鄭立功

（中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 中國科學(xué)院 光學(xué)系統(tǒng)先進(jìn)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，吉林 長春130033）

引言

大口徑光學(xué)平面鏡的檢測，在傳統(tǒng)光學(xué)檢測中，通常需要配備大口徑干涉儀或者搭建Ritcheycommon形式的檢驗(yàn)光路［1-2］，這時往往需要一塊與被檢元件尺寸相同甚至更大尺寸的參考光學(xué)平面或球面，然而制造和檢測大口徑參考平面鏡和球面鏡存在很多的困難，并且所需的時間很長，費(fèi)用也很昂貴。

子孔徑拼接技術(shù)作為一種有效的大口徑光學(xué)鏡面檢測手段，最早于1982年由C.J.Kim提出，該技術(shù)用一系列較小的光學(xué)平面陣列代替了較大的參考平面，從而實(shí)現(xiàn)對大型光學(xué)系統(tǒng)的檢測。在國外，QED公司與亞利桑那大學(xué)光學(xué)中心對該技術(shù)進(jìn)行了比較深入的研究。2003年，QED公司成功研制了自動拼接干涉儀，同時其基于VON（variable optical null）技術(shù)［3］，成功實(shí)現(xiàn)了對大偏離量凸非球面的子孔徑拼接檢測。亞利桑那大學(xué)光學(xué)中心基于 ML（maximum likelihood）算法，在標(biāo)準(zhǔn)參考鏡存在較大面形誤差的情況下，對1.6m光學(xué)平面鏡實(shí)現(xiàn)了拼接檢測［4］。

國內(nèi)自上世紀(jì)90年代以來也有多家單位對此進(jìn)行了研究，其中長春光機(jī)所實(shí)現(xiàn)了對非球面的拼接檢測［5-6］；南京理工大學(xué)將子孔徑技術(shù)應(yīng)用到了相移平面干涉儀中［7］；四川大學(xué)成功搭建了一套子孔徑拼接檢測實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)［8］。

本文基于最小二乘擬合提出了一套拼接算法，由標(biāo)記點(diǎn)標(biāo)定完成了子孔徑間的對準(zhǔn)，實(shí)現(xiàn)了對Φ120mm口徑平面鏡拼接。同時通過將拼接結(jié)果與全口徑檢測結(jié)果與自檢檢測結(jié)果進(jìn)行對比，對拼接結(jié)果進(jìn)行了誤差分析。

1 子孔徑拼接的數(shù)學(xué)模型與拼接算法

1.1 子孔徑數(shù)據(jù)采集與坐標(biāo)變換

子孔徑拼接是指依據(jù)被檢面的面形參數(shù)及干涉儀的技術(shù)參數(shù)將被檢面劃分為若干個子區(qū)域，對各子區(qū)域單獨(dú)檢測，再將檢測結(jié)果拼接合并，從而獲得整個被檢面面形信息的檢測方法。如圖1所示，w1與w2分別代表兩次干涉儀在待測光學(xué)鏡面上檢測區(qū)域，它們之間有一定面積的重疊（重疊區(qū)域面積不小于子孔徑面積的25%），每個子孔徑對應(yīng)的相位分布用（x1、y1、z1）與（x2、y2、z2）表示（相位分布可以由Zygo干涉儀測得），由于2個子孔徑間存在一定的位置關(guān)系（該位置關(guān)系可以通過靶標(biāo)標(biāo)定或者由2個孔徑間的機(jī)械移動讀取），對于光學(xué)平面鏡的測量，2個子孔徑間的位置關(guān)系可以用平移與旋轉(zhuǎn)來表示，假設(shè)孔徑2相對于孔徑1有一個x方向的平移dx，一個y方向的平移dy，并且繞某一點(diǎn)（rx、ry）逆時針旋轉(zhuǎn)了θ角度。

圖1 子孔徑示意圖Fig.1 Two sub-apertures with a common area

以孔徑1為基準(zhǔn)建立全局坐標(biāo)系，孔徑2在全局坐標(biāo)下的坐標(biāo)表示為（x2’、y2’、z2’），由齊次坐標(biāo)變換理論［9］，得到：

其中：

計(jì)算可得：

在子孔徑檢測中，利用標(biāo)記點(diǎn)或靶標(biāo)標(biāo)定確定各子孔徑間的相對位置關(guān)系，基于上述理論實(shí)現(xiàn)各子孔徑間對準(zhǔn)，通過選擇基準(zhǔn)子孔徑，從而完成子孔徑全局坐標(biāo)的統(tǒng)一。

