袁晶

摘要 利用數學結構思想指導學生進行數學解題，從結構和本質上認識數學，通過聯想、感知和分析數學結構，提高學生對知識的系統掌握，領悟數學思想方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞數學結構思想數學結構解題教學

一、 問題的提出

解題教學是數學教學過程中的一個重要組成部分。在平時的教學過程中，我們經常發(fā)現學生在解題時不能準確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時更換思維策略，不知所措， 從而導致學生數學學習上的困難。

例1P是函數y=f（x）圖象上的點，Q是函數y=g（x）圖象上的點，且P，Q兩點之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個定義，求函數f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個突破點：

（1） y=f（x）是一個冪函數，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點P到定圓上點Q的距離，要轉化為點P到圓心的距離，第二個突破點是解題的難點。

其實，解決例1時，我們若是能聯想到結構相近的另一類問題，解題就會有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最小距離。

對于引例，教師應指導學生抓?。貉芯繄A上的動點到某直線的距離，可以借助定點圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實施 從“動”到“定”的轉化。而結合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點P為動點，故要設點P的坐標，表示出點P到圓心的距離，進而借助函數解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數學結構思想對解題的幫助。教師平時的解題教學中，應引導學生通過解題，理解和分析題中數學結構和知識特征，使得學生積累并掌握一定的數學知識結構和數學模型，進而用動態(tài)思維做到問題的轉化和知識的創(chuàng)新。

二、 數學結構思想

結構思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現代教育理論，法國布爾巴基學派認為數學的發(fā)展是各種結構的建立和發(fā)展，建立了數學結構思想學說，探討諸多數學結構間的統一性。

數學結構通常分為兩大類：純數學結構和一般數學結構。純數學結構從宏觀上提出“結構”指代數結構、拓撲結構、順序結構等；另一類為一般數學結構，即為了實現數學的教育功能而強調的數學知識間的廣泛關聯性，在此前提下提出的一些數學結構。如與數的知識有關的復數的分類結構、方程或方程組的同解變換結構、數學應用上的各式各樣的數學模型結構、解題或證明的程序結構等等。數學結構思想的核心是“結構”。數學結構思想提出通過研究數學表面上的差異，探索數學知識間聯系和一致性的方法和觀點，對數學本質進行再認識與再處理。

可見，運用數學結構思想實施數學解題教學，可以幫助學生形成完整的數學結構體系，提高學生掌握數學知識的效率。在解題教學中滲透數學思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數學結構思想在解題教學中的運用和實踐

1. 聯想數學結構，尋找知識聯系，實現問題轉化

注重數學結構思想的運用，有助于學生整體性數學思維水平的提高。數學結構思想的內涵是探索知識能力間的結構聯系，以此為指導開展解題教學，使學生高層次地抓住問題本質。

如例題1，解題教學過程中，教師運用引例，借助變式訓練，指導學生通過提取已有的數學結構，明確知識間的區(qū)別和聯系，進一步提升和轉化已有的知識結構，進行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數學結構，識別知識特征，形成數學體系

理解和掌握數學結構思想有助于學生建立良好的數學認知結構。一道題目中，一個已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學過程中，適當引導學生，感知題目中的數學結構，識別各種結構具有的知識特征，進而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對角”的結構特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個數”的知識，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結構特征，想到“用余弦定理表示角”的知識，設AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結構特征，想到“借助作三角形圖，觀察動角C的變化”的知識，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點A的軌跡，進而確定角C的變化，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學生審題過程中會出現多種思想火花，教師在數學結構思想的指導下，不要隨意否定學生，應該讓學生通過一題多解積累多種數學知識結構，形成系統知識體系。

3. 分析數學結構，合情歸納推理，達成目標簡化

解題時，學生有時不能很快明確其中的突破點，教師在數學結構思想觀下，引導學生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進一步地分析其中的知識結構，建立恰當的數學模型，以達成目標的簡化。

例3（江蘇省揚州中學2013—2014學年第一學期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點A起跳，每步從一頂點跳到相鄰的頂點.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據解題過程中（1）的數學結構，借助歸類進一步認識結構，實際是分步計數原理的應用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對結構從特殊到一般的認識，從而應用結構，對相似結構處理方法和過程等進行合理遷移。

