劉國翰

（浙江理工大學法政學院，浙江 杭州 310018）

一、結(jié)構(gòu)化多人博弈

近年來，博弈論在社會學和政治學領(lǐng)域的應(yīng)用越來越廣泛。以經(jīng)濟學和生物學為主要應(yīng)用對象發(fā)展起來的博弈論對于理解社會現(xiàn)象和政治現(xiàn)象提供了新的思路。這種以社會現(xiàn)象和政治現(xiàn)象為主要分析對象的博弈論可以稱為“社會博弈(Social Games)”(Lanzi Diego，2013)。在以經(jīng)濟問題為主要對象的傳統(tǒng)博弈中，博弈方之間一般沒有特定的關(guān)系或者規(guī)范，博弈方被假設(shè)為追求自身利益最大化的自由人，而在社會博弈中，博弈方的選擇不僅受其利益的影響，而且會受到規(guī)范、角色以及社會網(wǎng)絡(luò)的影響?？梢哉f，任何一個博弈方都是嵌入在具體的社會關(guān)系中，按照一定的社會規(guī)范，根據(jù)自己的能力和一定的理性，采取合適的或者自認為最優(yōu)的策略來追求自身的利益。另外，社會博弈一般也是多人博弈和非對稱博弈。

為了處理社會博弈中的復雜性，當前的研究主要集中在以下三方面：

第一方面是合作博弈(Cooperative Game Theory)的發(fā)展，合作博弈假定多個博弈方能夠形成有約束力的同盟，用比較簡潔的方式解決了大群體中人與人之間能否形成穩(wěn)定聯(lián)盟的問題(Shapley，1953；Aumann，Dreze，1974)。但是，在合作博弈中，博弈方之間的關(guān)系只有“合作”和“非合作”兩種，它很難全面描述社會博弈博弈方之間的多樣化關(guān)系。此外，在合作博弈中，博弈方之間一般是對稱關(guān)系，非對稱關(guān)系下的合作很難用合作博弈的框架進行解釋。

第二方面的研究是網(wǎng)絡(luò)博弈(Network Games)和進化圖論(Evoutinary Graph Theory，EGT)。網(wǎng)絡(luò)博弈用網(wǎng)格來模擬眾多博弈方之間的社會關(guān)系，不同的網(wǎng)絡(luò)形狀、結(jié)構(gòu)、網(wǎng)絡(luò)聯(lián)接的密度以及在網(wǎng)絡(luò)中的位置等因素會影響網(wǎng)絡(luò)博弈的結(jié)果（桑吉夫·戈伊爾，2010）。進化博弈論通過使用復制動態(tài)方程，能夠以個體的選擇作為基礎(chǔ)解釋群體的特征，而進化圖論(EGT)則更進一步，能夠以進化博弈論為基礎(chǔ)描述群體內(nèi)部結(jié)構(gòu)之 間 的 關(guān) 系 和 變 化 (Lieberman，Hauert，Nowak，2005；Gy?rgy Szab ó，G áborF át h，2007；Albert Xin Jiang，Kevin Leyton-Brown,Navin A.R.Bhat，2011)。不過，無論是網(wǎng)絡(luò)博弈還是進化圖論，都是以博弈方之間的微觀互動為基礎(chǔ)來解釋宏觀群體特征和現(xiàn)象，難以做到就微觀的互動關(guān)系來解釋微觀的互動結(jié)果。

第三方面的研究是計算博弈論(Computational Game Theory)。計算博弈論仍然以多人非合作博弈作為基礎(chǔ)，通過尋找合適的算法，在眾多的策略組合中確定最有可能出現(xiàn)的策略組合，主要的算法有最小最大法(Minimax)，Maxn算法(Davi DMUtchler，1991)，UTC算法(Nathan R.Sturtevant，2008)等。計算博弈論試圖通過計算機程序在多人動態(tài)博弈中尋找最佳策略，主要用于多人對戰(zhàn)的棋牌、游戲等場合，但是在社會博弈的場合，一個有限理性的博弈方幾乎不能進行如此復雜的運算。

