吉阿琴

在實際生活中，與圓有關的問題很多，靈活應用圓中的有關知識可以順利地解決許多生活中的實際問題.

一、 與垂徑定理相關的應用題

例1 圓柱形油槽內裝有一些油.截面如圖1，油面寬AB為6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面寬變?yōu)?分米，圓柱形油槽直徑MN為（ ）.

A. 6分米

B. 8分米

C. 10分米

D. 12分米

【解析】如圖1，作OC⊥AB于C，根據(jù)垂徑定理知：OC垂直平分AB，所以AC=AB=3（分米），設OC=x（分米），油面AB上升1分米到EF的位置，EF交OC于D，易知OD⊥AB，EF=8（分米），所以DE=EF=4（分米），OD=（x-1）分米，由OA=OE，有x2+32=（x-1）2+42，解得x=4（分米），所以OA=5（分米），即圓柱形油槽直徑MN為10分米，選C.

二、 與確定圓的條件相關的應用題

例2 （用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，圖2是水平放置的破裂管道有水部分的截面. 請你補全這個輸水管道的圓形截面.

【解析】這是一道與確定圓的條件有關的實際問題，只要在圓上取三個點A、B、C，作AC、BC的垂直平分線EF、GH，它們的交點O就是圓心，AO就是半徑，從而可作出原來的圓形截面.

三、 與圓周角相關的實際應用題

例3 如圖3，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向對方球門PQ進攻.當他帶球沖到A點時，同樣乙已經(jīng)助攻沖到B點. 有兩種射門方式：第一種是甲直接射門；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門. 僅從射門角度考慮，應選擇_____種射門方式.

【解析】如果兩個點到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關鍵看這兩點各自對球門PQ張角的大小，當張角較小時，則球容易被對方守門員攔截.因此，只需比較∠PAQ與∠PBQ的大小. 過P、Q、B三點作圓（也可過P、Q、A），分以下三種情況討論：（1） A點在☉O外，連接PA交☉O于點C，則∠PAQ<∠PCQ，∠PCQ=∠PBQ，∴∠PAQ∠PBQ，在A點射門好.這里題目已給出了（1）中的情況，因此應選第二種方式.

【點評】在真正的足球比賽中，情況會很復雜，這里僅用數(shù)學方法從靜止狀態(tài)加以考慮.

四、 與點和圓的位置有關的實際應用題

例4 如圖4，公路MN和公路PQ在P點交匯，且∠QPN=30°，點A處有一所中學，AP=160 m，假如拖拉機行駛時周圍100 m以內會有噪聲影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到影響？請說明理由.如果受到影響，已知拖拉機行駛的速度為18 km/h，那么學校受影響的時間為多少？

【解析】（1） 要看學校是否受到影響，只要求出點A到MN的最小距離與100米進行比較即可. 過點A作AD⊥MN于點D. 在Rt△ADP中，∠APD=30°，AD=AP=×160=80（m）<100（m）.所以學校會受到噪聲的影響；（2） 要求學校受影響的時間，要先求出學校受噪聲影響的路段.因為100米內的圓形區(qū)域為受影響的區(qū)域，☉A與MN的交點之間的線段為受影響路段，利用垂徑定理求出弦BC的長即可.以點A為圓心，100米為半徑的☉A與MN交于B、C兩點，于是BC段即為學校受影響的路段.連接AB，在Rt△ABD中，BD==60（m）. ∵AD⊥BC，∴BC=2BD=2×60=120（m），因為拖拉機的速度為18 km/h，即5 m/s，120÷5=24（s）. 因此，學校受到噪聲影響，受影響的時間為24秒.

【點評】當拖拉機移動到D點時，噪聲的影響范圍為以D點為圓心，100 m為半徑的一個大圓，而點A在此大圓內. 本題較好地體現(xiàn)了直角三角形的有關定理與垂徑定理的綜合應用.

五、 與直線和圓的位置有關的實際應用題

例5 如圖5，小紅家的鍋蓋壞了，為了配一個鍋蓋，需要測鍋的直徑（鍋沿所形成的圓的直徑），而小紅家只有一把長20 cm的直尺，根本不夠長，怎么辦？小紅想了想，采用了以下的辦法：如圖5，首先把鍋平放到墻根，鍋沿剛好靠到兩端，用直尺緊貼墻面量得MA的長（如圖6），即可求出鍋的直徑.

（1） 請你利用圖6說明她這樣做的理由；

（2） 在現(xiàn)有條件下，你還能設計出另外一個可求出鍋的直徑的方法嗎？如果能，請在圖7中畫出示意圖，并說明理由（不必求出鍋的直徑）.

