楊國歡

摘 要：兩輪自平衡移動機(jī)器人是一種高階次、不穩(wěn)定、非線性的典型控制系統(tǒng)。以其為研究對象，采用Lagrange方程建立其動力學(xué)模型，經(jīng)過線性化處理得到其一定約束條件下的線性化模型。采用線性二次型調(diào)節(jié)器與PID控制相結(jié)合的方法可有效克服線性化過程中約束條件對系統(tǒng)的影響，并且以數(shù)字信號處理器芯片TMS320LF2812為控制器核心，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人較大傾角范圍的動態(tài)平衡控制。物理實(shí)驗表明：使用LQR與PID復(fù)合控制器對兩輪機(jī)器人實(shí)體控制的有效性。

關(guān)鍵詞：兩輪自平衡機(jī)器人 Lagrange方程 LQR PID DSP2812

中圖分類號：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0002-03

基于倒立擺模型的兩輪自平衡機(jī)器人屬于輪式機(jī)器人的范疇，并結(jié)合了自主移動的思想，其體積小、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動靈活，適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作，在民用和軍事上有著廣泛的應(yīng)用前景；同時由于其不穩(wěn)定的動態(tài)特性，兩輪自平衡機(jī)器人成為驗證各種控制算法的理想平臺，具有重要的理論意義。兩輪自平衡機(jī)器人屬于非線性、時變、欠驅(qū)動、非完整約束系統(tǒng)，控制問題是其研究的關(guān)鍵[1]。

國內(nèi)外研究學(xué)者對移動輪式倒立擺模型及對兩輪行走平衡控制技術(shù)進(jìn)行了大量的研究，也提出了一些將此非線性系統(tǒng)線性化的方法。其中很多研究人員用近似線性化方法將機(jī)器人非線性模型線性化，再利用現(xiàn)代控制理論中極點(diǎn)配置或LQR等控制方法進(jìn)行分析研究，仿真分析能獲得很好的效果。但此線性化方法是假設(shè)兩輪機(jī)器人俯仰角在一個小范圍之類進(jìn)行的，但實(shí)際中，機(jī)器人能控角度范圍遠(yuǎn)大于此，采用此種方法在平衡點(diǎn)附近有很好效果，但當(dāng)大于一定角度后系統(tǒng)失去控制。

本文主要介紹兩輪自平衡機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計，采用Lagrange方法建立數(shù)學(xué)模型，提出了將LQR與PID控制相結(jié)合的方法對兩輪機(jī)器人進(jìn)行姿態(tài)控制，物理實(shí)驗驗證了此方法不僅有很好的控制效果，而且實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人大傾角范圍的平衡控制。

1 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)模型

1.1 兩輪自平衡機(jī)器人的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)采用層狀結(jié)構(gòu)。底層有兩個同型號、同軸的直流電機(jī)、姿態(tài)檢測傳感器、伺服驅(qū)動器和電源。在中間層有電源監(jiān)控和轉(zhuǎn)換模塊和控制器模塊。上層是機(jī)器人頭部，可用來放置機(jī)器人視覺傳感器以及將來擴(kuò)展功能的部件。

兩輪機(jī)器人的控制核心是TMS320F28

12DSP處理器，其AD口轉(zhuǎn)換機(jī)器人上的姿態(tài)傳感器的檢測信號確定機(jī)器人姿態(tài)，并用QEP單元采集電機(jī)編碼器上信號確定機(jī)器人速度和位移，通過設(shè)計的控制器計算得到電機(jī)電壓，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人平衡控制。

1.2 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)建模

由式可知，經(jīng)過轉(zhuǎn)換將原多輸入系統(tǒng)分成兩個單輸入子系統(tǒng)，控制機(jī)器人的位移與俯仰角度，控制機(jī)器人的偏航角。面對兩輪機(jī)器人的平衡控制，我們現(xiàn)在只需考慮機(jī)器人的俯仰角度和位移，因此將角度、角速度、位移及速度選為狀態(tài)量，寫出如下狀態(tài)方程：