四、 結論

基于數學結構思想的數學解題教學，不單是教會學生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學方式，讓學生領悟各種數學結構，體會蘊含的數學思想。培養(yǎng)學生利用已有的數學知識結構和模型，加深鞏固所學的公式、概念和定理等，引導學生尋找知識聯系，識別知識特征，合情歸納推理，提高解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]孫曉天.數學結構主義的思想與方法及其影響[J].東北師大學報自然科學版.1988（4）：25～29

[2]張奠宙，李士錡，李俊.數學教育學導論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數學結構思想及其在數學教學中的運用[J].遼寧教育行政學院學報.2006（12）：125

[4] 沈良.略談數學結構觀下的解題與教學[J].數學通訊.2012（12）：1

（江蘇省無錫市第六高級中學）endprint

摘要 利用數學結構思想指導學生進行數學解題，從結構和本質上認識數學，通過聯想、感知和分析數學結構，提高學生對知識的系統掌握，領悟數學思想方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞數學結構思想數學結構解題教學

一、 問題的提出

解題教學是數學教學過程中的一個重要組成部分。在平時的教學過程中，我們經常發(fā)現學生在解題時不能準確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時更換思維策略，不知所措， 從而導致學生數學學習上的困難。

例1P是函數y=f（x）圖象上的點，Q是函數y=g（x）圖象上的點，且P，Q兩點之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個定義，求函數f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個突破點：

（1） y=f（x）是一個冪函數，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點P到定圓上點Q的距離，要轉化為點P到圓心的距離，第二個突破點是解題的難點。

其實，解決例1時，我們若是能聯想到結構相近的另一類問題，解題就會有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最小距離。

對于引例，教師應指導學生抓?。貉芯繄A上的動點到某直線的距離，可以借助定點圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實施 從“動”到“定”的轉化。而結合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點P為動點，故要設點P的坐標，表示出點P到圓心的距離，進而借助函數解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數學結構思想對解題的幫助。教師平時的解題教學中，應引導學生通過解題，理解和分析題中數學結構和知識特征，使得學生積累并掌握一定的數學知識結構和數學模型，進而用動態(tài)思維做到問題的轉化和知識的創(chuàng)新。

二、 數學結構思想

結構思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現代教育理論，法國布爾巴基學派認為數學的發(fā)展是各種結構的建立和發(fā)展，建立了數學結構思想學說，探討諸多數學結構間的統一性。

數學結構通常分為兩大類：純數學結構和一般數學結構。純數學結構從宏觀上提出“結構”指代數結構、拓撲結構、順序結構等；另一類為一般數學結構，即為了實現數學的教育功能而強調的數學知識間的廣泛關聯性，在此前提下提出的一些數學結構。如與數的知識有關的復數的分類結構、方程或方程組的同解變換結構、數學應用上的各式各樣的數學模型結構、解題或證明的程序結構等等。數學結構思想的核心是“結構”。數學結構思想提出通過研究數學表面上的差異，探索數學知識間聯系和一致性的方法和觀點，對數學本質進行再認識與再處理。

可見，運用數學結構思想實施數學解題教學，可以幫助學生形成完整的數學結構體系，提高學生掌握數學知識的效率。在解題教學中滲透數學思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數學結構思想在解題教學中的運用和實踐

1. 聯想數學結構，尋找知識聯系，實現問題轉化

注重數學結構思想的運用，有助于學生整體性數學思維水平的提高。數學結構思想的內涵是探索知識能力間的結構聯系，以此為指導開展解題教學，使學生高層次地抓住問題本質。

如例題1，解題教學過程中，教師運用引例，借助變式訓練，指導學生通過提取已有的數學結構，明確知識間的區(qū)別和聯系，進一步提升和轉化已有的知識結構，進行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數學結構，識別知識特征，形成數學體系

理解和掌握數學結構思想有助于學生建立良好的數學認知結構。一道題目中，一個已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學過程中，適當引導學生，感知題目中的數學結構，識別各種結構具有的知識特征，進而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對角”的結構特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個數”的知識，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結構特征，想到“用余弦定理表示角”的知識，設AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結構特征，想到“借助作三角形圖，觀察動角C的變化”的知識，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點A的軌跡，進而確定角C的變化，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學生審題過程中會出現多種思想火花，教師在數學結構思想的指導下，不要隨意否定學生，應該讓學生通過一題多解積累多種數學知識結構，形成系統知識體系。

