許飄勇

在講解不等式選講時，有道填空題要求解函數(shù)y=2|x-1|+|x-2|+|4x-3|的單調(diào)區(qū)間和值域，若用零點(diǎn)分區(qū)間法求出分段函數(shù)的表達(dá)式，再用圖象，得出單調(diào)區(qū)間和值域，雖然思路簡單，但耗時費(fèi)力，準(zhǔn)確率低.筆者思考能不能根據(jù)參數(shù)就可畫出函數(shù)草圖，數(shù)形結(jié)合就易得答案.

對于可化為形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

當(dāng)k1+k2+…+kn>0時，

若x∈（∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函數(shù)在（∞，a1]單調(diào)遞減.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以函數(shù)在[an，+∞）單調(diào)遞增.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當(dāng)f（ai）

當(dāng)f（ai）>f（ai+1）時，函數(shù)在[ai，ai+1]單調(diào)遞減；

當(dāng)f（ai）=f（ai+1）時，函數(shù)在[ai，ai+1]的圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，

f（ai+1））為端點(diǎn)的水平線段.

若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，則此時值域?yàn)閇M，+∞）.

當(dāng)k1+k2+…+kn<0時，

若x∈（-∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=

-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在（-∞，a1]單調(diào)遞增.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在[an，+∞）單調(diào)遞減.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當(dāng)f（ai，）

當(dāng)f（ai，）>f（ai+1）時，在[ai，ai+1]單調(diào)遞減；

當(dāng)f（ai，）=f（ai+1）時，在[ai，ai+1]圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））為端點(diǎn)的水平線段.

若記N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則此時值域?yàn)椋?∞，N]

當(dāng)k1+k2+…+kn=0時，

若x∈（-∞，a1]，則f（x）=-k1（x-a1）-k2（x-a2）-…-kn（x-an）=-（k1+k2+…+kn）x+（k1a1+k2a2+…+knan）=（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））為端點(diǎn)方向向左的水平射線.

若x∈[an，+∞），則f（x）=k1（x-a1）+k2（x-a2）+…+kn（x-an）=（k1+k2+…+kn）x-（k1a1+k2a2+…+knan）=-（k1a1+k2a2+…+knan）

所以圖象在[an，+∞）是以（an，f（an））為端點(diǎn)方向向右的水平射線.

若x∈[ai，ai+1]（i=1，2…n-1）

當(dāng)f（ai）

當(dāng)f（ai）>f（ai+1）時，在[ai，ai+1]單調(diào)遞減

當(dāng)f（ai）=f（ai+1）時，在[ai，ai+1]圖象是（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））為端點(diǎn)的水平線段.

若記M=min{f（a1），f（a2）…f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則值域?yàn)閇M，N].

總之，形如f（x）=k1|x-a1|+k2|x-a2|+…+kn|x-an|（其中a1

1.定義域x∈（-∞，+∞）.

2.圖象、單調(diào)性、值域.整個圖象是連續(xù)不斷的折線.

當(dāng)k1+k2+…+kn>0時，圖象為W型.在（-∞，a1]單調(diào)遞減，在[an，+∞）單調(diào)遞增，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點(diǎn)的線段連接而成的連續(xù)不斷的折線.若記M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，則值域?yàn)閇M，+∞）.

當(dāng)k1+k2+…+kn<0時，圖象為M型，在（-∞，a1]單調(diào)遞增，在[an，+∞）單調(diào)遞減，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點(diǎn)的線段連接而成的連續(xù)不斷的折線.若記N=max{f（a1），f（a2）…

f（an）}，則值域?yàn)椋?∞，N].

當(dāng)k1+k2+…+kn=0時，圖象為Z型，在（-∞，a1]是以（a1，f（a1））為端點(diǎn)方向向左的水平射線，在[an，+∞）是以（an，f（an））為端點(diǎn)方向向右的水平射線，中間是以（ai，f（ai）），（ai+1，f（ai+1））（i=1，2…n-1）為端點(diǎn)的線段連接而成的連續(xù)不斷的折線.若記M=min{f（a1），f（a2）…

f（an）}，N=max{f（a1），f（a2）…f（an）}，則值域?yàn)閇M，N].

所以y=2|x-1|+|x-2|-|4x-12|可化為y=2|x-1|+|x-2|-4|x-3|，先描（1，-7），（2-2），（3，5），計(jì)算2+1-4=-1，可得圖象為M型，易得單調(diào)增區(qū)間為（-∞，3]，單調(diào)減區(qū)間為[3，+∞）]；值域?yàn)椋?∞，5].