根據(jù)系統(tǒng)能控能觀性原理在Matlab中進(jìn)行計算，得出此系統(tǒng)能控能觀。

2 基于LQR和PID的控制器設(shè)計

2.1 兩輪機(jī)器人可控范圍分析

由模型分析可知此機(jī)器人系統(tǒng)是可控的，但由于模型是在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行的線性化，角度為，而實(shí)際機(jī)器人傾斜角度比此值大得多，并且使用的傾角儀線性測量范圍為。通過物理實(shí)驗得：機(jī)器人傾斜的角度時，給電機(jī)最大控制量指令情況下，機(jī)器人實(shí)體完全可以控制。因此，設(shè)計的兩輪機(jī)器人其平衡控制范圍定為，遠(yuǎn)大于線性化時約束條件。本文所研究的LQR和PID復(fù)合控制器的控制算法很有研究意義[3]。

2.2 控制器設(shè)計

2.2.1 LQR控制器

對上面所描述的機(jī)器人模型，給定對于狀態(tài)和控制的二次型性能指標(biāo)函數(shù)定義為：

，

其中，權(quán)值矩陣和均為對稱正定常值矩陣。其系統(tǒng)控制方法為找到最佳控制向量矩陣K，得到最佳控制量。這里選取Q=[100 0 0 0；0 100 0 0；0 0 100 0；0 0 0 100]，R=1。利用Matlab命令LQR（A，B，Q，R），得到系統(tǒng)反饋增益：

當(dāng)給定初始俯仰傾角分別為和，其他狀態(tài)量給零時，其零輸入相應(yīng)仿真曲線如圖1和圖2。

比較可知，初始角度相差很大的情況下，對于理論仿真來說，其變化情況并不大。但是在實(shí)際物理系統(tǒng)調(diào)試中，情況卻不同。當(dāng)傾斜角度增大時，其線性化過程中產(chǎn)生的誤差也相應(yīng)的增大，將會出現(xiàn)所設(shè)計的控制器就根本無法是機(jī)器人達(dá)到動態(tài)平衡的情況，而且對于LQR控制器的設(shè)計，模型的精確程度及物理系統(tǒng)參數(shù)準(zhǔn)確性都要求相對嚴(yán)格。

2.2.2 PID控制器

對于經(jīng)典PID控制，它是工業(yè)控制中的主要技術(shù)之一。在兩輪機(jī)器人控制上，其主要優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單在控制器上易于實(shí)現(xiàn)，并且適應(yīng)性強(qiáng)，不依賴于其線性化模型，兼顧了一定的魯棒性。但由于經(jīng)典的PID調(diào)節(jié)器為實(shí)現(xiàn)無差調(diào)節(jié)而引入積分作用后，不可避免地使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程發(fā)生超調(diào)。適度的超調(diào)對于提高系統(tǒng)的快速性是有利的，但在機(jī)器人實(shí)體控制過程中，這樣的超調(diào)也會使系統(tǒng)發(fā)生振蕩，靜態(tài)性能指標(biāo)較差。如圖所示，階躍相應(yīng)仿真曲線見圖3。

2.2.3 LQR與PID復(fù)合控制器設(shè)計

以上分析了LQR與PID控制器在兩輪機(jī)器人控制中的優(yōu)缺點(diǎn)，對于兩輪機(jī)器人來說，由于其非線性和不確定性，使用任何其中一種控制器進(jìn)行控制都不能達(dá)到理想的效果。為了得到更快的控制速度和更好的動態(tài)平衡效果，根據(jù)兩控制器各自的特點(diǎn)，本文設(shè)計了復(fù)合控制器：分別采用一個控制因子來限制兩個控制器的輸出，再將兩控制量進(jìn)行疊加。

假設(shè)兩控制器輸出分別為U1和U2，控制因子為K1和K2?？紤]到，當(dāng)傾斜角≤時，機(jī)器人接進(jìn)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性化誤差較小，此時采用LQR控制效果較好，不需采用PID控制方法。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人開始偏離平衡點(diǎn)附近，模型線性化會產(chǎn)生一定誤差，控制器參數(shù)也存在誤差，僅靠LQR控制已不能完全滿足要求平衡控制要求，此時引入PID控制，使其各發(fā)揮一定的功能。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人已經(jīng)偏離平衡點(diǎn)很遠(yuǎn)，線性化的模型有較大的誤差，其LQR控制器參數(shù)已不符合實(shí)際控制要求，此時只調(diào)用PID控制算法，使車體傾斜角度回到小于范圍[4]。

