～2］.而分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題是分?jǐn)?shù)階微分方程理論的重要問題之一，近年來已經(jīng)成為研究熱點(diǎn).相關(guān)的研究文獻(xiàn)很多［3～8］，文獻(xiàn)［8］利用 Banach壓縮映射原理研究了具有P－Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題.

i=2，3，…，［α］－1，其中 φp是一個(gè)p－Laplacian 算子，φp(s)=|s|p－1s，p ＞ 1.φq= φ－11，CDα表示α階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù).1＜α∈?是一個(gè)常數(shù).f∈C(［0，1］× ?，? )是非線性函數(shù).受上述文獻(xiàn)啟發(fā)，本文研究具有P－Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程多點(diǎn)邊值問題，

解的存在性，其中1＜α＜2，CDα是α階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù).ai＞0，(i=1，2，…，m －2)，0 ＜ ξ1＜ ξ2＜ … ＜ξm－2＜1，f∈C(［0，1］×?，? )是非線性函數(shù)，φp是一個(gè) P －Laplacian 算子.φp(s)=|s|p－1s，p＞1，φq=由φp的表達(dá)式易得，φp為定義在?上的嚴(yán)格單調(diào)遞增的連續(xù)算子.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［3］連續(xù)函數(shù)u:(0，∞)→? 的α ＞0階Riemann－Liouville分?jǐn)?shù)積定義為

其中Γ(·)為Gamma函數(shù).

定義2［3］連續(xù)函數(shù)u:(0，∞)→? 的 α ＞0階Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中Γ(·)為Gamma函數(shù).n為大于或等于α的最小整數(shù).

注 1 IαIβf(t)=Iα+βf(t);DαIαf(t)=f(t).α ＞0，β ＞0，f∈L(0，1);B 是 Beta 函數(shù)，且 B(u，y)=

引理 1［3］假設(shè) u∈Cn［0，1］，那么

其中 Ci∈?，i=1，2，…，n，n 是大于或等于 α 的最小整數(shù).

等價(jià)于積分方程

證明 由Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義知CDαx(0)=0，對方程(φp(CDαx(t)))＇=h(t)兩邊從 0 到 t積分，得 φp(CDαx(t))=h(s)ds，CDα(t)=φq(h(s)ds).根據(jù)引理 1，有 x(t)=Iα(φq(h(s)ds))+C0+C1t.由注 1，得

反過來，也很容易證明積分方程(3)的解是邊值問題(2)的解.證畢.

本文主要結(jié)論的證明需要用到如下p－Laplacian算子的基本性質(zhì):

(1)若1＜p＜2，xy＞0，且|x|，|y|＞m ＞0，則

(2)若 p＞2，|x|，|y|＜M，則

2 主要結(jié)論

令 Banach空間 E=C［0，1］，其范數(shù)為‖x‖:由引理 2 知，x∈E 是邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x∈E是下面積分方程的解.

定義算子 T0:E→E為 T0x(t)=φq(f(s，x(s))ds).再定義T1:E→E為

令T=T1?T0，那么T:E→E是一個(gè)連續(xù)緊算子，事實(shí)上，由f的連續(xù)性知T也是連續(xù)的.Ω?E是一個(gè)有界子集.A＞0是一個(gè)常數(shù)，使得對?x∈Ω.有‖x‖ ＜A.令，則對

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設(shè)x∈E，易知x是邊值問題(1)的解當(dāng)且僅當(dāng)x是T的不動(dòng)點(diǎn).如果P＞2，那么，有1 ＜q＜2，有下面定理.

(H1)存在常數(shù)

使得

證明 由式(6)，有λtδ＜f(s，x)ds.(t，x)∈［0，1］×? .由式(4)及 T0的定義，對于任意的 x，y∈E有|T0x(0)－T0y(0)|=0.對 t＞0，

因此

由條件(H1)知0＜L＜1.從而‖Tx－Ty‖ ＜L‖xy‖.這樣，T:E→E是一個(gè)壓縮映射.由Banach壓縮映射原理，T在E中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).即邊值問題(1)有唯一的解.證畢.

(H2)存在常數(shù)λ＞0，0使得 f(t，x)＜ － λδtδ－1，(t，x)∈［0，1］× ?，且|f(t，x)－ f(t，y)|＜ k|x － y|，t∈［0，1］，x，y∈? .

該定理的證明與定理1的證明類似，略.

(H3)存在非負(fù)函數(shù) g∈L［0，1］，M:=g(t)dt＞0和常數(shù)k，o＜k＜

使得

證明 由式(8)，對 t∈［0，1］，有

|f(s，x(s))ds|＜|f(s，x(s))|ds＜q(s)ds=M.由(5)和(9)，對任意的 x，y∈E，有

因此

|Tx(t)－Ty(t)|=|T1(T0x)(t)－T1(T0y)(t)|τ d τ］k(q－1)Mq－2‖x－y‖ ＜=:L1‖ x － y‖， 其 中 L1=‖x － y‖=:L1‖x－y‖.由條件(H3)知0 ＜L1＜1，從而‖Tx－Ty‖＜L1‖x－y‖.這樣，T:E→E是一個(gè)壓縮映射.由Banach壓縮映射原理.T在E中有唯一的不動(dòng)點(diǎn).即邊值問題(1)有唯一的解.證畢.

作為應(yīng)用，現(xiàn)舉例如下.

例1 考察邊值問題

由定理1知，邊值問題(10)有唯一解.

例2 考察邊值問題.

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