3. 分析數學結構，合情歸納推理，達成目標簡化

解題時，學生有時不能很快明確其中的突破點，教師在數學結構思想觀下，引導學生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進一步地分析其中的知識結構，建立恰當的數學模型，以達成目標的簡化。

例3（江蘇省揚州中學2013—2014學年第一學期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點A起跳，每步從一頂點跳到相鄰的頂點.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據解題過程中（1）的數學結構，借助歸類進一步認識結構，實際是分步計數原理的應用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對結構從特殊到一般的認識，從而應用結構，對相似結構處理方法和過程等進行合理遷移。

四、 結論

基于數學結構思想的數學解題教學，不單是教會學生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學方式，讓學生領悟各種數學結構，體會蘊含的數學思想。培養(yǎng)學生利用已有的數學知識結構和模型，加深鞏固所學的公式、概念和定理等，引導學生尋找知識聯系，識別知識特征，合情歸納推理，提高解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]孫曉天.數學結構主義的思想與方法及其影響[J].東北師大學報自然科學版.1988（4）：25～29

[2]張奠宙，李士錡，李俊.數學教育學導論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數學結構思想及其在數學教學中的運用[J].遼寧教育行政學院學報.2006（12）：125

[4] 沈良.略談數學結構觀下的解題與教學[J].數學通訊.2012（12）：1

（江蘇省無錫市第六高級中學）endprint

摘要 利用數學結構思想指導學生進行數學解題，從結構和本質上認識數學，通過聯想、感知和分析數學結構，提高學生對知識的系統掌握，領悟數學思想方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力。

關鍵詞數學結構思想數學結構解題教學

一、 問題的提出

解題教學是數學教學過程中的一個重要組成部分。在平時的教學過程中，我們經常發(fā)現學生在解題時不能準確提取題目中的有用信息，無從下手，或者不能及時更換思維策略，不知所措， 從而導致學生數學學習上的困難。

例1P是函數y=f（x）圖象上的點，Q是函數y=g（x）圖象上的點，且P，Q兩點之間的距離PQ能取到最小值d，那么將d稱為函數y=f（x）與y=g（x）之間的距離。按這個定義，求函數f（x）=x12和g（x）=-x2+4x-3之間的距離。

此題選自2013年上海浦東新區(qū)二模試題卷。解決這道題有兩個突破點：

（1） y=f（x）是一個冪函數，圖象就是拋物線y2=x在第一象限的曲線；y=g（x）是圓（x-2）2+y2=1在第一象限的半圓曲線；（2）點P到定圓上點Q的距離，要轉化為點P到圓心的距離，第二個突破點是解題的難點。

其實，解決例1時，我們若是能聯想到結構相近的另一類問題，解題就會有所突破。如

引例：求圓x2+y2-4x-4y-10=0上的點到直線x+y-14=0的最小距離。

對于引例，教師應指導學生抓?。貉芯繄A上的動點到某直線的距離，可以借助定點圓心到該直線的距離的探究。利用圓的特征，實施 從“動”到“定”的轉化。而結合引例，再來分析例1，區(qū)別在于y=f（x）的圖象不是直線，且點P為動點，故要設點P的坐標，表示出點P到圓心的距離，進而借助函數解決問題。

從以上解題分析我們能感受到數學結構思想對解題的幫助。教師平時的解題教學中，應引導學生通過解題，理解和分析題中數學結構和知識特征，使得學生積累并掌握一定的數學知識結構和數學模型，進而用動態(tài)思維做到問題的轉化和知識的創(chuàng)新。

二、 數學結構思想

結構思想是皮亞杰等發(fā)展起來的現代教育理論，法國布爾巴基學派認為數學的發(fā)展是各種結構的建立和發(fā)展，建立了數學結構思想學說，探討諸多數學結構間的統一性。

數學結構通常分為兩大類：純數學結構和一般數學結構。純數學結構從宏觀上提出“結構”指代數結構、拓撲結構、順序結構等；另一類為一般數學結構，即為了實現數學的教育功能而強調的數學知識間的廣泛關聯性，在此前提下提出的一些數學結構。如與數的知識有關的復數的分類結構、方程或方程組的同解變換結構、數學應用上的各式各樣的數學模型結構、解題或證明的程序結構等等。數學結構思想的核心是“結構”。數學結構思想提出通過研究數學表面上的差異，探索數學知識間聯系和一致性的方法和觀點，對數學本質進行再認識與再處理。