3 兩輪機(jī)器人實(shí)物控制效果

實(shí)驗用的兩輪機(jī)器使用的控制器為TI公司的DSP2812[5]，在CCS軟件開發(fā)環(huán)境中編程。首先對DSP各個單元模塊進(jìn)行初始化，配置相應(yīng)端口并開中斷。等待中斷，中斷程序里對傳感器進(jìn)行采樣，通過計算得到機(jī)器人的姿態(tài)和速度。調(diào)用控制算法，對機(jī)器人進(jìn)行平衡控制，并將傳感器數(shù)據(jù)傳送到上位機(jī)。通過實(shí)驗得到數(shù)據(jù)，繪制曲線。

實(shí)驗總結(jié)：利用LQR與PID復(fù)合控制器控制算法可以使機(jī)器人獲得很好的平衡效果，并且有較好的抗擾動效果，能較快的恢復(fù)動態(tài)平衡狀態(tài)，有一定的魯棒性。對于PID控制器，雖然能控制機(jī)器人平衡，但機(jī)器人在平衡處的振動較大，靜態(tài)性能較差。而線性控制器LQR，在小角度范圍有不錯的控制效果，但對于較大擾動，角度超出線性化約束角度條件時，此控制算法已不能控制機(jī)器人的平衡。

4 結(jié)語

本文針對兩輪機(jī)器人控制問題中重要的平衡控制問題進(jìn)行了分析，通過分析非線性系統(tǒng)近似線性化控制方法和經(jīng)典PID控制的優(yōu)缺點(diǎn)，設(shè)計了基于LQR和PID的復(fù)合控制器，并通過實(shí)際物理實(shí)驗驗證了此控制方法的有效性，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人在較大傾角范圍內(nèi)的動態(tài)平衡控制。

參考文獻(xiàn)

[1] 李磊，葉濤，譚民，等.移動機(jī)器人技術(shù)研究現(xiàn)狀與未來[J].機(jī)器人，2002，24（5）：475-480.

[2] 王曉宇.兩輪自平衡機(jī)器人的研究[D]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

[3] A.Salerno and J.Angeles.On the nonlinear controllability of a quasiholonomic mobile robot[C]//in Proc. IEEE ICRA，Taiwan，2003：3379-3384.

[4] Kong Xiangxuan.Research on the Control System of Two-Wheeled Self-Erect Mobile Robot[D].Shanghai Jiao Tong University，2007.

[5] 蘇奎峰，呂強(qiáng)，耿慶峰，等.TMS320F28

12原理與開發(fā)[M].電子工業(yè)出版社，2005.

摘 要：兩輪自平衡移動機(jī)器人是一種高階次、不穩(wěn)定、非線性的典型控制系統(tǒng)。以其為研究對象，采用Lagrange方程建立其動力學(xué)模型，經(jīng)過線性化處理得到其一定約束條件下的線性化模型。采用線性二次型調(diào)節(jié)器與PID控制相結(jié)合的方法可有效克服線性化過程中約束條件對系統(tǒng)的影響，并且以數(shù)字信號處理器芯片TMS320LF2812為控制器核心，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人較大傾角范圍的動態(tài)平衡控制。物理實(shí)驗表明：使用LQR與PID復(fù)合控制器對兩輪機(jī)器人實(shí)體控制的有效性。

關(guān)鍵詞：兩輪自平衡機(jī)器人 Lagrange方程 LQR PID DSP2812

中圖分類號：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0002-03

基于倒立擺模型的兩輪自平衡機(jī)器人屬于輪式機(jī)器人的范疇，并結(jié)合了自主移動的思想，其體積小、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動靈活，適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作，在民用和軍事上有著廣泛的應(yīng)用前景；同時由于其不穩(wěn)定的動態(tài)特性，兩輪自平衡機(jī)器人成為驗證各種控制算法的理想平臺，具有重要的理論意義。兩輪自平衡機(jī)器人屬于非線性、時變、欠驅(qū)動、非完整約束系統(tǒng)，控制問題是其研究的關(guān)鍵[1]。

