王 丹，白俊強(qiáng)，朱 軍，華 俊，孫智偉

（1.西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072；2.中國航空研究院，北京 100012）

0 引 言

飛行器氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)是飛行器設(shè)計(jì)中的重要內(nèi)容，其直接影響了飛行器的氣動(dòng)性能和飛行品質(zhì)，而氣動(dòng)性能和飛行品質(zhì)的提高，離不開氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)工具和設(shè)計(jì)方法的改進(jìn)與發(fā)展。

氣動(dòng)外形的設(shè)計(jì)方法可以分為三大類：一類是經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，即利用已有的設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)流場特性分析，對氣動(dòng)外形進(jìn)行改進(jìn)，使其性能更優(yōu)；一類是直接求解空氣動(dòng)力反問題的設(shè)計(jì)方法，如翼型設(shè)計(jì)中，通常為給定目標(biāo)壓力分布，對初始翼型進(jìn)行修型、數(shù)值模擬計(jì)算迭代以期其壓力分布逼近目標(biāo)壓力分布，這類方法通常稱為反設(shè)計(jì)方法［1－2］；第三類則是將空氣動(dòng)力學(xué)正問題求解即計(jì)算流體力學(xué)（Computational Fluid Dynamics，CFD）方法與優(yōu)化算法相結(jié)合形成的各種氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)依賴較少，減小了人為因素的影響，且優(yōu)化理論和算法發(fā)展到現(xiàn)在已比較成熟，給予了優(yōu)化設(shè)計(jì)方法強(qiáng)有力的支撐，因此該方法在氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)中廣為應(yīng)用。

為了提高氣動(dòng)性能和縮短設(shè)計(jì)周期，現(xiàn)代飛行器設(shè)計(jì)對氣動(dòng)外形設(shè)計(jì)提出了更高的要求，希望在設(shè)計(jì)過程中能兼顧多學(xué)科、多目標(biāo)、多約束的設(shè)計(jì)要求，最終得出工程實(shí)用的設(shè)計(jì)結(jié)果，且設(shè)計(jì)耗時(shí)較少。當(dāng)前的氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在處理這種多設(shè)計(jì)要求的問題時(shí)主要有兩種途徑：一種是將多個(gè)目標(biāo)通過加權(quán)處理轉(zhuǎn)化為單個(gè)目標(biāo)［3］，再進(jìn)行優(yōu)化，如評價(jià)函數(shù)法［4－5］；另一種是建立在Pareto解集基礎(chǔ)上的多目標(biāo)方法［6－8］。但是這兩種方法在處理多個(gè)設(shè)計(jì)要求時(shí)，存在以下問題：對于第一種方法，每個(gè)目標(biāo)的權(quán)重系數(shù)對優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果影響很大，在設(shè)計(jì)目標(biāo)較多時(shí)，這種方法往往難以給出合適的各個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)之間的權(quán)重比；對于第二種方法，在設(shè)計(jì)目標(biāo)較多時(shí)，為了能夠搜索到較優(yōu)解，往往需要較大的種群規(guī)模（目標(biāo)個(gè)數(shù)越多，所需種群規(guī)模越大），這樣會使優(yōu)化效率大大降低，提高優(yōu)化設(shè)計(jì)成本。這兩種方法存在的問題是由其本身的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型所決定的，而建立合適的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型是開展多設(shè)計(jì)要求優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的前提。