結(jié)構(gòu)化博弈(Jean-Jacques Herings，etc，2007)的思路和以上三個方面的研究既很大的相關(guān)性，又有一定的區(qū)別。結(jié)構(gòu)化博弈主要考察多個不同的博弈方在具有各自社會角色的情況下，如何根據(jù)他們之間不同的博弈關(guān)系來選擇最佳策略。在結(jié)構(gòu)化博弈中，博弈方之間的互動關(guān)系除了“合作”與“不合作”之外還有多種可能的選擇，任何一個博弈方在選擇自己的最佳對策時，不僅要考慮和自己有直接互動關(guān)系的博弈方的對策，還要考慮和自己沒有直接互動關(guān)系的博弈方之間的博弈狀態(tài)，結(jié)構(gòu)化博弈以博弈方之間的微觀互動關(guān)系為基礎(chǔ)，在微觀層面探討博弈的均衡解和穩(wěn)定的結(jié)果。現(xiàn)實生活中結(jié)構(gòu)化博弈的例子非常多，例如戰(zhàn)國時代齊國“圍魏救趙”的故事就是齊、魏、趙三國之間的結(jié)構(gòu)化博弈，寡頭廠商和行業(yè)管理部門之間的博弈，婆、媳、兒子（丈夫）之間的關(guān)系也都是結(jié)構(gòu)化博弈的具體例子。

二、三人結(jié)構(gòu)化博弈的分析框架

結(jié)構(gòu)化博弈采取的是從具體問題到具體結(jié)論的分析路徑，即針對具體的問題建立相應(yīng)的結(jié)構(gòu)化博弈模型，然后求具體的均衡解。結(jié)構(gòu)化博弈的解對于博弈的結(jié)構(gòu)非常敏感，不同的結(jié)構(gòu)會產(chǎn)生完全不同的均衡解。但是對于同一類結(jié)構(gòu)的問題，結(jié)構(gòu)化博弈的均衡解可以給出一致的規(guī)律。3人博弈是多人博弈的基礎(chǔ)，通過對3人結(jié)構(gòu)化博弈的分析，可以獲得一般的多人結(jié)構(gòu)化博弈的分析框架。因此，下面以一個3人博弈為基礎(chǔ)來分析結(jié)構(gòu)化博弈的求解方法。

圖1 三人結(jié)構(gòu)博弈示意圖

圖1是一個一般的三人結(jié)構(gòu)博弈的示意圖，在這個圖中，每一個博弈方都和另外兩個博弈方進行博弈。博弈方分別用節(jié)點①、②、③來表示，用G12，G13，G23分別表示博弈方1和2，博弈方1和3，博弈方2和3之間的博弈，記為：

G12，G13，G23表示博弈方①、②、③之間的邊博弈，其中，Si(i=1，2，3)表示博弈方i在相應(yīng)的兩兩博弈中的策略空間，ui(i=1，2，3)表示博弈方i在相應(yīng)的兩兩博弈中的收益。在兩兩博弈的基礎(chǔ)上，可以給出三人結(jié)構(gòu)博弈的定義：

在博弈G123中，博弈方i在策略空間等于其在相應(yīng)的兩兩博弈中策略空間的乘積，即：

博弈G123的結(jié)果取決于三個博弈方在每個兩兩博弈中的策略選擇，因此，結(jié)果空間可以表示為：

各博弈方的得益取決于博弈的結(jié)果，得益函數(shù)可以表示為：

由此可見，三人結(jié)構(gòu)化博弈可以轉(zhuǎn)化成一般的三人非合作博弈，不同的地方是每個博弈方的策略空間的維數(shù)增加，而且得益函數(shù)也發(fā)生了變化。把結(jié)構(gòu)化博弈轉(zhuǎn)化成一般的非合作博弈之后納什均衡的概念仍然適用，因此，可以通過求解這個一般的非合作博弈的納什均衡獲得結(jié)構(gòu)化博弈的均衡策略組合。