國內(nèi)外研究學(xué)者對移動輪式倒立擺模型及對兩輪行走平衡控制技術(shù)進(jìn)行了大量的研究，也提出了一些將此非線性系統(tǒng)線性化的方法。其中很多研究人員用近似線性化方法將機(jī)器人非線性模型線性化，再利用現(xiàn)代控制理論中極點(diǎn)配置或LQR等控制方法進(jìn)行分析研究，仿真分析能獲得很好的效果。但此線性化方法是假設(shè)兩輪機(jī)器人俯仰角在一個小范圍之類進(jìn)行的，但實(shí)際中，機(jī)器人能控角度范圍遠(yuǎn)大于此，采用此種方法在平衡點(diǎn)附近有很好效果，但當(dāng)大于一定角度后系統(tǒng)失去控制。

本文主要介紹兩輪自平衡機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計，采用Lagrange方法建立數(shù)學(xué)模型，提出了將LQR與PID控制相結(jié)合的方法對兩輪機(jī)器人進(jìn)行姿態(tài)控制，物理實(shí)驗驗證了此方法不僅有很好的控制效果，而且實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人大傾角范圍的平衡控制。

1 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)模型

1.1 兩輪自平衡機(jī)器人的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)采用層狀結(jié)構(gòu)。底層有兩個同型號、同軸的直流電機(jī)、姿態(tài)檢測傳感器、伺服驅(qū)動器和電源。在中間層有電源監(jiān)控和轉(zhuǎn)換模塊和控制器模塊。上層是機(jī)器人頭部，可用來放置機(jī)器人視覺傳感器以及將來擴(kuò)展功能的部件。

兩輪機(jī)器人的控制核心是TMS320F28

12DSP處理器，其AD口轉(zhuǎn)換機(jī)器人上的姿態(tài)傳感器的檢測信號確定機(jī)器人姿態(tài)，并用QEP單元采集電機(jī)編碼器上信號確定機(jī)器人速度和位移，通過設(shè)計的控制器計算得到電機(jī)電壓，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人平衡控制。

1.2 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)建模

由式可知，經(jīng)過轉(zhuǎn)換將原多輸入系統(tǒng)分成兩個單輸入子系統(tǒng)，控制機(jī)器人的位移與俯仰角度，控制機(jī)器人的偏航角。面對兩輪機(jī)器人的平衡控制，我們現(xiàn)在只需考慮機(jī)器人的俯仰角度和位移，因此將角度、角速度、位移及速度選為狀態(tài)量，寫出如下狀態(tài)方程：

根據(jù)系統(tǒng)能控能觀性原理在Matlab中進(jìn)行計算，得出此系統(tǒng)能控能觀。

2 基于LQR和PID的控制器設(shè)計

2.1 兩輪機(jī)器人可控范圍分析

由模型分析可知此機(jī)器人系統(tǒng)是可控的，但由于模型是在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行的線性化，角度為，而實(shí)際機(jī)器人傾斜角度比此值大得多，并且使用的傾角儀線性測量范圍為。通過物理實(shí)驗得：機(jī)器人傾斜的角度時，給電機(jī)最大控制量指令情況下，機(jī)器人實(shí)體完全可以控制。因此，設(shè)計的兩輪機(jī)器人其平衡控制范圍定為，遠(yuǎn)大于線性化時約束條件。本文所研究的LQR和PID復(fù)合控制器的控制算法很有研究意義[3]。

2.2 控制器設(shè)計

2.2.1 LQR控制器

對上面所描述的機(jī)器人模型，給定對于狀態(tài)和控制的二次型性能指標(biāo)函數(shù)定義為：

，

其中，權(quán)值矩陣和均為對稱正定常值矩陣。其系統(tǒng)控制方法為找到最佳控制向量矩陣K，得到最佳控制量。這里選取Q=[100 0 0 0；0 100 0 0；0 0 100 0；0 0 0 100]，R=1。利用Matlab命令LQR（A，B，Q，R），得到系統(tǒng)反饋增益：

