張 鐵 戴孝亮 杜 亮

(華南理工大學 機械與汽車工程學院，廣州510640)

由于加工制造和裝配，機器人的實際運動學偏離控制器中的名義運動學，導致機器人末端定位精度不足，通常需要建立運動學標定模型，識別實際運動學參數(shù)以提高定位精度.機器人運動學標定方法包括軸線測量法[1]和誤差模型法[2].軸線測量法是由關節(jié)軸線特征辨識實際運動學參數(shù)[1];誤差模型則是建立了關節(jié)參數(shù)誤差同機器人末端誤差的線性解析關系.

對于誤差模型法，模型應滿足完整性、連續(xù)性和最小化[3].模型中存在的冗余參數(shù)導致模型奇異，使模型不滿足連續(xù)性和最小化，降低了參數(shù)辨識的有效性.首先需要選用合適的運動學模型.DH模型是最常見的機器人運動學形式，但描述平行關節(jié)時存在奇異.為消除DH模型的奇異，國內外提出了很多運動學模型包括:修正DH模型[4－5]、MCPC(Modified Complete and Parametrically Continuous)模型[6]、指數(shù)積模型[7]等.

消除模型中冗余參數(shù)的方法包括解析法和數(shù)值法:①解析法從理論上分析參數(shù)的一般關系.文獻[8]驗證了標定模型的可辨識參數(shù)應為4R+2P+6個，其中，R為旋轉關節(jié)數(shù)，P為移動關節(jié)數(shù).文獻[9]對每個關節(jié)設定6個參數(shù)，推導出連桿參數(shù)誤差之間的冗余關系式，指出測量位置而忽略姿態(tài)時的可辨識參數(shù)降為4R+2P+3個，當末端關節(jié)的連桿長度和連桿距離為零時，會進一步減少參數(shù)可辨識的個數(shù).②數(shù)值法是在特定的模型和關節(jié)位形下，處理雅可比矩陣，有QR(Orthogonal－triangular decomposition)分解法[10]、奇異值分解后的正交陣進行初等行變換的方法[11]等，來消除冗余參數(shù).

本文建立了關節(jié)連桿參數(shù)誤差同機器人末端距離平方差的誤差模型，分析了模型的冗余參數(shù)關系式及其物理解釋，確定可辨識參數(shù)個數(shù)后獲得了參數(shù)完整的非奇異模型，迭代的最小二乘法用于辨識參數(shù).最后，使用激光跟蹤儀，對某公司的6R(旋轉關節(jié))工業(yè)機器人進行了標定實驗.

1 基于距離平方差的標定模型

1.1 機器人運動學

考慮到平行關節(jié)軸線的微小偏移引起連桿距離di的極大變化，采用修正DH模型[4]描述機器人運動學.五參數(shù)的修正DH模型包括關節(jié)角度θi、連桿距離di、連桿長度ai、繞X軸的扭角αi和繞Y軸的扭角βi，相鄰兩關節(jié)的齊次變換矩陣為

其中，i=0～N，N為機器人自由度;當相鄰關節(jié)平行或近似平行時，di≡0;當相鄰關節(jié)不平行時，βi≡0.

當機器人末端法蘭盤上安裝末端執(zhí)行器，運動學上需增加工具坐標系{T}，采用六參數(shù){tx，ty，tz，tα，tβ，tγ}描述末端關節(jié)坐標系到{T}的變換:

其中tx，ty，tz，tα，tβ和tγ分別表示沿X，Y和Z軸的移動量及繞各軸的旋轉量;Ttrans(tx，ty，tz)為沿X，Y，Z軸平移tx，ty，tz對應的齊次變換矩陣;Trot(J，ζ)為繞J軸旋轉ζ角對應的齊次變換矩陣(J=X，Y，Z;ζ=α，β，γ).

如圖1，對于N自由度的機器人，正運動學為

其中，R為位姿T的姿態(tài)矩陣;p為位姿T的位置向量;A0為機器人基坐標系{B}相對世界坐標系{W}的齊次變換矩陣，當選取的{W}同{B}重合時，可以去掉A0.

當僅取T的位置部分p，用簡化形式表示為

其中，關節(jié)角度θ=(θ1，θ2，…，θN)T;關節(jié)參數(shù)向量η=(γ0，d0，a0，α0，…，γi，di，ai，αi，βi，…，tx，ty，tz，tα，tβ，tγ)T，γi為θi處于零位時的關節(jié)角度值;函數(shù)f為正運動學位置部分的簡化形式.某軌跡第j個位形的位置向量表示為pj=(px，j，py，j，pz，j)T.

圖1 連桿坐標系示意圖

1.2 標定模型

式(4)兩邊對η取一階導，得到

其中，Δp為機器人末端位置誤差向量;Δη為關節(jié)參數(shù)誤差向量;B為相對基坐標系的擴展雅可比.