針對上述優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的缺點(diǎn)和不足，本文發(fā)展了基于偏相關(guān)性分析的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。該方法提出一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立方法和優(yōu)化計(jì)算過程中對設(shè)計(jì)變量約束的處理方法，通過對設(shè)計(jì)變量和設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行偏相關(guān)性分析和回歸分析，將設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束，并由設(shè)計(jì)變量的約束對優(yōu)化過程中的個(gè)體進(jìn)行篩選處理。本文發(fā)展的方法避免了多目標(biāo)向單目標(biāo)轉(zhuǎn)換時(shí)目標(biāo)權(quán)重系數(shù)選擇困難的問題，而相對于Pareto多目標(biāo)方法，由于通過設(shè)計(jì)變量約束將優(yōu)化過程中的個(gè)體鎖定在可行域內(nèi)，大大縮減了優(yōu)化過程中CFD求解次數(shù)，節(jié)省了優(yōu)化時(shí)間，提高了優(yōu)化效率。文中應(yīng)用建立的基于偏相關(guān)性分析的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對RAE 2822和 HSNLF（1）－0213翼型進(jìn)行了多設(shè)計(jì)要求的優(yōu)化設(shè)計(jì)。其中在對RAE 2822的設(shè)計(jì)中將本文設(shè)計(jì)方法與Pareto多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行對比，結(jié)果表明本文的設(shè)計(jì)方法具有較高的優(yōu)化效率；對HSNLF（1）－0213的設(shè)計(jì)結(jié)果完全符合其設(shè)計(jì)要求，并且氣動(dòng)性能有較大提高。通過這兩個(gè)算例驗(yàn)證證明了本文設(shè)計(jì)方法的有效性和可靠性。

1 多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

本文建立的基于偏相關(guān)性分析的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化方法，能有效簡化優(yōu)化設(shè)計(jì)模型并提高優(yōu)化設(shè)計(jì)效率、縮短優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)間，其流程圖如圖1所示。與以往的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法相比，本文方法的特點(diǎn)體現(xiàn)在優(yōu)化設(shè)計(jì)模型的建立和優(yōu)化求解過程中對設(shè)計(jì)變量約束的處理方法上。

圖1 多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法流程圖Fig.1 Flow chart of the fastoptimization design with multi－requirements

以一個(gè)機(jī)翼氣動(dòng)外形優(yōu)化問題來說明本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。要求對原始機(jī)翼進(jìn)行氣動(dòng)外形優(yōu)化設(shè)計(jì)，設(shè)計(jì)變量為該機(jī)翼3個(gè)站位剖面的翼型幾何外形控制變量，每個(gè)剖面各10個(gè)共計(jì)30個(gè)設(shè)計(jì)變量（x1，x2，...，x30）。設(shè)計(jì)要求為：在巡航狀態(tài)（Ma＝0.785，Cl＝0.575）具有高的升阻比、較小的低頭力矩；在低速時(shí)（Ma＝0.2）具有較大的最大升力系數(shù)；速度在巡航馬赫數(shù)附近變化時(shí)（Ma＝0.765、Ma＝0.805，攻角為巡航攻角）其升阻比變化較??；該站位剖面相對厚度不低于原始機(jī)翼剖面相對厚度。

本文發(fā)展的快速多設(shè)計(jì)要求優(yōu)化方法將建立一種新的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，步驟如下：

1）選擇最重要的設(shè)計(jì)要求“巡航狀態(tài)升阻比最大”為設(shè)計(jì)目標(biāo)；

2）將次重要的設(shè)計(jì)要求“低速最大升力系數(shù)（Clmax）最大”、“巡航馬赫數(shù)附近的升阻比變化量（Δ（Cl／Cd））較小”，通過偏相關(guān)性分析、回歸分析轉(zhuǎn)換將其為對設(shè)計(jì)變量的約束，具體做法如下。

①選取一定數(shù)目樣本點(diǎn)，計(jì)算出30個(gè)設(shè)計(jì)變量分別對Clmax、Δ（Cl／Cd）的偏相關(guān)性系數(shù)；

②通過偏相關(guān)性系數(shù)判斷設(shè)計(jì)變量與Clmax、Δ（Cl／Cd）的相關(guān)程度；找出與設(shè)計(jì)要求相關(guān)程度較大的設(shè)計(jì)變量，采用回歸分析方法，利用這些設(shè)計(jì)變量分別建立Clmax、Δ（Cl／Cd）的回歸方程：

其中xi為與設(shè)計(jì)要求相關(guān)程度較大的設(shè)計(jì)變量；aiobj為回歸方程中對應(yīng)xi的系數(shù)，由回歸分析得出。