當(dāng)給定初始俯仰傾角分別為和，其他狀態(tài)量給零時，其零輸入相應(yīng)仿真曲線如圖1和圖2。

比較可知，初始角度相差很大的情況下，對于理論仿真來說，其變化情況并不大。但是在實(shí)際物理系統(tǒng)調(diào)試中，情況卻不同。當(dāng)傾斜角度增大時，其線性化過程中產(chǎn)生的誤差也相應(yīng)的增大，將會出現(xiàn)所設(shè)計的控制器就根本無法是機(jī)器人達(dá)到動態(tài)平衡的情況，而且對于LQR控制器的設(shè)計，模型的精確程度及物理系統(tǒng)參數(shù)準(zhǔn)確性都要求相對嚴(yán)格。

2.2.2 PID控制器

對于經(jīng)典PID控制，它是工業(yè)控制中的主要技術(shù)之一。在兩輪機(jī)器人控制上，其主要優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單在控制器上易于實(shí)現(xiàn)，并且適應(yīng)性強(qiáng)，不依賴于其線性化模型，兼顧了一定的魯棒性。但由于經(jīng)典的PID調(diào)節(jié)器為實(shí)現(xiàn)無差調(diào)節(jié)而引入積分作用后，不可避免地使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程發(fā)生超調(diào)。適度的超調(diào)對于提高系統(tǒng)的快速性是有利的，但在機(jī)器人實(shí)體控制過程中，這樣的超調(diào)也會使系統(tǒng)發(fā)生振蕩，靜態(tài)性能指標(biāo)較差。如圖所示，階躍相應(yīng)仿真曲線見圖3。

2.2.3 LQR與PID復(fù)合控制器設(shè)計

以上分析了LQR與PID控制器在兩輪機(jī)器人控制中的優(yōu)缺點(diǎn)，對于兩輪機(jī)器人來說，由于其非線性和不確定性，使用任何其中一種控制器進(jìn)行控制都不能達(dá)到理想的效果。為了得到更快的控制速度和更好的動態(tài)平衡效果，根據(jù)兩控制器各自的特點(diǎn)，本文設(shè)計了復(fù)合控制器：分別采用一個控制因子來限制兩個控制器的輸出，再將兩控制量進(jìn)行疊加。

假設(shè)兩控制器輸出分別為U1和U2，控制因子為K1和K2?？紤]到，當(dāng)傾斜角≤時，機(jī)器人接進(jìn)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性化誤差較小，此時采用LQR控制效果較好，不需采用PID控制方法。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人開始偏離平衡點(diǎn)附近，模型線性化會產(chǎn)生一定誤差，控制器參數(shù)也存在誤差，僅靠LQR控制已不能完全滿足要求平衡控制要求，此時引入PID控制，使其各發(fā)揮一定的功能。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人已經(jīng)偏離平衡點(diǎn)很遠(yuǎn)，線性化的模型有較大的誤差，其LQR控制器參數(shù)已不符合實(shí)際控制要求，此時只調(diào)用PID控制算法，使車體傾斜角度回到小于范圍[4]。

3 兩輪機(jī)器人實(shí)物控制效果

實(shí)驗用的兩輪機(jī)器使用的控制器為TI公司的DSP2812[5]，在CCS軟件開發(fā)環(huán)境中編程。首先對DSP各個單元模塊進(jìn)行初始化，配置相應(yīng)端口并開中斷。等待中斷，中斷程序里對傳感器進(jìn)行采樣，通過計算得到機(jī)器人的姿態(tài)和速度。調(diào)用控制算法，對機(jī)器人進(jìn)行平衡控制，并將傳感器數(shù)據(jù)傳送到上位機(jī)。通過實(shí)驗得到數(shù)據(jù)，繪制曲線。

實(shí)驗總結(jié)：利用LQR與PID復(fù)合控制器控制算法可以使機(jī)器人獲得很好的平衡效果，并且有較好的抗擾動效果，能較快的恢復(fù)動態(tài)平衡狀態(tài)，有一定的魯棒性。對于PID控制器，雖然能控制機(jī)器人平衡，但機(jī)器人在平衡處的振動較大，靜態(tài)性能較差。而線性控制器LQR，在小角度范圍有不錯的控制效果，但對于較大擾動，角度超出線性化約束角度條件時，此控制算法已不能控制機(jī)器人的平衡。

4 結(jié)語

本文針對兩輪機(jī)器人控制問題中重要的平衡控制問題進(jìn)行了分析，通過分析非線性系統(tǒng)近似線性化控制方法和經(jīng)典PID控制的優(yōu)缺點(diǎn)，設(shè)計了基于LQR和PID的復(fù)合控制器，并通過實(shí)際物理實(shí)驗驗證了此控制方法的有效性，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人在較大傾角范圍內(nèi)的動態(tài)平衡控制。

參考文獻(xiàn)

[1] 李磊，葉濤，譚民，等.移動機(jī)器人技術(shù)研究現(xiàn)狀與未來[J].機(jī)器人，2002，24（5）：475-480.