三、聯(lián)盟博弈的結(jié)構(gòu)化分析

聯(lián)盟博弈的經(jīng)典例子是三人分300元的博弈，假定按照少數(shù)服從多數(shù)的原則進行分配，即只需要兩人同意某個分配方案即可。聯(lián)盟博弈的傳統(tǒng)求解方法是給出各種可能聯(lián)盟的特征函數(shù)，在特征函數(shù)的基礎(chǔ)上定義“優(yōu)超”和“核”的概念。對于n人聯(lián)盟博弈，可行分配集中不被任何分配優(yōu)超的分配的全體，稱為該博弈的“核”。事實上，上述博弈的“核”是空集（謝識予，2006），這意味著合作博弈的解對于“三人分300元”這樣的博弈的結(jié)果沒有很好的指導意義。但是在現(xiàn)實生活中，如果三人的地位完全對稱，那么出現(xiàn)每人獲得100元這樣的結(jié)局的可能性非常高。我們可以運用結(jié)構(gòu)化博弈的框架來證明這一點。

聯(lián)盟博弈可以看成三個博弈方之間的兩兩博弈，以博弈方1和2之間的博弈為例，他們之間的博弈可以描述為：

其中，C代表策略“合作”，D代表策略“背叛”。同理，博弈方1和3之間的博弈可以表示為：

博弈方2和3之間的博弈可以表示為：

在博弈G123中，博弈方1的策略空間可以表示為：

同理，博弈方2和3的策略空間可以分別表示為：

因為每個博弈方有4個純策略，所以可能的策略組合就是43=64個，博弈的結(jié)局也就有64種。不過，由于三個博弈方在地位上的對稱性，64種結(jié)局可以歸納為8種。表1列出了這8種結(jié)果的詳細信息，在示意圖中，連線表示相應(yīng)的博弈方之間存在合作關(guān)系，能夠結(jié)成聯(lián)盟，合作關(guān)系需要雙方都采取“合作”的策略才能達成，如果有一方采取“背叛”的策略，合作關(guān)系就不成立，各博弈方的位置和圖1中的位置相同。

表1 聯(lián)盟博弈的八種結(jié)果

在多人博弈中，由于改變結(jié)果往往需要幾個博弈方同時改變自己的策略，因此單純從納什均衡的角度來看，會存在很多納什均衡。以結(jié)果Ⅰ為例，策略組合{(D/G12，D/G13)，(D/G12，D/G23)，(D/G13，D/G23)}就是一個納什均衡，因為如果給定其他人采取“背叛”的策略，任何一個博弈方采取“合作”和“背叛”的策略所得到的收益都是0。同理，另外7種結(jié)果都有相應(yīng)的策略組合是納什均衡。但是，這8個純策略納什均衡的穩(wěn)定程度是不一樣的。以策略組合{(D/G12，D/G13)，(D/G12，D/G23)，(D/G13，D/G23)}為例，盡管在該策略組合中，每個博弈方的策略都是其他博弈方策略的最佳對策，但是根據(jù)“顫抖手原理”，如果其他博弈方的策略發(fā)生微小的變動，即以很小的概率采取“合作”的策略，那么自己采取“合作”的策略就會提高自己的收益。因此，結(jié)果Ⅰ并不是一個穩(wěn)定的均衡局面。結(jié)果Ⅱ?qū)?yīng)的納什均衡是{(C/G12，D/G13)，(C/G12，D/G23)，(D/G13，D/G23)}，結(jié)果Ⅴ對應(yīng)的納什均衡是{(C/G12，C/G13)，(C/G12，D/G23)，(C/G13，D/G23)}，其中結(jié)果Ⅲ和Ⅳ與結(jié)果Ⅱ具有相同的結(jié)構(gòu)，結(jié)果Ⅵ和Ⅶ與結(jié)果Ⅴ具有相同的結(jié)構(gòu)，可以證明，它們所對應(yīng)的納什均衡都非顫抖手均衡。每一個博弈方所期望的最佳結(jié)果都是自己和另外兩個博弈方達成合作，同時這兩個博弈方彼此不能形成合作，因為每個博弈方都如此考慮，所以從結(jié)果Ⅱ到結(jié)果Ⅶ都不是穩(wěn)定的均衡局面。結(jié)果Ⅷ意味著三個博弈方之間都同時采取合作的策略，其對應(yīng)的納什均衡是{(C/G12，C/G13)，(C/G12，C/G23)，(C/G13，C/G23)}，這個策略組合是一個顫抖手均衡，因為對其中任何一個博弈方而言，即使有另外一個博弈方以較小的概率采取“背叛”的策略，自己放棄“合作”的策略只會得到更低的收益，所以每個人都會保持“合作”的策略不變。

