安 冬，達飛鵬，蓋紹彥，陸 可

（東南大學 自動化研究所，江蘇 南京210096）

引言

光柵投影輪廓測量術(shù)是把光柵投影到被測物體表面，光柵由于受物體高度的調(diào)制而發(fā)生變形，通過對變形的光柵進行處理，解調(diào)出代表物體高度的相位信息，再經(jīng)過相位展開和系統(tǒng)標定就可以獲得物體的三維信息［1-3］。傳統(tǒng)的光柵投影輪廓測量法對投影裝置、攝像機和參考面的相對位置關(guān)系要求嚴格，如光軸垂直于參考面，攝像機光心和投影中心的連線平行于參考面，光軸和投影軸相交于參考面等［4-5］。由于光心和光軸是假想的空間點和直線，實際操作中難以滿足上述位置關(guān)系。近年來，許多學者對上述問題進行了研究，如田愛玲［6］、HUQY［7］等人的方法不要求滿足平行性，許慶紅［8］、Xiao［9］等人的方法放寬了平行和垂直的要求，但這些算法仍然需要滿足光軸和投影軸相交于參考面。本文針對Xiao方法仍存在的位置限制條件，提出一種更為開放、限制條件更少的系統(tǒng)標定模型，它只要求攝像機Y軸和投影裝置的Y軸互相平行，校準過程更加簡便，提高了系統(tǒng)標定的可操作性和測量精度。

1 新系統(tǒng)模型的提出及標定方法

1.1 新系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模型和相位-高度關(guān)系

圖1描述的是新系統(tǒng)的模型，其中各參量的意義如下：

圖1 系統(tǒng)模型原理圖Fig.1 Schematic of system model

對物體表面任意一點D，直線CD交XOY平面于點E，在世界坐標系下坐標為（x，y，0），交CCD成像面于點D′；直線PD交XOY平面于點A。E在X軸上的投影點為E′，D在XOY平面的投影點為B，DB即為物點D的高度。

下面推導D點高度h的表達式。

由幾何知識可得：

設(shè)P0為過O點且與光軸垂直的平面上光柵條紋間距［10］，p為參考面上條紋周期，則有令ΔΦ＝Φ-Φ ，可得：ED

將（3）式代入（2）式中，即可得高度與x之間的對應關(guān)系：

式中，a1～a5只與L1、L2、θ1、θ2、p0等系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，當測量系統(tǒng)固定后，a1～a5即為常系數(shù)。

由（4）式可知，高度h只與E點世界坐標系下的橫坐標有關(guān)，與其縱坐標無關(guān)。在實際測量時，所處理的是拍攝到的二維圖像坐標系，因此必須建立世界坐標系到圖像像素坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

1.2 CCD成像的坐標轉(zhuǎn)換關(guān)系

CCD成像模型如圖2所示，L表示CCD成像透鏡，C為光心，光軸CO1交參考面于O1點，交成像面于OC點，以O(shè)C為原點，建立攝像機坐標系OC-XCYCZC，其中YC軸平行于Y軸。參考面上任意一點E（x，y，0）（參考坐標系下）對應的成像點為EC（xC，yC，0）（攝像機坐標系下）。EF 垂直于X軸，且O1F平行于X軸。

圖2 CCD成像模型Fig.2 CCD imaging model

由于保持攝像機坐標系Y軸、世界坐標系Y軸以及投影裝置Y軸相互平行，在CCD成像面上，直線EF的像同樣平行于攝像機Y軸。因此，E點的世界坐標x值只與其成像點EC在攝像機坐標系下的xC值存在函數(shù)關(guān)系，而與yC無關(guān)。因此可以利用點F及其對應的成像點FC來求x與xC的對應關(guān)系。

過點F向光軸作垂線，交于點G，則ΔFGC與ΔFCOCC相似，可得：

因此，有：

同理可得：

對點FC，其坐標從參考坐標系到攝像機坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系滿足下式：

聯(lián)立（6）式～（8）式，可以求得：

將 （9）式代入 （4）式，可以得到某點高度與其投影點的坐標值的映射關(guān)系：

式中a1～a9只與系統(tǒng)參數(shù)有關(guān)，可以視為常系數(shù)。

不考慮透鏡成像畸變，從攝像機坐標系到圖像像素坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系為線性的，并且考慮到某點及其對應成像點的相位值相等，因此上式等價于：

式中：（u，v）為某成像點的像素坐標值；ΔΦ（u，v）為CCD拍攝到的參考面和物體表面同一成像點的相位值之差。

1.3 系統(tǒng)標定

（11）式中系數(shù)b1～b9與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)L1、L2、θ1、θ2以及光心坐標等有關(guān)，而這些參數(shù)很難實現(xiàn)精確測量，因此本文采用隱式標定法測量b1～b9。

其中最常用的方法為非線性最小二乘法，如Levenberg-Marquardt法等。最小二乘偏差為

式中：i表示每一個采樣點；m表示采樣點的總個數(shù)；hig表示第i個采樣點的高度。b1～b9可由下式求得：

2 實驗測量

為了檢驗本文所提方法的可行性及標定結(jié)果的精度，對如圖3（a）所示的已知高度的標準梯形工件進行測量檢驗。此測量系統(tǒng)由CCD相機、投影儀、圖像采集卡和計算機組成。

圖3 實驗測量圖Fig.3 Experimental measurement

標準梯形工件的高度（單位為mm）由高到低依次為：84.33、59.82、29.81、9.74。圖3（a）為待測物體的變形條紋圖，所用條紋為8步光柵。實驗中將29.81mm的標準塊作為待測量塊，其他3個作為已知條件，對（11）式中的各項系數(shù)進行求解，各項系數(shù)值如表1所示。然后對梯形工件進行三維重建，擬合效果如圖3（b）所示。得到工件的高度值如表2所示。并與Xiao方法所得結(jié)果作對比，可知所提方法的測量誤差具有較高的測量精度。

表1 實驗中各項系數(shù)值Table 2 Value of coefficients in experiment

表2 梯形工件高度表Table 2 Height of stepped artifacts

3 結(jié)論

本文建立了新的系統(tǒng)標定模型，提出了相應的相位高度關(guān)系，并且對該方法進行了實驗驗證。實驗結(jié)果表明，本方法受系統(tǒng)位置關(guān)系的約束小，與傳統(tǒng)的系統(tǒng)標定方法相比，可操作性強。此外，通過與Xiao方法實驗結(jié)果比較，可知該方法提高了系統(tǒng)的測量精度，增強了光柵條紋投影輪廓術(shù)的實用性。

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