[2] 王曉宇.兩輪自平衡機(jī)器人的研究[D]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

[3] A.Salerno and J.Angeles.On the nonlinear controllability of a quasiholonomic mobile robot[C]//in Proc. IEEE ICRA，Taiwan，2003：3379-3384.

[4] Kong Xiangxuan.Research on the Control System of Two-Wheeled Self-Erect Mobile Robot[D].Shanghai Jiao Tong University，2007.

[5] 蘇奎峰，呂強(qiáng)，耿慶峰，等.TMS320F28

12原理與開發(fā)[M].電子工業(yè)出版社，2005.

摘 要：兩輪自平衡移動機(jī)器人是一種高階次、不穩(wěn)定、非線性的典型控制系統(tǒng)。以其為研究對象，采用Lagrange方程建立其動力學(xué)模型，經(jīng)過線性化處理得到其一定約束條件下的線性化模型。采用線性二次型調(diào)節(jié)器與PID控制相結(jié)合的方法可有效克服線性化過程中約束條件對系統(tǒng)的影響，并且以數(shù)字信號處理器芯片TMS320LF2812為控制器核心，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人較大傾角范圍的動態(tài)平衡控制。物理實(shí)驗表明：使用LQR與PID復(fù)合控制器對兩輪機(jī)器人實(shí)體控制的有效性。

關(guān)鍵詞：兩輪自平衡機(jī)器人 Lagrange方程 LQR PID DSP2812

中圖分類號：TP242 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）04（a）-0002-03

基于倒立擺模型的兩輪自平衡機(jī)器人屬于輪式機(jī)器人的范疇，并結(jié)合了自主移動的思想，其體積小、結(jié)構(gòu)簡單、運(yùn)動靈活，適于在狹小和危險的空間內(nèi)工作，在民用和軍事上有著廣泛的應(yīng)用前景；同時由于其不穩(wěn)定的動態(tài)特性，兩輪自平衡機(jī)器人成為驗證各種控制算法的理想平臺，具有重要的理論意義。兩輪自平衡機(jī)器人屬于非線性、時變、欠驅(qū)動、非完整約束系統(tǒng)，控制問題是其研究的關(guān)鍵[1]。

國內(nèi)外研究學(xué)者對移動輪式倒立擺模型及對兩輪行走平衡控制技術(shù)進(jìn)行了大量的研究，也提出了一些將此非線性系統(tǒng)線性化的方法。其中很多研究人員用近似線性化方法將機(jī)器人非線性模型線性化，再利用現(xiàn)代控制理論中極點(diǎn)配置或LQR等控制方法進(jìn)行分析研究，仿真分析能獲得很好的效果。但此線性化方法是假設(shè)兩輪機(jī)器人俯仰角在一個小范圍之類進(jìn)行的，但實(shí)際中，機(jī)器人能控角度范圍遠(yuǎn)大于此，采用此種方法在平衡點(diǎn)附近有很好效果，但當(dāng)大于一定角度后系統(tǒng)失去控制。

本文主要介紹兩輪自平衡機(jī)器人的結(jié)構(gòu)設(shè)計，采用Lagrange方法建立數(shù)學(xué)模型，提出了將LQR與PID控制相結(jié)合的方法對兩輪機(jī)器人進(jìn)行姿態(tài)控制，物理實(shí)驗驗證了此方法不僅有很好的控制效果，而且實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人大傾角范圍的平衡控制。

1 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)模型

1.1 兩輪自平衡機(jī)器人的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

兩輪自平衡機(jī)器人系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)采用層狀結(jié)構(gòu)。底層有兩個同型號、同軸的直流電機(jī)、姿態(tài)檢測傳感器、伺服驅(qū)動器和電源。在中間層有電源監(jiān)控和轉(zhuǎn)換模塊和控制器模塊。上層是機(jī)器人頭部，可用來放置機(jī)器人視覺傳感器以及將來擴(kuò)展功能的部件。

