王東梅

摘 要：概率統(tǒng)計(jì)在當(dāng)今社會已經(jīng)滲透于我們的工作生活之中，它不僅是科學(xué)研究中具有重要意義的理論，更成為一種具有普遍意義的思想方法。概率統(tǒng)計(jì)之所以在現(xiàn)代科學(xué)及社會發(fā)展中煥發(fā)出強(qiáng)大的生命力，其中最重要的一個(gè)原因就是它處處包含了唯物辯證法的思想。如實(shí)踐的觀點(diǎn)、必然性和偶然性的統(tǒng)一、內(nèi)因與外因、整體與部分等。對其進(jìn)行探析，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義和方法論意義。

關(guān)鍵詞：概率；統(tǒng)計(jì)；辯證法

中圖分類號：B028 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1002-2589（2014）30-0052-02

早在古希臘時(shí)期，人們已意識到機(jī)遇在某些場合有可能服務(wù)于人，例如用抽簽決定人們彼此的爭端。它反映了人們在不確定性的行為中努力尋找行為的理性規(guī)則，使人們的理性服從機(jī)遇的愿望。當(dāng)今社會，概率統(tǒng)計(jì)已滲透到我們生活的各方面，不僅在科學(xué)研究中具有重要意義，而且成為一種具有普遍意義的思想方法。概率與統(tǒng)計(jì)之所以在現(xiàn)代科學(xué)及社會發(fā)展中煥發(fā)出強(qiáng)大的生命力，其中最重要的一個(gè)原因就是它處處包含了唯物辯證法的思想。

一、實(shí)踐的觀點(diǎn)是概率統(tǒng)計(jì)存在發(fā)展的基礎(chǔ)

人們早就注意到，一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)其結(jié)果完全是由偶然性支配的：測量一個(gè)長度a，一次測量的結(jié)果不一定就等于a，測量若干次，其算術(shù)平均值仍不一定等于a，但當(dāng)測量的次數(shù)很多時(shí)，算術(shù)平均值接近于a幾乎是必然的；擲一顆均勻的正六面體的篩子，可能出現(xiàn)1～6任何一個(gè)點(diǎn)，在試驗(yàn)前無法預(yù)測下一次將會出現(xiàn)幾點(diǎn)，但當(dāng)試驗(yàn)大數(shù)次進(jìn)行時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果就會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，這就是“統(tǒng)計(jì)規(guī)律性”。這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性幾乎是在人們的實(shí)踐中總結(jié)、歸納、提煉出來的。例如人們在日常生活中經(jīng)常使用的矩法估計(jì)：重復(fù)實(shí)驗(yàn)得到次的觀察值，以其算術(shù)平均數(shù)來確定其實(shí)際值。這就導(dǎo)出了著名的切比雪夫大數(shù)定律：

■P■■-■■E（Xi）<ε=1

其中為Xi（i=1，2，3，…，n）隨機(jī)變量且獨(dú)立同分布，E（Xi）即為Xi的數(shù)學(xué)期望。從上述公式可以看出，當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值這個(gè)隨機(jī)變量的離散程度是很小的。這意味著，經(jīng)過算術(shù)平均以后得到的隨機(jī)變量當(dāng)n趨于無窮大時(shí)收斂于隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

上述定律中還包含著這樣的數(shù)學(xué)思想，即進(jìn)行某次實(shí)驗(yàn)認(rèn)為大概率事件必定發(fā)生，或小概率事件必定不發(fā)生。在實(shí)際應(yīng)用中概率很小的隨機(jī)事件在個(gè)別試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。因此，人們常常忽略了那些概率很小的事件發(fā)生的可能性。這就是實(shí)際推斷原理。對這一原理的嚴(yán)謹(jǐn)性，初學(xué)者總是覺得難以理解。既然小概率并不等于零，為什么假定它就必不發(fā)生呢？的確，它不像其他數(shù)學(xué)原理一樣有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明，它與純粹的形式邏輯似乎也相矛盾，但它卻是實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)證明了的、反映了真理的實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)。小概率事件的實(shí)際不可能性原理在國家經(jīng)濟(jì)建設(shè)事業(yè)中有著廣泛的應(yīng)用。

實(shí)際推斷原理進(jìn)一步滲透到統(tǒng)計(jì)學(xué)的“假設(shè)檢驗(yàn)”中。所謂假設(shè)檢驗(yàn)就是在總體上做某種假設(shè)（假設(shè)其參數(shù)或分布），然后從總體中隨機(jī)地抽取一個(gè)子樣，用它檢驗(yàn)此項(xiàng)假設(shè)是否成立。如果成立，則接受假設(shè)；如果不成立，根據(jù)實(shí)際推斷原理，“小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不可能發(fā)生”，可以認(rèn)為“發(fā)生了必是大概率事件”，因此拒絕接受原假設(shè)。（注：盡管在假設(shè)檢驗(yàn)中不可避免地存在“棄真”和“存?zhèn)巍钡膬深愬e(cuò)誤。這是一個(gè)較為復(fù)雜的問題，這里不再詳述。但有兩點(diǎn)可以肯定：一是兩類錯(cuò)誤發(fā)生的概率是確定的，可以通過數(shù)學(xué)理論推導(dǎo)出來；二是通過增加試驗(yàn)次數(shù)降低錯(cuò)誤發(fā)生的概率。所以此兩類錯(cuò)誤的發(fā)生并不影響實(shí)踐作為真理標(biāo)準(zhǔn)的正確性和嚴(yán)密性。）