【解析】（1） 假設圓（鍋沿所形成的圓）的圓心為O，連接OA、OB，∵MA、MB與☉O相切，∴∠OAM=∠OBM=90°. 又∵∠M=90°，OA=OB，∴四邊形OAMB是正方形，∴OA=MA. ∴量得MA的長，再乘以2就是鍋的直徑. （2） 測量鍋的直徑的方法不唯一，各人可根據(jù)自己的具體情況去設計，下面只提供一個參考答案. 如圖8，在鍋的邊上取三點A、B、C，使AB=AC，量得AB、AC、BC的長，就能求出鍋的直徑. 設鍋的圓心為O，作直徑AD交BC于點E，連接BD. 在 Rt△ABE中，利用勾股定理求得AE，進而求出AD，即能求出鍋的直徑.

六、 與三角形內切圓有關的實際應用題

例6 如圖9是油路管道的一部分，延伸外圍的支路恰好構成一個直角三角形，兩直角邊分別為6 m和8 m. 按照輸油中心O到3條支路的距離相等來連接管道，則O到三條支路的管道總長是（ ）.（計算時視管道為線，中心O為點）

A. 2 m B. 3 m

C. 6 m D. 9 m

【解析】由O到三條支路的距離相等可知，本題可轉化為求三角形內切圓的半徑問題. 由勾股定理可得斜邊為10，設內切圓半徑為r，則利用面積法可得：r（6+8+10）=×6×8，解得r=2. 從而管道為2×3= 6（m），故選C.

【點評】本題的設計新穎別致，命題者獨具匠心. 解決本題需巧用面積法解題，或利用切線長定理.

七、 與圓柱的側面展開圖有關的實際應用題

例7 從衛(wèi)生紙的包裝紙上得到以下資料：兩層300格，每格11.4 cm×11 cm，如圖10甲.用尺量出整卷衛(wèi)生紙的半徑（R）與紙筒內芯的半徑（r），分別為5.8 cm和2.3 cm，如圖10乙. 那么該兩層衛(wèi)生紙的厚度為多少cm？（π取3.14，結果精確到0.001 cm）

【解析】可利用甲和乙兩圖中的體積相等列方程求解. 設該兩層衛(wèi)生紙的厚度為x cm，則由題意可得方程：11×11.4×x×300=π（5.82-2.32） ×11，解得x≈0.026.

答：該兩層衛(wèi)生紙的厚度約為0.026 cm.

【點評】本題初看起來比較復雜，其實只要找出不變量問題即可迎刃而解.這里，甲和乙圖中紙的體積不變，在甲圖中，其體積為1格的體積的300倍，而1格的體積為11×11. 4×x（cm3）；在乙圖中，其體積為兩個圓柱體的體積之差. 從而可以快速地得到所要的方程.

八、 與圓錐的側面展開圖有關的實際應用題

例8 如圖11是某工件的三視圖，求此工件的全面積.

【解析】這是與三視圖相關的圓錐全面積計算問題，它由兩部分組成：一個是底面積，它是一個圓；另一個是側面積，它的展開圖是一個扇形. 應用它們的面積公式即可得到答案. 由三視圖可知，該工件為底面半徑為10 cm，高為30 cm的圓錐體，其母線長為=10（cm），因此它的側面積為×20π×10=100π（cm2）， 底面積為102π=100π（cm2），所以它的全面積為100π+100π=100（1+）π（cm2）.

答：此工件的全面積為100（1+）πcm2.

【點評】計算扇形面積公式有兩個：一個是S=，另一個是S=lr，在解題中要靈活應用，本題以用第二個公式比較簡便.

九、 與其它學科相結合的圓的實際應用題

例9 某定滑輪的起重裝置如圖12，滑輪半徑為12 cm，當重物上升4π cm時，滑輪的一條半徑OA按逆時針方向旋轉的度數(shù)為（ ）.（假設繩索與滑輪之間沒有滑動）

A. 12° B. 30°

C. 60° D. 90°

【解析】這是一道與物理相結合的圓的實際應用題，解決它的關鍵是將重物上升的高度轉化為弧長，再應用弧長公式去求圓心角的度數(shù).由于重物上升的高度為4π cm，所以旋轉角所對的弧長為4π cm，設旋轉角的度數(shù)為n，由弧長公式有：=4π，又R=12，解得n=60°，選C.

【點評】本例是一個物理和數(shù)學兩個學科交叉的試題，學科相互滲透，這是近幾年中考命題的熱點之一，應予以重視.

小試身手

1. 把球放在長方體紙盒內，球的一部分露出盒外，其截面如圖13所示，已知EF=CD=16厘米，則球的半徑為______厘米.

2. 一個圓形人工湖如圖14所示，弦AB是湖上的一座橋，已知橋AB長100 m，測得圓周角∠ACB=45°，則這個人工湖的直徑AD為（ ）.

A. 50 m B. 100 m

C. 150 m D. 200 m

3. 如圖15①，將一個量角器與一張等腰直角三角形（△ABC）紙片放置成軸對稱圖形，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點D重合，測得CE=5 cm，將量角器沿DC方向平移2 cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC、BC相切，如圖15②，則AB的長為______cm.（精確到0.1 cm）