根據(jù)以上的分析可以看出，對于三人分300元的經(jīng)典聯(lián)盟博弈，結(jié)構(gòu)化博弈的分析框架能夠給出更多有意義的結(jié)果。按照傳統(tǒng)的合作博弈的分析框架，由于上述博弈的“核”是空集，因此很難預(yù)測其穩(wěn)定的結(jié)果。而根據(jù)結(jié)構(gòu)化博弈的分析，可以得出結(jié)果Ⅷ（即每個博弈方在所有的兩兩博弈中采取“合作”的策略）是一個穩(wěn)定的均衡，因此每個人將獲得100元的收益，這個結(jié)果更加符合社會的直覺。

四、戰(zhàn)爭-同盟博弈

在三人分300元的聯(lián)盟博弈中，各博弈方的地位是對稱的，結(jié)構(gòu)化博弈也可以用來分析地位不對稱的多人博弈。假設(shè)有三個國家，他們之間存在戰(zhàn)爭的可能性，其中國家1是超級大國，國家2是地區(qū)性強國，國家3是小國。國家1和3之間可能形成聯(lián)盟，國家2和3之間可能發(fā)生沖突，國家1和2之間沒有直接的沖突或者同盟的可能性。如果國家1和3不結(jié)成同盟，在國家2和3的沖突中，國家2勝，如果國家1和3結(jié)成同盟，在國家2和3的沖突中，國家3勝。由于地緣政治的原因，如果國家2在沖突中獲勝，國家1也會受到損失，如果國家3在沖突中獲勝，國家1會獲得正的收益。國家2和3也可以懸著保持和平，這樣三個國家都會獲益。向鋼華和王永縣(2006)用不完美信息的三方動態(tài)博弈模型分析了一個包含挑戰(zhàn)者、防御者和干預(yù)者三個不同角色的博弈，根據(jù)初始條件的不同，博弈可能分別出現(xiàn)威懾均衡、挑戰(zhàn)均衡、分離均衡的不同結(jié)果。同樣，我們也可以用結(jié)構(gòu)化博弈模型對這個問題進行分析。

圖2 戰(zhàn)爭同盟博弈示意圖

圖2是一個戰(zhàn)爭同盟博弈的示意圖，國家2和3之間是一個戰(zhàn)爭-和平博弈，兩者都可以選擇“戰(zhàn)爭(W)”或者“和平(P)”。國家1和3之間是一個協(xié)調(diào)博弈，兩者都可以選擇“合作(C)”或者“背叛(D)”，只有當兩者都選擇“合作”的情況下同盟才成立。

由于國家1和2之間沒有直接的博弈關(guān)系，因此在整個結(jié)構(gòu)博弈中，國家1和2的策略空間并沒有發(fā)生變化：

國家3的策略空間可以表示為：

該博弈共有16(2×2×4)種不同的策略組合，但是由于只有國家1和3同時采取合作的情況下才能夠形成同盟，因此博弈的結(jié)果共有8種，如表2所示，結(jié)果Ⅰ到Ⅵ每一種對應(yīng)三個不同的策略組合，結(jié)果Ⅴ到Ⅷ每一種對應(yīng)一個策略組合。為了分析的方便，每種結(jié)果下博弈方的得益給出了具體的數(shù)字。

表2 戰(zhàn)爭同盟博弈的八種結(jié)果

該博弈有四個純策略納什均衡，第一個是結(jié)果Ⅰ所對應(yīng)的策略組合{(D/G13)，(W/G23)，(D/G13，W/G23)}，在這個策略組合中，任何一個博弈方單方面改變自己的策略都不會增加自己的得益。第二個純策略納什均衡是結(jié)果Ⅲ所對應(yīng)的的策略組合{(D/G13)，(W/G23)，(D/G13，P/G23)}，第三個純策略納什均衡是結(jié)果Ⅴ所對應(yīng)的策略組合{(C/G13)，(W/G23)，(C/G13，W/G23)}，第四個純策略納什均衡是結(jié)果Ⅷ所對應(yīng)的的策略組合{(C/G13)，(P/G23)，(C/G13，W/G23)}。表2中的箭頭代表了不同博弈結(jié)果之間的狀態(tài)遷移方向。可以看出，結(jié)果Ⅰ和Ⅲ所對應(yīng)的純策略納什均衡并不是一個穩(wěn)定的均衡，而結(jié)果Ⅴ和Ⅷ所對應(yīng)的純策略納什均衡是穩(wěn)定的均衡。在這兩個穩(wěn)定的結(jié)果中，國家1和3都選擇了相互“合作”，結(jié)成同盟，而且國家3都選擇了“戰(zhàn)爭”。