③給出Clmax、Δ（Cl／Cd）的可接受范圍，設(shè)Clmax≥c1，Δ（Cl／Cd）≤c2，易得出對設(shè)計(jì)變量的約束

g（xl，xm，...，xn，alΔk，amΔk，...，anΔk）≤c2；則設(shè)計(jì)要求到設(shè)計(jì)變量的轉(zhuǎn)換完成。

3）對于其余的設(shè)計(jì)要求如巡航力矩系數(shù)不減小、站位剖面翼型相對厚度不減小等，均作為約束條件。

最終建立的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型將為：max（Cl／Cd）cruise

其中 （t／c）cross1、（t／c）cross2、（t／c）cross3分別為機(jī)翼三個(gè)站位剖面翼型相對厚度。

優(yōu)化設(shè)計(jì)模型建立好后，可以開始優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算。在優(yōu)化設(shè)計(jì)計(jì)算過程中，對于每一次優(yōu)化迭代，在生成子個(gè)體時(shí)，首先判斷該個(gè)體對應(yīng)的設(shè)計(jì)變量是否滿足約束

若滿足，則判定該個(gè)體處在可行域內(nèi)，允許它作為優(yōu)化設(shè)計(jì)過程中的一個(gè)個(gè)體參與優(yōu)化；若不滿足，則判定其在可行域之外，直接淘汰，重新生成子個(gè)體。很顯然，這樣的處理方法將優(yōu)化設(shè)計(jì)直接鎖定在可行域內(nèi)進(jìn)行，避免了很多不必要的計(jì)算量，將提高優(yōu)化效率，縮短優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)間。

2 優(yōu)化設(shè)計(jì)中的偏相關(guān)性分析

本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型時(shí)，利用設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求之間的偏相關(guān)系數(shù)來選擇與設(shè)計(jì)要求有較大相關(guān)性的設(shè)計(jì)變量，通過線性回歸分析建立這些設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求的線性回歸方程，最終實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求到設(shè)計(jì)變量約束的轉(zhuǎn)換。其中，設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求之間的偏相關(guān)系數(shù)的計(jì)算以統(tǒng)計(jì)學(xué)中偏相關(guān)分析理論為基礎(chǔ)。

變量之間的關(guān)系可以分為兩類，一類是確定性關(guān)系，即通常的函數(shù)關(guān)系；另一類是非確定關(guān)系，即相關(guān)關(guān)系。統(tǒng)計(jì)學(xué)中，相關(guān)分析以分析變量間的線性關(guān)系為主，研究它們之間線性相關(guān)密切程度，相關(guān)系數(shù)則是這一程度的指示。相關(guān)系數(shù)有多種表示形式，適用于描述不同問題中變量之間的相關(guān)關(guān)系［9］，如皮爾遜積矩相關(guān)系數(shù)（Pearson）：（適用于計(jì)量資料，僅限于簡單線性相關(guān)關(guān)系的測定）；斯皮爾曼等級相關(guān)系數(shù)（Spearman）：（適用于等級資料，測定兩等級之間的聯(lián)系強(qiáng)度）；復(fù)相關(guān)系數(shù)：（適用于計(jì)量資料，測定一個(gè)因變量同多個(gè)自變量之間的相關(guān)關(guān)系）；偏相關(guān)系數(shù)：（適用于計(jì)量資料，多元回歸中測定在其它自變量固定不變時(shí)，單個(gè)變量同因變量的相關(guān)關(guān)系）。

在多元相關(guān)分析中，偏相關(guān)系數(shù)描述當(dāng)其他變量固定后，給定的任意兩個(gè)變量之間的相關(guān)系數(shù)，真正反映兩個(gè)變量相關(guān)關(guān)系，適用于表達(dá)設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求的相關(guān)關(guān)系，因此，本文選擇偏相關(guān)性系數(shù)來判斷設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求的相關(guān)程度。

在本文計(jì)算中，偏相關(guān)系數(shù)借助簡單相關(guān)系數(shù)所構(gòu)成的相關(guān)系數(shù)對稱矩陣來計(jì)算［9－11］。