在任意坐標系中，描述某軌跡第j個位形和第j+1個位形的末端之間距離為

上式兩邊對p取一階導，有

將式(5)代入式(7)，得到

式(8)中，Δη為待辨識的未知量，其余量均可計算得到.當某次測量M個位形的位置，每相鄰兩點可以得到一個式(8)，共M－1個式子，當M－1大于η參數(shù)的個數(shù)，聯(lián)立方程組，得到線性方程組:

其中

式(9)為辨識方程，反映了關節(jié)參數(shù)誤差到機器人末端距離平方差的誤差傳遞關系.求解式(9)的線性方程組，即可辨識關節(jié)參數(shù)誤差Δη.

2 參數(shù)辨識

2.1 冗余參數(shù)的消除

為使模型滿足完整非奇異，必須對Δη包含的參數(shù)進行選取.如圖2，可以將Δη中的參數(shù)劃分為3類:①獨立參數(shù)，表現(xiàn)為對應H矩陣的列與其他列不相關;②相關參數(shù)，表現(xiàn)為對應H矩陣的列成絕對的線性關系;③不起作用參數(shù)，即對末端誤差無影響，表現(xiàn)為對應H矩陣的列全為零.

圖2 消除冗余參數(shù)示意圖

冗余參數(shù)包含了第3類參數(shù)和第2類的部分參數(shù)，消除這2類冗余參數(shù)如下:①H矩陣的列全為零的情況，該項誤差對模型的建模誤差無影響，應當直接剔除.②H矩陣的列絕對線性相關的情況，設有I個參數(shù)，對應的辨識方程的列有K個線性等式，剔除其中的K個參數(shù)，剩余的I－K個參數(shù)如果不再含有線性等式，剩余參數(shù)獨立，為可辨識參數(shù).

對于兩參數(shù)相關的特殊情況描述如下:假設某兩個參數(shù)Δηm和Δηn對應辨識方程的列成比例Hm=λHn，其中λ為比例常數(shù).該二項誤差對機器人末端誤差聯(lián)合作用效果為HmΔηm+HnΔηn=λHnΔηm+HnΔηn=Hn(λΔηm+Δηn)，可以令Δη*n=λΔηm+Δηn.實際上，模型只能辨識參數(shù)Δη*n，而無法辨識單獨的參數(shù)Δηm或Δηn.將辨識得到的參數(shù)Δη*n賦給Δηn，而忽略Δηm.該做法等價于將Δηm和對應的列Hm刪除.

2.2 距離平方差模型的可辨識參數(shù)

參照文獻[12]，Bd1和 Bγ1的求解如下式:

左乘S和右乘κ代表提取矩陣第4列的前3個數(shù).按照式(10)，使用字符運算方法，總存在下式:

將上式代入式(8)，得到Δd1和Δγ1對應Hj向量中的兩元素 Hj，d1和 Hj，γ1為 0 ，故總存在

式(13)顯示，Δd1和Δγ1對末端距離平方差沒有貢獻，為冗余參數(shù)，應當從標定模型中剔除.如圖3，參數(shù)d1和γ1同基坐標系的選取有關.相對于位置測量模型，距離測量模型省去了測量坐標系{C}到{B}的變換[13]，模型中不需要A0，Δd1和Δγ1.

圖3 基坐標系的選定影響參數(shù)d1和γ1值

相鄰關節(jié)軸線平行時的情況如圖4所示.對于關節(jié)i和關節(jié)i+1平行時，同一結構的連桿關節(jié)，di和di+1對連桿坐標系的影響是一致的，兩參數(shù)相關，如式(14).其中一個參數(shù)多余，可剔除di，保留di+1.這就是文獻[4]中平行關節(jié)引入?yún)?shù)βi時，應去掉di.

文獻[9]指出當aN=0(運動學模型與本文有區(qū)別，等價于本文aN=tx=ty=0且αN=0情況)且末關節(jié)為旋轉關節(jié)時，模型將減少2個可辨識參數(shù).故在設計末端執(zhí)行器時，測量點應偏離末端關節(jié)軸線，否則將存在下式:

圖4 平行關節(jié)參數(shù)di和di+1的相關性

對于工具坐標系參數(shù)，AT六參數(shù)和AN四參數(shù)相關，需剔除AN參數(shù).對于位置測量和距離測量模型，AT中只能辨識3個位置參數(shù)tx，ty和tz.按照式(13)～式(14)的冗余關系式，將冗余參數(shù)剔除，得到非奇異的模型，模型可辨識參數(shù)見表1.

表1 距離測量模型的可辨識參數(shù)

2.3 辨 識

采用迭代的最小二乘法[7]求解式(9)的線性方程組:

當H的秩rank(H)等于Δη的參數(shù)個數(shù)時，HTH非奇異，是式(16)計算的前提.當Δη＜ε時，停止迭代并輸出結果，其中，ε為一個很小的數(shù)，如10－5.用Δη＜ε作為終止條件，判斷辨識過程是否趨于穩(wěn)定.