圖2 拼接算法流程圖Fig.2 Flow chart of stitching algorithm

1.2 拼接系數(shù)的求解與多個孔徑拼接

利用重疊區(qū)域檢測數(shù)據(jù)求解相鄰子孔徑間的相對調(diào)整誤差，可以實(shí)現(xiàn)子孔徑兩兩拼接。通過重復(fù)利用子孔徑兩兩拼接原理就可以實(shí)現(xiàn)多個子孔徑的拼接。但是這樣會造成誤差傳遞和累積，從而降低整個孔徑的檢測精度［7］。因此，在拼接中采用綜合優(yōu)化的拼接算法，子孔徑算法流程圖如圖2所示。

首先，完成對子孔徑相位信息的采集，依據(jù)各子孔徑間的相對位置，采用上述方法實(shí)現(xiàn)子孔徑的全局坐標(biāo)統(tǒng)一，并定義插值點(diǎn)，通過三角剖分插值算法［10-11］獲得插值點(diǎn)在不同子孔徑內(nèi)計(jì)算所得的相位值，計(jì)算各子孔徑相對于參考子孔徑的拼接系數(shù)。

假設(shè)共有N個子孔徑，以第N個子孔徑為基準(zhǔn)子孔徑，第i個子孔徑的相位值可以表示為

式中：wi為第i個子孔徑檢測數(shù)據(jù)；pi、ai、bi分別對應(yīng)第i個子孔徑對應(yīng)的平移與傾斜系數(shù)。由于不同子孔徑在重疊區(qū)域應(yīng)該檢測到相同的相位值，基于最小二乘擬合算法，則

（5）式可以寫為

式中，矩陣P、Q、R分別為

（7）式～（8）式中的求和是在重疊區(qū)域進(jìn)行的，若兩子孔徑wi和wj間沒有重疊部分，則子矩陣Pij、Qij為零矩陣。通過（6）式～（11）式即可求得各子孔徑拼接系數(shù)矩陣Ri，即可實(shí)現(xiàn)被檢鏡面的全口徑面形重建。

2 子孔徑拼接實(shí)驗(yàn)及結(jié)果

為了驗(yàn)證上述算法對高精度平面鏡的拼接精度，對口徑Φ120mm平面鏡進(jìn)行了拼接驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)。檢測裝置如圖3所示。其中利用口徑Φ100mm 4個子孔徑對被檢測面形完成了全口徑覆蓋，子孔徑規(guī)劃如圖4所示。子孔徑檢測結(jié)果如圖4所示。

拼接中，基于標(biāo)記點(diǎn)實(shí)現(xiàn)了各子孔徑間的對準(zhǔn)及全局坐標(biāo)統(tǒng)一。如圖5所示，標(biāo)記點(diǎn)在各子孔徑檢測結(jié)果中體現(xiàn)為一圓形區(qū)域（該區(qū)域內(nèi)檢測結(jié)果為No Data）。各子孔徑內(nèi)該圓形區(qū)域應(yīng)位于全局坐標(biāo)內(nèi)同一位置，基于該區(qū)域?qū)崿F(xiàn)各子孔徑X方向及Y方向的對準(zhǔn)，從而完成各子孔徑全局坐標(biāo)的統(tǒng)一。在拼接算法中，采用三角剖分插值［10-11］。拼接結(jié)果如圖6所示。同時基于2種方法對拼接精度進(jìn)行了誤差分析。首先，利用口徑Φ150mm干涉儀對被檢鏡面進(jìn)行了全口徑面形測量，測量結(jié)果如圖7所示。將全口徑測量結(jié)果與子孔徑拼接結(jié)果進(jìn)行點(diǎn)對點(diǎn)相減，得到2次檢測結(jié)果的殘差圖如圖7所示。由圖8可以看到殘差圖面形光滑連續(xù)，其PV（peak-to-valley）值與 RMS（root-mean-square）值分別為0.020λ與0.002λ。

在實(shí)際檢測中，通常并不能直接獲得被檢鏡的全口徑面形，特別是對大口徑平面鏡與凸非球面鏡。此時可以通過自檢驗(yàn)的方式對拼接精度進(jìn)行分析。自檢驗(yàn)即利用子孔徑檢測信息對拼接結(jié)果進(jìn)行精度分析。通過分析拼接結(jié)果與自檢驗(yàn)子孔徑檢測結(jié)果在自檢驗(yàn)子孔徑區(qū)域的殘差從而對拼接精度進(jìn)行評價。其中自檢驗(yàn)子孔徑檢測結(jié)果如圖9所示，自檢驗(yàn)子孔徑與拼接結(jié)果殘差圖如圖10所示。由圖10可以看到其PV與RMS值分別為0.011λ與0.002λ。亦驗(yàn)證了拼接算法在檢測高精度平面鏡時的可靠性與準(zhǔn)確性。