二、必然性和偶然性的統(tǒng)一是概率統(tǒng)計(jì)應(yīng)用的重要條件

必然性和偶然性是事物發(fā)展過程中兩種不同的趨勢。二者是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。必然性存在于偶然性之中，通過偶然性表現(xiàn)出來；偶然性中深藏著必然性，是必然性的表現(xiàn)和補(bǔ)充，兩者相互依存，相互轉(zhuǎn)化。概率統(tǒng)計(jì)的基本思想是通過對偶然性的研究和考察，去揭示大量偶然現(xiàn)象在整體上呈現(xiàn)出的必然性特征——統(tǒng)計(jì)規(guī)律，并利用統(tǒng)計(jì)規(guī)律做出科學(xué)的推斷和選擇。

任何事物的發(fā)生和發(fā)展過程，都要受到必然性的支配和偶然性的影響，必須具體事物具體分析。概率統(tǒng)計(jì)在整理偶然現(xiàn)象的過程中，發(fā)現(xiàn)大量偶然現(xiàn)象的發(fā)生頻率或整體分布狀態(tài)有一種非偶然的穩(wěn)定性趨勢，并相繼用數(shù)學(xué)方法揭示了這種穩(wěn)定性的規(guī)律如大數(shù)定律、中心極限定理等。隨機(jī)現(xiàn)象在概率統(tǒng)計(jì)中是一個(gè)最重要的概念，拋一枚硬幣其實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不確定的；但當(dāng)多次重復(fù)時(shí)，正面朝上的概率和朝下的概率大約各為50%，實(shí)驗(yàn)結(jié)果呈現(xiàn)出某種有規(guī)律的數(shù)值。實(shí)驗(yàn)結(jié)果的這種確定性和不確定性，反映了隨機(jī)事件是必然性和偶然性的完美統(tǒng)一：在看似偶然的拋硬幣過程中，隱藏著重要的數(shù)學(xué)原理：它有可能朝上，有可能朝下，概率各占50%。實(shí)際上，這樣的實(shí)驗(yàn)歷史上有人（德.摩根、蒲豐、K.皮爾遜）做過。這種確定性可由下面數(shù)學(xué)公式表示：

■P■-p<ε=1

其中，p為某事件發(fā)生的概率，n為實(shí)驗(yàn)總次數(shù)，m為事件發(fā)生頻數(shù)。

這就是著名的貝努里大數(shù)定律。這個(gè)定理說明：當(dāng)試驗(yàn)在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行很多次時(shí)，隨機(jī)事件的頻率在它的概率附近擺動。這一定理正是偶然性和必然性的最初統(tǒng)一表現(xiàn)形式。雖在一次隨機(jī)試驗(yàn)中其結(jié)果難以確定，但當(dāng)試驗(yàn)大數(shù)次進(jìn)行時(shí)，結(jié)果會呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性。這不僅升華出“概率”的統(tǒng)計(jì)定義，還導(dǎo)出頻率“依概率收斂”于概率。

概率統(tǒng)計(jì)思想所揭示的必然性歸根結(jié)底是大量偶然現(xiàn)象發(fā)生頻率或分布狀態(tài)的穩(wěn)定性，而不是現(xiàn)象間因果聯(lián)系的必然性，在這里，必然性得到了新的說明——它是一種整體的趨勢。

三、整體與部分的辯證關(guān)系是概率統(tǒng)計(jì)研究的基本前提

在概率統(tǒng)計(jì)中，經(jīng)常通過研究子樣的概率統(tǒng)計(jì)特性來研究總體的特性。如在實(shí)踐中經(jīng)常遇到的檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量的問題。設(shè)有n個(gè)產(chǎn)品，要檢驗(yàn)這批產(chǎn)品是否合格，需從中隨機(jī)抽取r（r

總體和子樣之間有著相互對立的關(guān)系，這是顯然的。如果隨意以子樣性質(zhì)代替總體性質(zhì)或以總體性質(zhì)代替子樣性質(zhì)，將會犯理論上的錯(cuò)誤。例如在檢驗(yàn)總體平均數(shù)（方差未知）——檢驗(yàn)過程中做假設(shè)：H0：μ=μ0

