黃敏，黃朝炎

（1．中南財經(jīng)政法大學武漢學院信息系，湖北 武 漢430079；2．湖北大學數(shù)學與統(tǒng)計學學院，湖北 武 漢430062）

0 引言

現(xiàn)代證券組合理論（modern portfolio theory）是關(guān)于在收益不確定條件下投資行為的理論，它是由美國經(jīng)濟學家Harry Markowits在20世紀50年代提出來的．文獻［1－2］研究了市場不允許賣空及市場為獨立情形下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題．但是，實際的經(jīng)濟生活中證券市場存在大量的賣空操作，市場也通常不獨立，因此對市場不獨立情形的研究無疑是非常重要的．本文中研究了允許賣空的離散時間金融市場，從無風險控制和有風險控制兩個方面探討允許賣空的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合投資問題，當市場滿足一類負相依隨機變量序列條件下，得到關(guān)于log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的一些性質(zhì)．

1 無風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的性質(zhì)

先考慮單周期情形．設(shè)（Ω，F(xiàn)，P）是其構(gòu)成的概率空間，其中Ω表示證券收益所有可能狀態(tài)．記ω＝（ω1，ω2，…，ωm）T為資產(chǎn)組合向量．這里ωi，i＝1，2，…，m 可以大于等于0也可以小于0．在文獻［1］中，假設(shè)ωi≥0，不允許賣空，但現(xiàn)實的證券市場中賣空的操作大量存在，所以考慮ωi＜0，即表明允許賣空的情形．

記X＝（X1，X2，…，Xm）T為收益向量，T表示轉(zhuǎn)置，其中Xi表示把單位資金投資于第i種證券，經(jīng)一定時間后得到的收益．X 的聯(lián)合分布函數(shù)記為F（x）．記B＝｛ω∈Rm｜eTω＝1，ωTX＞0，e＝（1，1，…，1）T｝為全體資產(chǎn)組合向量集．對數(shù)是一種常用效用函數(shù)，在多周期情形中為了在數(shù)學上便于處理，我們對累計資金ωTX 求 取對數(shù)，令為倍率函數(shù)．投資者是厭惡風險者，所以投資者目標是使倍率函數(shù)W（ω，X）達到最大值，稱）為最優(yōu)倍率函數(shù)．對于單周期允許賣空的市場，最優(yōu)倍率函數(shù)有如下性質(zhì)．

引理1［1］對于給定的ω，W（ω，X）是F（x）的線性函數(shù)．對于給定的F（x），W（ω，X）是ω的凹函數(shù)．

W＊（X）是F（x）的凸函數(shù)．

引理2［2］使倍率函數(shù)W（ω，X）達到最大的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合ω＊冰滿足條件

再考慮多周期情形．由于投資者實際上是連續(xù)投資，設(shè)n為一個有限時間，所有到n時刻為止的市場不確定性形成概率空間（Ω，F(xiàn)，P），并在其上形成一個σ－域流Fk，F(xiàn)k＝σ（Xi，i≤k），且F1?F2?…?Fn?F．

令ω＝（ω ，ω ，…，ω ）T為投資者第i個周期的資產(chǎn)組合向量．X＝（X，X，…，X）T為收益向量，則到第幾個周期末投資者擁有的資金累計為），相應(yīng)的log－收益為為第i個周期的log－收益，即記為第i個周期達到的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合即

引理3［3］設(shè)｛Xn，n≥1｝是隨機變量序列，｛an，n≥1｝是正實數(shù)列且an↑∞（n→∞）．若其滿足下列條件

則強大數(shù)定律

成立．

定理1 設(shè)｛Xn，n≥1｝為市場收益向量序列，記為第i個周期的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…，則

定理1的證明 由條件知

又

定理2 設(shè)｛Xn，n≥1｝為收益向量序列，記）為第i個周期達到log－最優(yōu)組合投資的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．而Zi滿足

定理2的證明 由于｛Zn，n≥1｝滿足條件

其中i≠j，i，j＝1，2，…．由引理3知

即

由定理1有

故

于是（1）式成立．

又由引理2知，對每個周期有

于是

利用Markov不等式可得

從而

取tn＝n2，并對n求和得

則由Borel－Cantelli引理有

即存存N，當n＞N時．有

從而有

即（2）式成立．

3 有風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的性質(zhì)

上面我們討論了在無風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題，但在實際投資策略中，風險是必然存在的，所以我們必須考慮如何規(guī)避風險、考慮對風險的承受程度，在風險不超過一定程度下尋求投資效益的最大化，或者在收益不低于一定程度時尋求投資風險的最小化．在投資活動中風險是投資決策的實際結(jié)局可能偏離其期望結(jié)局的程度，收益的方差或標準差、半方差是用于風險度量的最常用的討論．為此，下面我們將用更一般的數(shù)學度量來討論有風險控制條件下log－最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題．

設(shè)‖·‖為R的凸函數(shù)，定義風險控制函數(shù)為R（ω）＝E‖ωTX－E（ωTX）‖．記投資風險不超過r的投資組合的全體為Br＝｛ωr∈B：R（ωr）≤r｝．為了刻劃在風險水平不超過r的資產(chǎn)組合中能達到的log－最優(yōu)投資收益，令

為最優(yōu)倍率－風險函數(shù)．

當r＝∞時，W＊（∞，F(xiàn)）＝W＊（F），此時最優(yōu)倍率－風險函數(shù)即為上節(jié)中的最優(yōu)倍率函數(shù)W＊（F）．若最優(yōu)資產(chǎn)組合記為，則W＊，F(xiàn)）＝W＊（r，F(xiàn)）．

在單周期情形中，類似于上一節(jié)無風險的情形，我們有如下結(jié)論：

引理3［1］倍率函數(shù)W（ωr）是ωr的凹函數(shù)．

引理4［2］達到log－優(yōu)倍率－風險函數(shù)的資產(chǎn)組合ωr＊滿足條件：

在多周期情形中，定義第i個周期投資的資產(chǎn)組合的最優(yōu)倍率－風險函數(shù)為，到第n個周期末為），其中最大值滿足如下集合

定理3 設(shè)｛Xn，n≥1｝為市場收益向量序列，記Yi＝log（ωtiXi）為第i個周期的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．則

定理3的證明 根據(jù)集合Cr的限制可得如下不等式

即

但由于集合Cr的限制未必能達到），從而有

即

由（3）～（4）式可知

類似定理2的證明，可以得到如下定理．

定理4 設(shè)｛Xn，n≥1｝為收益向量序列，記，即Zi為第i個周期達到log－最優(yōu)組合投資的log－收益，若它是一類負相依序列，即

其中i≠j，i，j＝1，2，…．而Zi滿足

［1］葉中行，林建中．數(shù)理金融［M］．北京：科學出版社，2000．

［2］劉莉，周紅霞．允許賣空的log－最優(yōu)資產(chǎn)組合投資模型［J］．應(yīng)用數(shù)學，2002，15（2）：97－101．

［3］黃敏，黃朝炎．一類負相依隨機變量序列線性形式的強穩(wěn)定性［J］．湖北大學學報：自然科學版，2011，33（3）：346－350．

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