設(shè)有n個(gè)變量X1，X2，…，Xn，每兩個(gè)變量間的簡單相關(guān)系數(shù)為rij（i，j＝1，2，…，n），rij可由下式計(jì)算得到：

其中是變量Xi的平均值。由簡單相關(guān)系數(shù)所構(gòu)成的相關(guān)系數(shù)對稱矩陣如下：

本文通過回歸方程實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)要求到設(shè)計(jì)變量約束的轉(zhuǎn)換?；貧w分析建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)之上，通過對樣本點(diǎn)分析研究建立自變量與應(yīng)變量之間的關(guān)系表達(dá)式，該關(guān)系表達(dá)式稱為回歸方程［12－13］。

在進(jìn)行了設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求偏相關(guān)性分析的基礎(chǔ)上，利用設(shè)計(jì)要求與設(shè)計(jì)變量之間的偏相關(guān)性系數(shù)判斷其相關(guān)程度，選擇與設(shè)計(jì)要求相關(guān)程度較大的設(shè)計(jì)變量，采用線性回歸分析方法，建立這些設(shè)計(jì)變量與

其中rij＝rji，（i，j＝1，2，…，n）。

設(shè)Δ為此矩陣的行列式，即Δ＝，則變量Xi與Xj之間的偏相關(guān)系數(shù)為：

這里Δij、Δii、Δjj分別為Δ中元素rij、rii、rjj的代數(shù)余子式。

同理，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)目標(biāo)的偏相關(guān)系數(shù)可由以下計(jì)算得到：

設(shè)有設(shè)計(jì)變量a1，a2，…，an；設(shè)計(jì)目標(biāo)b1，b2，…，bm；若要計(jì)算設(shè)計(jì)變量ai對設(shè)計(jì)目標(biāo)bj的偏相關(guān)系數(shù)，則可令a1＝X1，a2＝X2，…，an＝Xn，bj＝Xn＋1。由式（1）可得X1，X2，…，Xn＋1中任意兩個(gè)變量的簡單相關(guān)系數(shù)rij（i，j＝1，2，…，n＋1）；由式（2）可知相關(guān)系數(shù)對稱矩陣為：

于是設(shè)計(jì)變量ai對設(shè)計(jì)目標(biāo)bj的偏相關(guān)系數(shù)為

偏相關(guān)性分析是建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)理論的基礎(chǔ)之上的，需要有一定的統(tǒng)計(jì)樣本來支撐分析，兩個(gè)變量之間的偏相關(guān)性系數(shù)的計(jì)算也涉及到樣本的平均值，因此，在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，計(jì)算設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)目標(biāo)之間的偏相關(guān)系數(shù)之前，先要選取一定數(shù)量的設(shè)計(jì)樣本點(diǎn)并計(jì)算出這些樣本點(diǎn)所對應(yīng)的設(shè)計(jì)目標(biāo)值。

3 優(yōu)化設(shè)計(jì)中設(shè)計(jì)要求到設(shè)計(jì)變量約束的轉(zhuǎn)換

設(shè)計(jì)要求之間的多元線性回歸方程，繼而通過給定設(shè)計(jì)目標(biāo)的范圍，結(jié)合回歸方程得出設(shè)計(jì)變量的約束條件，最終實(shí)現(xiàn)將設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束。

由統(tǒng)計(jì)學(xué)分析可知，當(dāng)偏相關(guān)系數(shù)小于0.3時(shí)，變量之間為弱相關(guān)；當(dāng)偏相關(guān)系數(shù)大于等于0.3時(shí)，變量之間存在準(zhǔn)線性關(guān)系［14，15］。因此，認(rèn)為偏相關(guān)系數(shù)大于0.3的設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)要求的相關(guān)程度較大，選擇該設(shè)計(jì)變量進(jìn)行回歸分析。在對設(shè)計(jì)變量與設(shè)計(jì)目標(biāo)進(jìn)行了偏相關(guān)性分析之后，找到與設(shè)計(jì)要求之間存在準(zhǔn)線性關(guān)系的設(shè)計(jì)變量即偏相關(guān)系數(shù)大于0.3的設(shè)計(jì)變量，對這些設(shè)計(jì)變量進(jìn)行線性回歸分析，建立其與設(shè)計(jì)要求的近似線性回歸方程如下：