兩輪機(jī)器人的控制核心是TMS320F28

12DSP處理器，其AD口轉(zhuǎn)換機(jī)器人上的姿態(tài)傳感器的檢測信號確定機(jī)器人姿態(tài)，并用QEP單元采集電機(jī)編碼器上信號確定機(jī)器人速度和位移，通過設(shè)計的控制器計算得到電機(jī)電壓，實(shí)現(xiàn)機(jī)器人平衡控制。

1.2 兩輪自平衡機(jī)器人的動力學(xué)建模

由式可知，經(jīng)過轉(zhuǎn)換將原多輸入系統(tǒng)分成兩個單輸入子系統(tǒng)，控制機(jī)器人的位移與俯仰角度，控制機(jī)器人的偏航角。面對兩輪機(jī)器人的平衡控制，我們現(xiàn)在只需考慮機(jī)器人的俯仰角度和位移，因此將角度、角速度、位移及速度選為狀態(tài)量，寫出如下狀態(tài)方程：

根據(jù)系統(tǒng)能控能觀性原理在Matlab中進(jìn)行計算，得出此系統(tǒng)能控能觀。

2 基于LQR和PID的控制器設(shè)計

2.1 兩輪機(jī)器人可控范圍分析

由模型分析可知此機(jī)器人系統(tǒng)是可控的，但由于模型是在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行的線性化，角度為，而實(shí)際機(jī)器人傾斜角度比此值大得多，并且使用的傾角儀線性測量范圍為。通過物理實(shí)驗得：機(jī)器人傾斜的角度時，給電機(jī)最大控制量指令情況下，機(jī)器人實(shí)體完全可以控制。因此，設(shè)計的兩輪機(jī)器人其平衡控制范圍定為，遠(yuǎn)大于線性化時約束條件。本文所研究的LQR和PID復(fù)合控制器的控制算法很有研究意義[3]。

2.2 控制器設(shè)計

2.2.1 LQR控制器

對上面所描述的機(jī)器人模型，給定對于狀態(tài)和控制的二次型性能指標(biāo)函數(shù)定義為：

，

其中，權(quán)值矩陣和均為對稱正定常值矩陣。其系統(tǒng)控制方法為找到最佳控制向量矩陣K，得到最佳控制量。這里選取Q=[100 0 0 0；0 100 0 0；0 0 100 0；0 0 0 100]，R=1。利用Matlab命令LQR（A，B，Q，R），得到系統(tǒng)反饋增益：

當(dāng)給定初始俯仰傾角分別為和，其他狀態(tài)量給零時，其零輸入相應(yīng)仿真曲線如圖1和圖2。

比較可知，初始角度相差很大的情況下，對于理論仿真來說，其變化情況并不大。但是在實(shí)際物理系統(tǒng)調(diào)試中，情況卻不同。當(dāng)傾斜角度增大時，其線性化過程中產(chǎn)生的誤差也相應(yīng)的增大，將會出現(xiàn)所設(shè)計的控制器就根本無法是機(jī)器人達(dá)到動態(tài)平衡的情況，而且對于LQR控制器的設(shè)計，模型的精確程度及物理系統(tǒng)參數(shù)準(zhǔn)確性都要求相對嚴(yán)格。

2.2.2 PID控制器

對于經(jīng)典PID控制，它是工業(yè)控制中的主要技術(shù)之一。在兩輪機(jī)器人控制上，其主要優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡單在控制器上易于實(shí)現(xiàn)，并且適應(yīng)性強(qiáng)，不依賴于其線性化模型，兼顧了一定的魯棒性。但由于經(jīng)典的PID調(diào)節(jié)器為實(shí)現(xiàn)無差調(diào)節(jié)而引入積分作用后，不可避免地使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)過程發(fā)生超調(diào)。適度的超調(diào)對于提高系統(tǒng)的快速性是有利的，但在機(jī)器人實(shí)體控制過程中，這樣的超調(diào)也會使系統(tǒng)發(fā)生振蕩，靜態(tài)性能指標(biāo)較差。如圖所示，階躍相應(yīng)仿真曲線見圖3。