構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量：

T=（X-μ0）S■

其中X為樣本均值，μ0是總體的數(shù)學(xué)期望（E（X）=μ），如果不加區(qū)分，就會得出T≡0的荒謬結(jié)論。

而為了對總體X的分布進(jìn)行各種需要的研究，把每個(gè)個(gè)體逐個(gè)進(jìn)行觀察，顯然是不現(xiàn)實(shí)的。采用抽樣推斷總體，其特點(diǎn)是利用所謂“盲人摸象”法，由局部認(rèn)識整體。一個(gè)自然的想法，樣本要有代表性。即要求每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會均等，并且抽取一個(gè)個(gè)體后總體成分不變。首先要求抽樣具有“隨機(jī)性”，第一次抽取的樣品X1的可能取值應(yīng)與總體的可能值是完全一樣的。且取各個(gè)值的概率相同。因此，X1是一個(gè)隨機(jī)變量，并且是與X同分布的隨機(jī)變量；其次應(yīng)具有“獨(dú)立性”，第一次抽樣不改變總體成分，第二次抽取的樣品X2可能的值也與X完全一樣，并且取值的概率也是相同的，因此X2也是與X同分布的一個(gè)隨機(jī)變量，并且X1，X2，……Xn是一組相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，故要求X1，X2，……Xn是簡單隨機(jī)樣本。在抽取樣本容量r相對于總體總數(shù)n很小時(shí)（一般■≤■），則連續(xù)抽取r個(gè)個(gè)體，就近似地看作一個(gè)簡單隨機(jī)樣本。這是因?yàn)槌槿〉膫€(gè)數(shù)很小時(shí)，可認(rèn)為對總體不影響或影響很小。從這一點(diǎn)講，總體與子樣相互包含。總體顯然包括子樣，子樣是總體的一部分；而子樣中的每一個(gè)個(gè)體都反映了總體的特性信息，在數(shù)學(xué)上可看為獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量Xi。

四、內(nèi)因與外因的分析是概率統(tǒng)計(jì)研究的重要方法

在客觀世界中有些變量之間具有確定的關(guān)系，這些確定的關(guān)系決定了變量變化的方向，它是變量之間變化的內(nèi)因。如質(zhì)點(diǎn)在做勻速直線運(yùn)動時(shí)路程與時(shí)間之間存在正比關(guān)系：

S=S0+υt

其中，S為距離，υ為速度，t為時(shí)刻，S0為初始距離。

在客觀世界中內(nèi)因和外因總是同時(shí)起作用。由于測量距離時(shí)的隨機(jī)誤差，上述公式往往不能成立，兩個(gè)變量S與t之間不存在完全確定的函數(shù)關(guān)系，因此必須把隨機(jī)波動產(chǎn)生的影響引入方程，應(yīng)修正為：

S=S0+υt+ε

其中ε為隨機(jī)變量，它反映了事物發(fā)展中非本質(zhì)的、非確定性的“外因”對事物發(fā)展的影響。在概率統(tǒng)計(jì)中，經(jīng)常采用按照“內(nèi)因與外因?qū)κ挛锏陌l(fā)展變化同時(shí)起作用”的思想建立數(shù)學(xué)模型，并從中把握事物本質(zhì)的規(guī)定性即“內(nèi)因”，同時(shí)從量上對外因因素進(jìn)行預(yù)測，從而達(dá)到研究事物發(fā)展規(guī)律的目的的方法。如回歸分析方法。即由一個(gè)或一組非隨機(jī)變量來估計(jì)或預(yù)測某一隨機(jī)變量的觀測值所建立的數(shù)學(xué)模型：

y=f（x1，x2，x3，…… xn，θ1，θ2，θ3，……θm）+ε

其中x1，x2，x3，…… xn為可控變量，θ1，θ2，θ3，……θm為參數(shù)，ε為隨機(jī)變量。根據(jù)r次實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)（y1，x（1）1，x（1）2，x（1）3……x（1）n）（y2，x（2）1，x（2）2，x（2）3……x（2）n）……（yr，x（r）1，x（r）2，x（r）3……x（r）n）來估計(jì)θ1，θ2，θ3，……θm的值。

■1，■2，■3，……■m

從而確定y，xi之間的關(guān)系：

y=f（x1，x2，x3，…… xn，■1，■2，■3，……■m）

回歸分析所依據(jù)的原理，從幾何上看，就是實(shí)際測出的r個(gè)觀察點(diǎn)與所擬合的曲線（面）上相對應(yīng)于同一組自變量xi的點(diǎn)之間的二階原點(diǎn)矩最小。這里體現(xiàn)了重要的哲學(xué)思想：內(nèi)因起主要作用，它決定了事物發(fā)展的根本方向，它代表了事物內(nèi)部本質(zhì)的規(guī)定性。而外因起從屬作用，它影響事物發(fā)展變化。

總之，對于概率統(tǒng)計(jì)中的辯證法思想進(jìn)行探析，有助于我們更好地理解枯燥的數(shù)學(xué)知識，增強(qiáng)辯證思維、哲理思考的能力，具有重要的思想方法論意義。

參考文獻(xiàn)：

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