設(shè)與設(shè)計(jì)要求的氣動(dòng)參數(shù)Q存在偏相關(guān)關(guān)系的設(shè)計(jì)變量有xi（i＝1，…，m），利用線性回歸分析，建立氣動(dòng)參數(shù)Q與這幾個(gè)設(shè)計(jì)變量的線性方程，設(shè)方程為：

其中：ai、b為線性回歸方程的系數(shù)，這些系數(shù)值通過最小二乘法來確定，所用樣本點(diǎn)與求解偏相關(guān)系數(shù)時(shí)的樣本點(diǎn)相同。

給定設(shè)計(jì)目標(biāo)Q的范圍如Q≥c0，則得出a1x1＋…aixi…＋amxm＋b≥c0，于是設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束。

4 算例分析

4.1 算例1

對一個(gè)二維翼型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，初始翼型為RAE2822，設(shè)計(jì)要求為：M∞＝0.73，α＝2.79°，Re＝6.5×106時(shí)升阻比最大，升力系數(shù)在0.78≤Cl≤0.82范圍內(nèi)變化，力矩系數(shù)Cm≥－0.0897；當(dāng)攻角在1.29°≤α≤3.29°范圍內(nèi)變化時(shí)升阻比變化較??；翼型相對厚度（t／c）≥0.12。攻角在1.29°≤α≤3.29°范圍內(nèi)變化時(shí)升阻比變化較小，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言描述即為：

要求k＿sum較小。

在翼型優(yōu)化中，參數(shù)化方法采用Hicks－Henne型函數(shù)線性疊加的方法［16］，選取14個(gè)型函數(shù)疊加來描述翼型幾何外形，其中前7個(gè)用于描述翼型的厚度，后7個(gè)用于描述翼型的彎度，設(shè)計(jì)變量為這14個(gè)型函數(shù)疊加時(shí)的系數(shù)；優(yōu)化算法采用遺傳算法，種群規(guī)模30個(gè)，變異因子0.1，交叉因子0.9，迭代30次時(shí)停止優(yōu)化；自動(dòng)網(wǎng)格生成調(diào)用商用軟件Gridgen中的宏命令完成；CFD計(jì)算采用RANS求解器，LUSGS時(shí)間推進(jìn)方法，Roe格式進(jìn)行空間離散，湍流模型選為SSTk－ω模型。

在本算例中，為了將本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法進(jìn)行比較，選擇了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中應(yīng)用較廣的Pareto遺傳算法作為對比方法，將本文方法的優(yōu)化結(jié)果與Pareto遺傳算法的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行比較。其中，Pareto遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)模型為：

Pareto遺傳算法的群體規(guī)模為30，交叉概率為0.9，變異概率為0.1，共進(jìn)化50代。

對于本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，其優(yōu)化模型建立如下。選擇M∞＝0.73，α＝2.79°，Re＝6.5×106時(shí)升阻比最大作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，將攻角在1.29°≤α≤3.29°范圍內(nèi)變化時(shí)升阻比變化較小即要求k＿sum較小轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束；其余設(shè)計(jì)要求均作為約束。將k＿sum較小的要求轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束的步驟如下：

1）采樣。選用拉丁超立方方法在設(shè)計(jì)變量變化范圍內(nèi)生成樣本點(diǎn)300個(gè)，數(shù)值模擬計(jì)算得到每個(gè)樣本點(diǎn)在Ma＝0.73，Re＝6.5×106，攻角分別為1.29°、2.79°、3.29° 時(shí) 的 升 阻 比 （Cl／Cd）α＝1.29、（Cl／Cd）α＝2.79、（Cl／Cd）α＝3.29；由式（7）得到每個(gè)樣本點(diǎn)對應(yīng)的k＿sum的值；