2.2.3 LQR與PID復(fù)合控制器設(shè)計

以上分析了LQR與PID控制器在兩輪機(jī)器人控制中的優(yōu)缺點(diǎn)，對于兩輪機(jī)器人來說，由于其非線性和不確定性，使用任何其中一種控制器進(jìn)行控制都不能達(dá)到理想的效果。為了得到更快的控制速度和更好的動態(tài)平衡效果，根據(jù)兩控制器各自的特點(diǎn)，本文設(shè)計了復(fù)合控制器：分別采用一個控制因子來限制兩個控制器的輸出，再將兩控制量進(jìn)行疊加。

假設(shè)兩控制器輸出分別為U1和U2，控制因子為K1和K2?？紤]到，當(dāng)傾斜角≤時，機(jī)器人接進(jìn)平衡狀態(tài)，系統(tǒng)狀態(tài)方程的線性化誤差較小，此時采用LQR控制效果較好，不需采用PID控制方法。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人開始偏離平衡點(diǎn)附近，模型線性化會產(chǎn)生一定誤差，控制器參數(shù)也存在誤差，僅靠LQR控制已不能完全滿足要求平衡控制要求，此時引入PID控制，使其各發(fā)揮一定的功能。當(dāng)傾斜角≤≤時，機(jī)器人已經(jīng)偏離平衡點(diǎn)很遠(yuǎn)，線性化的模型有較大的誤差，其LQR控制器參數(shù)已不符合實(shí)際控制要求，此時只調(diào)用PID控制算法，使車體傾斜角度回到小于范圍[4]。

3 兩輪機(jī)器人實(shí)物控制效果

實(shí)驗用的兩輪機(jī)器使用的控制器為TI公司的DSP2812[5]，在CCS軟件開發(fā)環(huán)境中編程。首先對DSP各個單元模塊進(jìn)行初始化，配置相應(yīng)端口并開中斷。等待中斷，中斷程序里對傳感器進(jìn)行采樣，通過計算得到機(jī)器人的姿態(tài)和速度。調(diào)用控制算法，對機(jī)器人進(jìn)行平衡控制，并將傳感器數(shù)據(jù)傳送到上位機(jī)。通過實(shí)驗得到數(shù)據(jù)，繪制曲線。

實(shí)驗總結(jié)：利用LQR與PID復(fù)合控制器控制算法可以使機(jī)器人獲得很好的平衡效果，并且有較好的抗擾動效果，能較快的恢復(fù)動態(tài)平衡狀態(tài)，有一定的魯棒性。對于PID控制器，雖然能控制機(jī)器人平衡，但機(jī)器人在平衡處的振動較大，靜態(tài)性能較差。而線性控制器LQR，在小角度范圍有不錯的控制效果，但對于較大擾動，角度超出線性化約束角度條件時，此控制算法已不能控制機(jī)器人的平衡。

4 結(jié)語

本文針對兩輪機(jī)器人控制問題中重要的平衡控制問題進(jìn)行了分析，通過分析非線性系統(tǒng)近似線性化控制方法和經(jīng)典PID控制的優(yōu)缺點(diǎn)，設(shè)計了基于LQR和PID的復(fù)合控制器，并通過實(shí)際物理實(shí)驗驗證了此控制方法的有效性，實(shí)現(xiàn)了兩輪機(jī)器人在較大傾角范圍內(nèi)的動態(tài)平衡控制。

參考文獻(xiàn)

[1] 李磊，葉濤，譚民，等.移動機(jī)器人技術(shù)研究現(xiàn)狀與未來[J].機(jī)器人，2002，24（5）：475-480.

[2] 王曉宇.兩輪自平衡機(jī)器人的研究[D]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2007.

[3] A.Salerno and J.Angeles.On the nonlinear controllability of a quasiholonomic mobile robot[C]//in Proc. IEEE ICRA，Taiwan，2003：3379-3384.

[4] Kong Xiangxuan.Research on the Control System of Two-Wheeled Self-Erect Mobile Robot[D].Shanghai Jiao Tong University，2007.

[5] 蘇奎峰，呂強(qiáng)，耿慶峰，等.TMS320F28

12原理與開發(fā)[M].電子工業(yè)出版社，2005.