左連萍

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡(jiǎn)單介紹指出正互反矩陣在其中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號(hào)：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（?。?/p>

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時(shí)。

定義2 對(duì)于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對(duì)于正互反矩陣，若隨機(jī)一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授沙丁（T.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡(jiǎn)稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實(shí)用性、適應(yīng)性、實(shí)用性的優(yōu)點(diǎn)，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實(shí)用，它在理論上也存在原理簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)點(diǎn)，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時(shí)不夠精；一致性檢驗(yàn)和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對(duì)于層次分析法來(lái)說(shuō)，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點(diǎn)，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實(shí)用性強(qiáng)，而且簡(jiǎn)潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對(duì)所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個(gè)因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個(gè)層次排列，在同一層次中的各個(gè)因素對(duì)自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時(shí)又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個(gè)因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對(duì)于從屬于（或影響）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個(gè)影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對(duì)而言，對(duì)相對(duì)重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗(yàn)

此步驟是對(duì)上一步驟中建立的判斷矩陣計(jì)算特征根和特征向量。具體方法是首先計(jì)算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對(duì)應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個(gè)因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對(duì)于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個(gè)步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個(gè)正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗(yàn)是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對(duì)第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強(qiáng)，故要對(duì)正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗(yàn)合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運(yùn)用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強(qiáng)有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1990.endprint

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡(jiǎn)單介紹指出正互反矩陣在其中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號(hào)：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（?。?/p>

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時(shí)。

定義2 對(duì)于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對(duì)于正互反矩陣，若隨機(jī)一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授沙丁（T.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡(jiǎn)稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實(shí)用性、適應(yīng)性、實(shí)用性的優(yōu)點(diǎn)，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實(shí)用，它在理論上也存在原理簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)點(diǎn)，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時(shí)不夠精；一致性檢驗(yàn)和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對(duì)于層次分析法來(lái)說(shuō)，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點(diǎn)，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實(shí)用性強(qiáng)，而且簡(jiǎn)潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對(duì)所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個(gè)因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個(gè)層次排列，在同一層次中的各個(gè)因素對(duì)自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時(shí)又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個(gè)因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對(duì)于從屬于（或影響）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個(gè)影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對(duì)而言，對(duì)相對(duì)重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗(yàn)

此步驟是對(duì)上一步驟中建立的判斷矩陣計(jì)算特征根和特征向量。具體方法是首先計(jì)算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對(duì)應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個(gè)因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對(duì)于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個(gè)步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個(gè)正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗(yàn)是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對(duì)第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強(qiáng)，故要對(duì)正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗(yàn)合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運(yùn)用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強(qiáng)有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1990.endprint

摘 要：該文給出了正互反矩陣相關(guān)定義結(jié)論，通過層次分析法的簡(jiǎn)單介紹指出正互反矩陣在其中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：正互反矩陣 層次分析法 排序

中圖分類號(hào)：N94 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2014）05（c）-0241-02

1 正互反矩陣相關(guān)定義、結(jié)論

定義1 設(shè)階矩陣，如果滿足以下條件：

（?。?/p>

（ⅱ）

則稱矩陣為階正互反矩陣.

根據(jù)定義1，顯然可以推出當(dāng)時(shí)。

定義2 對(duì)于階正互反矩陣，有，則稱矩陣為一致性正互反矩陣。

定義3 對(duì)于正互反矩陣，若隨機(jī)一致性比率CR<0.1，則稱正互反矩陣為滿意一致性正互反矩陣。

定理1 設(shè)是正互反矩陣，若的最大特征根，則矩陣是一致性正互反矩陣。（其證明可參見參考文獻(xiàn)1）

2 層次分析法

20世紀(jì)70年代，美國(guó)匹茲堡大學(xué)教授沙?。═.L.Saaty）提出了層次分析法（Analytic Hierarchy Process簡(jiǎn)稱AHP），此方法是一種將定性分析與定量分析相結(jié)合的多目標(biāo)決策分析方法，在應(yīng)用上具有系統(tǒng)性、實(shí)用性、適應(yīng)性、實(shí)用性的優(yōu)點(diǎn)，因此是一種使用比較廣泛的方法。層次分析法不僅在應(yīng)用上可信、靈活而且實(shí)用，它在理論上也存在原理簡(jiǎn)單、結(jié)構(gòu)層次明確、理論基礎(chǔ)扎實(shí)的優(yōu)點(diǎn)，容易掌握和使用。但層次分析法也存在一定的缺陷：例如判斷矩陣的確定主觀因素比重較大，有時(shí)不夠精；一致性檢驗(yàn)和調(diào)整要反復(fù)多次進(jìn)行，直到獲得滿意的一致性準(zhǔn)等。雖然層次分析法存在一定的缺陷，但還是在選址問題、環(huán)境問題、安全問題等多領(lǐng)域得到應(yīng)用。