五、結(jié)論與思考

結(jié)構(gòu)化博弈是一種多人非對稱博弈，在這種博弈中，參與方兩兩之間會形成特定的博弈關(guān)系，整個結(jié)構(gòu)化博弈的均衡解必須建立在博弈方之間兩兩博弈的結(jié)果之上。與合作博弈(Cooperative Game Theory)、網(wǎng)絡(luò)博弈(Network Games)、進化圖論(Evolutionary Graph Theory，EGT)、計算博弈論(Comptational Game Theory)相比，結(jié)構(gòu)化博弈既有和它們相似的地方，也有非常重要的差別。結(jié)構(gòu)化博弈更適合用來分析政治問題和社會現(xiàn)象中的多人博弈局面。

結(jié)構(gòu)化博弈的均衡結(jié)果對于博弈的結(jié)構(gòu)非常敏感。最簡單的結(jié)構(gòu)化博弈是三人結(jié)構(gòu)化博弈，通過對每個博弈方的策略集進行擴展，可以非常方便地對該結(jié)構(gòu)化博弈進行一般性的描述。按照同樣的方法，我們也可以對四人、五人結(jié)構(gòu)化博弈進行一般化描述。當然，隨著博弈方數(shù)量的增加，兩兩博弈的結(jié)果更加難以預(yù)測，而且每一個博弈方的策略數(shù)量也會大幅增加，這會給均衡分析帶來一定的困難。

分析框架的生命力在于其分析過程是否更合乎邏輯，能否給出更加符合實際的結(jié)論。首先，我們把結(jié)構(gòu)化博弈用來分析經(jīng)典的聯(lián)盟博弈（三人分300元博弈），我們發(fā)現(xiàn)，相對于合作博弈的空集解，結(jié)構(gòu)化博弈能夠發(fā)現(xiàn)更多的均衡結(jié)果，并且能夠證明三人均分是一個穩(wěn)定的均衡解，這個解更加符合人們的行為特征。其次，我們還運用結(jié)構(gòu)化博弈的框架來分析三個國家之間的戰(zhàn)爭與結(jié)盟問題。對這個問題的傳統(tǒng)分析是運用動態(tài)非完美信息博弈的框架，能夠得出威懾均衡、挑戰(zhàn)均衡、分離均衡等三種不同的可能性，而我們根據(jù)結(jié)構(gòu)化博弈則能給出更加具體的均衡結(jié)果，即存在兩個穩(wěn)定的均衡狀態(tài)，其中一個穩(wěn)定均衡狀態(tài)是：國家1（超級大國）和國家3（小國）結(jié)盟，國家2（地區(qū)大國）和國家3選擇戰(zhàn)爭，另一個穩(wěn)定均衡狀態(tài)是國家1（超級大國）和國家3（小國）結(jié)盟，國家2（地區(qū)大國）選擇和平，國家3選擇戰(zhàn)爭。在這兩個穩(wěn)定的均衡解中，國家1（超級大國）和國家3（小國）總是選擇結(jié)盟，國家3（小國）總是選擇和國家2（地區(qū)大國）戰(zhàn)爭。這個結(jié)論也比較符合國際關(guān)系中的實際。

以上只是結(jié)構(gòu)化博弈分析框架在比較簡單的問題中的應(yīng)用。實際上，我們在政治、經(jīng)濟、社會領(lǐng)域中碰到的大量問題都符合結(jié)構(gòu)化博弈的特征，可以預(yù)期，如果通過結(jié)構(gòu)化博弈對這些復雜的問題進行分析，將會大大加深我們對于人類行為和社會的理解。

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