2）求偏相關(guān)系數(shù)。由式（1）、式（4）、式（5）計(jì)算得到翼型的14個(gè)設(shè)計(jì)變量c1，c2，…，c14分別與k＿sum之間的偏相關(guān)系數(shù)見表1，其中當(dāng)偏相關(guān)系數(shù)小于0.3時(shí)記為0；

表1 設(shè)計(jì)變量與k＿sum的偏相關(guān)系數(shù)Table 1 Prtial correlation coefficient between design variable and k＿sum

3）線性回歸分析。由表一可以看出，與k＿sum的偏相關(guān)系數(shù)大于0.3的設(shè)計(jì)變量為c5、c13、c14，因此建立該三個(gè)設(shè)計(jì)變量與k＿sum之間的回歸方程：

由步驟（1）中得到的樣本點(diǎn)，通過最小二乘法對式（8）進(jìn)行線性回歸擬合求解系數(shù)a1、a2、a3、b，最終得到如下回歸方程：

4）設(shè)計(jì)變量約束的轉(zhuǎn)換。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，若設(shè)當(dāng)k＿sum≤13.0時(shí)，符合“攻角在1.29°≤α≤3.29°范圍內(nèi)變化時(shí)升阻比變化較小”這一設(shè)計(jì)要求，則令k＿sum≤13.0，由式（9）易得：

則式（10）為在優(yōu)化設(shè)計(jì)中對設(shè)計(jì)變量c5、c13、c14的約束。

5）建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型。由以上分析計(jì)算，最終建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下：

建立好優(yōu)化設(shè)計(jì)模型后，開始進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，其流程圖如圖2所示。

本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和Pareto遺傳算法優(yōu)化結(jié)果對比如圖3所示。

圖4給出了Pareto遺傳算法迭代50次后得到的Pareto前沿，可以看到可行域個(gè)體在該前沿陣列中分布較為均勻，說明Pareto遺傳算法優(yōu)化結(jié)果兼顧了多目標(biāo)設(shè)計(jì)的要求。圖4中箭頭所指個(gè)體為從Pareto前沿中挑選出來個(gè)體，其為符合k＿sum≤13.0的條件下Cl／Cd最大的個(gè)體，以該個(gè)體做為Pareto方法優(yōu)化出的最優(yōu)個(gè)體。圖3是優(yōu)化前后翼型幾何外形的對比，可以看出本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到的翼型較之Pareto遺傳算法優(yōu)化出的翼型其前緣半徑較小，后加載較大，翼型相對厚度略有減小。

圖2 優(yōu)化設(shè)計(jì)流程圖Fig.2 Flow chart of theoptimization design

圖3 優(yōu)化前后翼型比較Fig.3 The foils before and after optimization

圖4 Pareto優(yōu)化結(jié)果Fig.4 The results of Pareto

圖5是優(yōu)化前后壓力分布的比較，明顯可以看出，Pareto遺傳算法優(yōu)化得到的壓力分布減弱了原始翼型壓力分布中的較強(qiáng)的激波，但在翼型上翼面約42%弦長處出現(xiàn)了一道弱激波；而多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化出的翼型其壓力分布只在上翼面約55%弦長處有很微弱的壓力恢復(fù)凸臺，由此可見本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到的壓力分布優(yōu)于Pareto遺傳算法優(yōu)化出的。

圖5 優(yōu)化前后壓力分布比較Fig.5 The pressure coefficients before and after optimization

圖6是優(yōu)化前后升力系數(shù)的對比，圖7則給出了優(yōu)化前后升阻比的比較。在攻角為2.79°時(shí)兩種優(yōu)化方法得到的升力系數(shù)差別不大，均符合0.78≤Cl≤0.82的設(shè)計(jì)要求，但多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法得到的最大升力系數(shù)較大；由圖7的升阻比曲線對比可以看出，在攻角為2.79°時(shí)多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法優(yōu)化出的升阻比要比原始翼型的高出約27%，比Pareto遺傳算法的結(jié)果高出約12%。