3 結(jié)論

本文基于最小二乘擬合拼接算法，利用標(biāo)記點(diǎn)標(biāo)記的方式實(shí)現(xiàn)各子孔徑的對準(zhǔn)，利用Φ100 mm干涉儀對Φ120mm平面鏡實(shí)現(xiàn)了拼接檢測，拼接結(jié)果光滑連續(xù)，無狹縫。同時分別利用全口徑檢測結(jié)果與自檢驗(yàn)的方式對拼接結(jié)果進(jìn)行誤差分析，其與全口徑PV值與RMS值的偏差分別為0.020λ與0.002λ，與自檢驗(yàn)子孔徑PV 值與RMS值的偏差分別為0.011λ與0.002λ，驗(yàn)證了本文所述方法的可行性。本文所述技術(shù)具有檢測精度高與設(shè)備要求簡單等諸多優(yōu)點(diǎn)，為高精度平面反射鏡的拼接檢測提供了一種有效可行的方法。

［1］ 李新南，張明意.大口徑光學(xué)平面的子孔徑拼接檢驗(yàn)研究［J］.光學(xué)技術(shù)，2006，32（4）：514-517.LI Xin-nan，ZHANG Ming-yi.Study on the sub-aperture stitching interferometry for large plane optics optical technique［J］.Optical Technique，2006，32（4）：514-517.（in Chinese with an English abstract）

［2］ 張明意，李新南.子孔徑拼接法檢測大口徑光學(xué)鏡面精度分析［J］.應(yīng)用光學(xué)，2006，27（5）：446-449.ZHANG Ming-yi，LI Xin-nan.Accuracy analysis of stitching interferometry for test of large-diameter mirror［J］.Journal of Applied Optics，2006，27（5）：446-449.（in Chinese with an English abstract）

［3］ PAUL MURPHY，GARY DEVRIES，F(xiàn)LEIG J，et al.Measurement of high-departure aspheric surfaces using shubaperture stitching with variable null optics［J］.SPIE，2009，7426：74260P.

［4］ SU Peng.Absolute measurements of large mirrors［D］.Arizona：The University Of Arizona，2008.

［5］ 王孝坤，鄭立功，張學(xué)軍，等.子孔徑拼接干涉檢測離軸非球面研究［J］.光子學(xué)報，2011，40（1）：92-97.WANG Xiao-kun，ZHENG Li-gong，ZHANG Xuejun，et al.Testing an off-axis asphere by subaperture stitching interferometry［J］.Acta Photonica Sinica，2011，40（1）：92-97.（in Chinese with an English abstract）

［6］ 王孝坤.利用子孔徑拼接法測量大口徑凸面反射鏡［J］.應(yīng)用光學(xué)，2013，34（1）：95-100.WANG Xiao-kun.large convex mirror measurement by subaperture stitching interferometry［J］.Journal of Applied Optics，2013 ，34（1）：95-100.（in Chinese with an English abstract）

［7］ WANG Q，CHEN J B，ZHU R H，et al.A new technique for testing large optical flat［J］.SPIE，1993 ，2003：389-397.

［8］ 張蓉竹，石琪凱，蔡邦維，等.子孔徑拼接干涉檢測實(shí)驗(yàn)研究［J］.光學(xué)技術(shù)，2004，30（2）：173-175.ZHANG Rong-zhu，SHI Qi-kai，CAI Bang-wei.Subaperture stitching interferometry detection experimental［J］.Optical Technology，2004 ，30（2）：173-175.（in Chinese with an English abstract）

［9］ 王孝坤，王麗輝，張學(xué)軍.子孔徑拼接干涉法檢測非球面［J］.光學(xué)精密工程，2007，15（2）：192-198.WANG Xiao-kun，WANG Li-hui，ZHANG Xue-jun.Testing asphere by sub-aperture stitching interferometric method［J］.Optics and Precision Engineering，2007，15（2）：192-198.（in Chinese with an English abstract）

［10］ 閆力松，王孝坤，羅霄，等.采用三角剖分算法的子孔徑拼接檢測技術(shù)［J］.紅外與激光工程 ，2013，42（7）：1793-1797.YAN Li-song，WANG Xiao-kun，LUO Xiao，et al.Subaperture testing technology based on triangulation algorithm［J］.Infrared and Laser Engineering，2013，42（7）：1793-1797.（in Chinese with an English abstract）

［11］ YAN Li-song，WANG Xiao-kun，ZHANG Li-gong，et al.Experimental study on subaperture testing with iterative triangulation algorithm［J］.Optics Express，2013，21（19）：22628-22644.