3 測量與補償實驗

使用激光跟蹤儀，應用距離平方差的標定模型，對某公司的6R工業(yè)機器人進行標定見圖5.

圖5 實驗現(xiàn)場

所使用的激光跟蹤儀測量系統(tǒng)為德國萊卡公司的Leica AT901－B，對于2.5 m×5 m×10 m空間的測量精度為±10 μm+5 μm/m.該測量系統(tǒng)包括絕對跟蹤儀、控制器、安裝有Polyworks V11軟件的應用計算機、反射球和球座.

末端執(zhí)行器安裝于機器人末端法蘭盤上，末端執(zhí)行器上的強磁鐵將球座吸引，反射球置于球座上，被球座上的強磁鐵吸引.在設計末端執(zhí)行器結構時，反射球的球心點作為目標測量點，應偏離末關節(jié)軸線一定距離，以保證A5參數(shù)的可辨識.

對于6R機器人，可辨識參數(shù)的個數(shù)應為4R－3=21個，包括18個機器人本體參數(shù)和3個工具參數(shù).冗余參數(shù)包括:對末端誤差無貢獻，或者可將對末端貢獻的誤差轉移到可辨識參數(shù)上.故令模型中所有冗余參數(shù)值為零，包括γ1，d1，d2，γ6，d6，a6，α6，tα，tβ，tγ.如圖6所示.連桿坐標系存在以下關系:①由于γ6，d6，a6和α6為零，當θ6為零時，連桿5固連的坐標系O5X5Y5Z5與連桿6固連的坐標系O6X6Y6Z6絕對重合;②tα，tβ，tγ為零，坐標系O6X6Y6Z6與工具坐標系{T}平行.

圖6 末端坐標系示意圖

工具參數(shù)的初值需要事先測定.①單獨旋轉關節(jié)5而令其余關節(jié)處于零位，末端測量點形成一圓軌跡，根據(jù)圓軌跡獲得關節(jié)5的軸線;同理，獲得關節(jié)6的軸線.提取關節(jié)5和關節(jié)6的公垂線，以關節(jié)6軸線為Z5軸，公垂線為X5軸，關節(jié)6軸線與公垂線的交點為原點O5，建立坐標系O5X5Y5Z5.②當θ6為零時，O5X5Y5Z5與O6X6Y6Z6重合，此時以O5X5Y5Z5為參考坐標系，將目標測量點的三維坐標作為(tx，ty，tz)的初值.該過程可以在軟件Polyworks中完成.

示教機器人位形，編制機器人運動程序:示教點盡量充滿整個工作空間，且末端反射球朝向激光跟蹤儀;保存示教數(shù)據(jù)后，編制機器人運動程序，機器人每運動到一個位形，機器人暫停3 s，激光跟蹤儀自動觸發(fā)采集反射球中心的三維坐標值;將位形的測量坐標數(shù)據(jù)和控制器中示教關節(jié)數(shù)據(jù)分別通過USB接口輸出.

實驗共采集了2批數(shù)據(jù):第1批包含70組位形的數(shù)據(jù)，用于辨識運動學參數(shù);第2批包含32組位形的數(shù)據(jù)，用于檢驗新運動學參數(shù)對精度的改善.測量數(shù)據(jù)的空間位置分布如圖7所示.

圖7 測量點的空間位置分布圖

如圖8所示，由70組位形數(shù)據(jù)計算運動學參數(shù)，經過1次迭代，32組檢驗位形的距離誤差均方根由3.172 mm下降到0.220 mm，經過第2～3次迭代，距離誤差有微量的減少，說明:迭代已趨于穩(wěn)定，且實際模型的線性度很高.經過3次迭代，辨識得到的新運動學參數(shù)如表2～表3所示，校正前后32組檢驗點距離誤差對比如圖9所示，表4顯示檢驗點距離誤差的均方根減少了93.1%，機器人的定位精度得到顯著提高.

圖8 檢驗點距離誤差均方根隨迭代次數(shù)的變化

表2 工具參數(shù)標定前后值 mm

表3 辨識得到的運動學參數(shù)

圖9 檢驗點校正前后誤差對比圖

表4 檢驗點距離誤差統(tǒng)計量 mm

4 結論

1)使用相對基坐標系的雅可比矩陣，建立關節(jié)參數(shù)誤差到機器人末端距離平方差的標定模型，為距離測量的一種形式，不需要測量坐標系到機器人基坐標系的轉換，簡化了測量過程.

2)從冗余關系式和物理解釋的角度，分析了距離平方差模型的冗余參數(shù)，確定可辨識參數(shù)，獲得參數(shù)完整的非奇異模型，提高了辨識可靠性，為距離測量模型的參數(shù)選定提供了依據(jù).

3)實驗中，為保證倒數(shù)第2關節(jié)參數(shù)的可辨識，設計末端執(zhí)行器時，測量點應偏離末端關節(jié)的軸線一定距離.實驗結果顯示機器人誤差減少了93.1%.

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