圖6 優(yōu)化前后升力曲線比較Fig.6 The lift curve before and after optimization

圖7 優(yōu)化前后升阻比比較Fig.7 The lift／drag ratio curve before and after optimization

對一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法的評價(jià)除了看得到的結(jié)果是否在符合設(shè)計(jì)要求的前提下更優(yōu)以外，還要看優(yōu)化設(shè)計(jì)是否能在較短的時(shí)間內(nèi)得出較優(yōu)的結(jié)果，而優(yōu)化設(shè)計(jì)的耗時(shí)主要集中在優(yōu)化過程中的CFD求解運(yùn)算上。在本算例中，Pareto遺傳算法多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法共計(jì)調(diào)用CFD求解器4500次，而多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法在取樣、優(yōu)化設(shè)計(jì)中共計(jì)調(diào)用CFD求解器1800次，節(jié)省的時(shí)間十分可觀。

4.2 算例2

本算例以HSNLF（1）－0213翼型為初始翼型，設(shè)計(jì)要求為：

1）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106時(shí)升阻比最大；

2）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106時(shí)，翼型上表面轉(zhuǎn)捩位置（Xtr＿upα＝2°）大于0.5；

3）M∞＝0.69，α＝0°，Re＝6.0×106時(shí)，翼型上表面轉(zhuǎn)捩位置（Xtr＿upα＝0°）大于0.6；

4）M∞＝0.69的最大升力系數(shù)大于1.0；

5）M∞＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106時(shí)，升力系數(shù)Cl不減?。?/p>

6）翼型最大厚度（t／c）在0.125～0.135之間。

此處優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要目的在于使翼型上表面在較大迎角范圍內(nèi)保持層流以減小阻力、提高升阻比。優(yōu)化設(shè)計(jì)要求有7個(gè)之多，若用多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，將前三個(gè)設(shè)計(jì)要求作為目標(biāo)，后三個(gè)作為約束，則優(yōu)化目標(biāo)嫌多，Pareto遺傳算法優(yōu)化的可行域確定的復(fù)雜程度加大，影響優(yōu)化精度，且Pareto前沿陣列需用較多的迭代次數(shù)才能收斂，這無疑增加了優(yōu)化時(shí)間；若選前兩個(gè)設(shè)計(jì)要求作為優(yōu)化目標(biāo)，后四個(gè)作為約束條件，則約束條件太多，懲罰因子不好確定。

本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法則能很好的解決多設(shè)計(jì)要求的氣動(dòng)優(yōu)化問題。選擇第1個(gè)設(shè)計(jì)要求作為設(shè)計(jì)目標(biāo)，將第2、3、4個(gè)設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束，將第5、6個(gè)設(shè)計(jì)要求作為約束。

優(yōu)化過程中參數(shù)化方法和優(yōu)化算法同上一個(gè)算例；CFD方法采用RANS求解器，LU－SGS時(shí)間推進(jìn)方法，Roe格式進(jìn)行空間離散，選用γ－模型進(jìn)行轉(zhuǎn)捩預(yù)測。

采用拉丁超立方方法選取樣本點(diǎn)300個(gè)，進(jìn)行Ma＝0.69，攻角為2°、0°及Ma＝0.69時(shí)的最大升力系數(shù)CFD評估計(jì)算，通過偏相關(guān)性分析得到設(shè)計(jì)變量與M＝0.69，α＝2.0°，Re＝6.0×106時(shí)翼型上表∞面轉(zhuǎn)捩位置（Xtr＿upα＝2°）、M∞＝0.69，α＝0°，Re＝6.0×106時(shí)翼型上表面轉(zhuǎn)捩位置（Xtr＿up）及M＝α＝0°∞0.69的最大升力系數(shù)的偏相關(guān)性系數(shù)如表2，當(dāng)偏相關(guān)系數(shù)小于0.3記為0。

表2 偏相關(guān)系數(shù)Table 2 The partial correlation

由表2中選擇與設(shè)計(jì)要求偏相關(guān)系數(shù)大于0.3的設(shè)計(jì)變量，利用線性回歸分析，分別建立Xtr＿upα＝0°、Xtr＿upα＝2°以及Cl＿max的線性回歸方程如下：