可見，運用數學結構思想實施數學解題教學，可以幫助學生形成完整的數學結構體系，提高學生掌握數學知識的效率。在解題教學中滲透數學思想方法，通過解題提高他們分析、解決問題的能力。

三、 數學結構思想在解題教學中的運用和實踐

1. 聯想數學結構，尋找知識聯系，實現問題轉化

注重數學結構思想的運用，有助于學生整體性數學思維水平的提高。數學結構思想的內涵是探索知識能力間的結構聯系，以此為指導開展解題教學，使學生高層次地抓住問題本質。

如例題1，解題教學過程中，教師運用引例，借助變式訓練，指導學生通過提取已有的數學結構，明確知識間的區(qū)別和聯系，進一步提升和轉化已有的知識結構，進行創(chuàng)造性思維，找到解決問題的方法。

2. 感知數學結構，識別知識特征，形成數學體系

理解和掌握數學結構思想有助于學生建立良好的數學認知結構。一道題目中，一個已知條件可以有幾種不同的考慮角度，教師在解題教學過程中，適當引導學生，感知題目中的數學結構，識別各種結構具有的知識特征，進而選擇合理的解決方法。

例2已知△ABC中，AB=1，BC=2，求角C的取值范圍。

解析：

方法一：感知“兩邊一對角”的結構特征，想到“用正弦定理判斷三角形解的個數”的知識，借助圖形有1≥2sinC，得到sinC≤12，再結合C∈（0，π），得C∈0，π6。

方法二：感知“兩邊和一角”的結構特征，想到“用余弦定理表示角”的知識，設AC=x，借助余弦定理表示出cosC=x2+4-14x=x2+34x=x4+34x，結合x的范圍利用基本不等式，得cosC≥32，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

方法三：感知“三角形中，已知的邊AB∩BC=B”的結構特征，想到“借助作三角形圖，觀察動角C的變化”的知識，先確定邊BC，再以B為圓心，1為半徑作圓，畫出頂點A的軌跡，進而確定角C的變化，再結合C∈0，π，得C∈0，π6。

可見，學生審題過程中會出現多種思想火花，教師在數學結構思想的指導下，不要隨意否定學生，應該讓學生通過一題多解積累多種數學知識結構，形成系統知識體系。

3. 分析數學結構，合情歸納推理，達成目標簡化

解題時，學生有時不能很快明確其中的突破點，教師在數學結構思想觀下，引導學生合情推理，通過特殊到一般、類比歸納等方式，重新明確問題，進一步地分析其中的知識結構，建立恰當的數學模型，以達成目標的簡化。

例3（江蘇省揚州中學2013—2014學年第一學期月考23題）

電子蛙跳游戲是： 青蛙第一步從如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1頂點A起跳，每步從一頂點跳到相鄰的頂點.

同理，可以得到P（X=0）=4981。

根據解題過程中（1）的數學結構，借助歸類進一步認識結構，實際是分步計數原理的應用。利用樹形圖，合情推理和猜想，對結構從特殊到一般的認識，從而應用結構，對相似結構處理方法和過程等進行合理遷移。

四、 結論

基于數學結構思想的數學解題教學，不單是教會學生解決某一道題，也不是提倡“形式主義”，而是要通過解題，借助變式、一題多解等教學方式，讓學生領悟各種數學結構，體會蘊含的數學思想。培養(yǎng)學生利用已有的數學知識結構和模型，加深鞏固所學的公式、概念和定理等，引導學生尋找知識聯系，識別知識特征，合情歸納推理，提高解決數學問題的能力。

參考文獻：

[1]孫曉天.數學結構主義的思想與方法及其影響[J].東北師大學報自然科學版.1988（4）：25～29

[2]張奠宙，李士錡，李俊.數學教育學導論[M].高等教育出版社，2003

[3]張宏斌.試述數學結構思想及其在數學教學中的運用[J].遼寧教育行政學院學報.2006（12）：125

[4] 沈良.略談數學結構觀下的解題與教學[J].數學通訊.2012（12）：1

（江蘇省無錫市第六高級中學）endprint