總之，對(duì)于層次分析法來(lái)說(shuō)，把定性和定量分析相結(jié)合是其最大的特點(diǎn)，它按照分解、比較判斷綜合的思維方式進(jìn)行決策的系統(tǒng)分析，是一種實(shí)用性強(qiáng)，而且簡(jiǎn)潔有效的方法。其解決問題的基本步驟是：

第一步：明確問題

首先，對(duì)所要研究的問題進(jìn)行判斷是否符合層次分析法的特征，能否應(yīng)用層次分析法進(jìn)行系統(tǒng)分析，確定問題所包含的各種因素及其之間的關(guān)系。

第二步：建立層次結(jié)構(gòu)模型

經(jīng)過調(diào)查、研究、分析，將相關(guān)的各個(gè)因素按照一定的分類屬性從上到下分成幾個(gè)層次排列，在同一層次中的各個(gè)因素對(duì)自身上層因素具有一定的影響或從屬于上一層因素，同時(shí)又受到各自的下一層因素的作用或支配下一層的因素。一般而言最高層作為目標(biāo)層，通常只有一個(gè)因素，它表示所要解決問題應(yīng)達(dá)到的目的；中間層可有一個(gè)或幾個(gè)層次，通常為準(zhǔn)則或指標(biāo)層；而最低層通常作為方案或措施層，表示解決問題的措施或方案。

第三步：構(gòu)造判斷矩陣

構(gòu)造判斷矩陣是從層次結(jié)構(gòu)第二層次開始，用1—9比較尺度構(gòu)造對(duì)于從屬于（或影響）上一層每個(gè)因素的同一層諸因素的比較陣，也就是判斷矩陣，直到最低層。具體過程如下：

若上一層次用表示，其下一層次有、、三個(gè)影響因素，則由此構(gòu)造成判斷矩陣為三階矩陣，形式如表1所示。

其中表示對(duì)而言，對(duì)相對(duì)重要性的比較數(shù)值，數(shù)值是由1～9數(shù)字及其倒數(shù)組成，含義見表2所示。

第四步：層次單排序及一致性檢驗(yàn)

此步驟是對(duì)上一步驟中建立的判斷矩陣計(jì)算特征根和特征向量。具體方法是首先計(jì)算滿足的判斷矩陣的最大特征根，其次求得最大特征根對(duì)應(yīng)得特征向量，此特征向量即為本層次中各個(gè)因素的重要性次序的排序權(quán)值。

對(duì)于n階判斷矩陣，可由其最大特征根是否等于來(lái)檢驗(yàn)判斷矩陣是否一致性。

3 結(jié)語(yǔ)

通過對(duì)正互反矩陣及層次分析法解決問題步驟各方面的介紹我們知道：（1）層次分析法的第三個(gè)步驟中用1—9比較尺度構(gòu)造判斷矩陣，構(gòu)造此判斷矩陣就是構(gòu)造一個(gè)正互反矩陣；（2）第四步驟層次單排序，并做一致性檢驗(yàn)是進(jìn)行層次分析法的關(guān)鍵步驟——排序。排序的結(jié)果就是對(duì)第三步驟中構(gòu)造的正互反矩陣求解最大特征根及其特征向量，并考察CR取值是否小于0.1，進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。在層次分析法中當(dāng)正互反判斷矩陣的一致性檢驗(yàn)不合格，排序的結(jié)果可靠性就不強(qiáng)，故要對(duì)正互反判斷矩陣取值進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整，直至檢驗(yàn)合格，具體調(diào)整的方法有很多在這里我就不多加分析了。

總之，正互反矩陣在層次分析法中得到了充分的運(yùn)用，使得層次分析法能夠以矩陣分析為基礎(chǔ)，有了強(qiáng)有力的理論支持，使得學(xué)者方便進(jìn)一步的研究與應(yīng)用。

參考文獻(xiàn)

[1] 張翠蓮，何春江.正互反矩陣一致性的充要條件[J].華北航天工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào)，2001（1）.

[2] 王蓮芬，許樹柏.層次分析法引論[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，1990.endprint