由第2、3、4點(diǎn)設(shè)計(jì)要求，結(jié)合方程（11）、（12）、（13）得到對設(shè)計(jì)變量的約束為：

由以上分析建立優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下：

優(yōu)化過程中，遺傳算法種群規(guī)模30，交叉因子0.9，變異因子0.1，迭代50代停止，優(yōu)化流程圖如圖2所示。

表3給出了優(yōu)化前后翼型的氣動(dòng)性能對比，可以看出，最終優(yōu)化得到的翼型保證了Ma＝0.69時(shí)最大升力系數(shù)大于1.0、攻角2°時(shí)升力系數(shù)不減小、攻角0°時(shí)上翼面轉(zhuǎn)捩位置大于0.6、攻角2°時(shí)上翼面轉(zhuǎn)捩位置大于0.5的設(shè)計(jì)要求，并且在Ma＝0.69、攻角為2°時(shí)升阻比比初始翼型提高了27.2%。由此可見，本文的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法滿足了所有設(shè)計(jì)要求，而且設(shè)計(jì)結(jié)果較好。

表3 優(yōu)化前后氣動(dòng)特性Table 3 Aerodynamic characteristics before and after optimization

圖8給出了優(yōu)化前后翼型幾何外形的對比，圖9、10、11分別給出了優(yōu)化前后翼型的壓力分布（Ma＝0.69、攻角為2°）、升力曲線和升阻比曲線?？梢粤η€較原始翼型的向上平移了一個(gè)差量，亦即在相看出，優(yōu)化得出的翼型上翼面轉(zhuǎn)捩位置比原始翼型更靠后，其上翼面保持了更長的層流段；最優(yōu)翼型的升同攻角下，最優(yōu)翼型具有更大的升力系數(shù)；最優(yōu)翼型的最大升力系數(shù)增大，失速迎角也有所提高；由升阻比曲線可以看出優(yōu)化后的升阻比在攻角為2°時(shí)有很大的提高。

圖8 優(yōu)化前后翼型比較Fig.8 The foils before and after optimization

圖9 優(yōu)化前后壓力分布比較Fig.9 The pressure coefficients before and after optimization

圖10 優(yōu)化前后升力曲線比較（Ma＝0.69）Fig.10 The lift curve before and after optimization（Ma＝0.69）

圖11 優(yōu)化前后升阻比比較（Ma＝0.69）Fig.11 The lift／drag ratio curve before and after optimization（Ma＝0.69）

由以上分析可知，本文的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)在處理這種多設(shè)計(jì)要求的氣動(dòng)優(yōu)化問題時(shí)效果較好，證明該方法在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)中切實(shí)可行。

5 結(jié) 論

現(xiàn)代氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)對設(shè)計(jì)者提出了更高的要求，希望在設(shè)計(jì)過程中能充分考慮到多個(gè)設(shè)計(jì)要求以達(dá)到設(shè)計(jì)結(jié)果工程可用的目的。本文提出的多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法正是針對這種多設(shè)計(jì)要求問題，將多個(gè)設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)換為對設(shè)計(jì)變量的約束，從而簡化了優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，減少了優(yōu)化過程中CFD求解器調(diào)用的次數(shù)，縮短了優(yōu)化時(shí)間。文中算例1以RAE2822翼型為初始翼型，分別采用Pareto遺傳算法優(yōu)化設(shè)計(jì)方法和多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對其進(jìn)行了優(yōu)化，結(jié)果表明多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法能在較短的時(shí)間內(nèi)得到符合設(shè)計(jì)要求的結(jié)果；算例2以HSNLF（1）－0213翼型為初始翼型，其氣動(dòng)設(shè)計(jì)要求達(dá)7個(gè)之多，采用多設(shè)計(jì)要求快速優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對其進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果完全符合設(shè)計(jì)要求，證明了該設(shè)計(jì)方法的可行性。

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