史新景

有人說：“數學就像一棵郁郁蔥蔥的參天大樹，各知識點就是它的枝節(jié). ”由此可見，數學各知識點之間聯系密切，任何一個知識點出了問題都不能形成一個較完整的數學知識結構. 本文就平時學生習題中常出現的錯誤進行整理，希望同學們能夠“以錯為鑒”，避免再犯類似的錯誤.

一、 定義理解不透徹

例1 下列方程是一元二次方程的是______.

①x2+1=0，②x2=0，③x++1=0，④2x（x+2）=2x2，⑤ax2+bx+c=0，⑥x2+2x+=0.

【錯解】①、②、③、④、⑤.

【剖析】一元二次方程滿足的條件是：（1）只含有一個未知數；（2）未知數的最高次數為2；（3）整式方程.一元二次方程的一般形式為ax2+bx+c=0（a≠0）.③不是一元二次方程，因為沒有注意到等號的兩邊應該都是整式；④不是一元二次方程，因為將方程整理為一般形式后，沒有二次項；⑤不是一元二次方程，因為沒有指出二次項系數a不為0；⑥是一元二次方程，和都是整式. 所以，是一元二次方程的有： ①、②、⑥.

二、 忽視二次項系數不為零

例2 方程（k+1）xk2+1+4x-5=0是關于x的一元二次方程，求k的值.

【錯解】根據題意可得k2+1=2，∴k=±1.

【剖析】在解本題過程中忽略了一元二次方程二次項系數不為零的條件.

解：根據題意得，k2+1=2，∴k=±1，又k+1≠0，即k≠-1，∴k=1.

三、 混淆方程只有一個實數根與方程有兩個相等的實數根

例3 關于x的方程（m2-1）x2+（2m+2）x+1=0只有一個實數根，求m的值.

【錯解】∵關于x的方程只有一個實數根，

∴b2-4ac=（2m+2）2-4（m2-1）=8m+8=0，

∴m=-1.

【剖析】方程有一個實數根，暗示這個方程是一元一次方程，錯解中誤認為它與一元二次方程有兩個相等的實數根是等同的.

解：∵關于x的方程只有一個實數根，

∴這個方程是一元一次方程，即m2-1=0且2m+2≠0. ∴m=1.

四、 方程類型不明確時，漏掉方程為一元一次方程的情況.

例4 （2012·山東德州）若關于x的方程ax2+ 2（a+2）x+a=0有實數解，那么實數a的取值范圍是______.

【錯解】a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

∴當a≥-1且a≠0時，方程有實根.

【剖析】已知條件中二次項系數是一個字母，方程有解并不意味著該方程一定為一元二次方程，上述解答過程只考慮了方程是一元二次方程時方程有根的情況，忽略了該方程為一元一次方程的情況.

解：①當a=0時，方程4x=0，x=0；

②當a≠0時，一元二次方程有實根，

所以a≠0，

[2（a+2）]2-4·a·a≥0，

即a≠0，

a≥-1.

所以a≥-1且a≠0.

綜合①、②，當a≥-1時，

方程ax2+2（a+2）x+a=0有實數解.

五、 盲目“套用”求根公式

例5 用公式法解方程x2+7x=5.

【錯解】∵a=1，b=7，c=5，

∴b2-4ac=72-4×1×5=29，

∴x==，

即x1=，x2=.

【剖析】用公式法求解一元二次方程時應先將方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），錯解中沒有將方程化成“一般式”，誤認為常數項c=5.

解：移項得x2+7x-5=0，

∵a=1，b=7，c=-5，

∴b2-4ac=72-4×1×（-5）=69，

∴x==，

即x1=，x2=.

六、 誤用性質導致丟根

例6 解方程：（x+1）2=2（x+1）.

【錯解】方程兩邊同除以（x+1），得x+1=2，所以x=1.

【剖析】錯解中，方程兩邊同除以因式x+1，沒有考慮到x+1=0的情況，造成丟根.

解：原方程可變形為（x+1）2-2（x+1）=0，（x+1）（x+1-2）=0，（x+1）（x-1）=0，所以x1=1，x2=-1.

七、 忽視一元二次方程的根為負數

例7 已知α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實數根，求+的值.

【錯解】∵α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實數根，

∴α+β=-=-7，αβ==5，

∴+=+===-.

【剖析】由一元二次方程根與系數的關系得到α+β=-=-7，αβ==5，這說明α，β同為負數，所以在對+化簡時應注意符號問題.

解：∵α，β為一元二次方程x2+7x+5=0的兩實數根，

∴α+β=-=-7，αβ==5.

∴+=+=

-=-=.

八、 忽略一元二次方程有實根的條件

例8 （2014·山東煙臺）關于x的方程x2-mx+2m=0的兩根的平方和是5，則m的值是（ ）.

A. -1或5 B. 1

C. 5 D. -1

【錯解】設方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，

∴m1=5，m2=-1，故選A.

【剖析】當a=5時b2-4ac=（-5）2-4×1×10=-15<0，此時方程無解，錯解中忽略了一元二次方程有實根時必須滿足b2-4ac≥0這一條件.

解：設方程的兩根為x1，x2，則x1+x2=m，x1·x2=2m，

∵x2 1+x2 2=5，

∴（x1+x2）2-2x1·x2=5，

∴m2-4m-5=0，∴m1=5，m2=-1.

∵b2-4ac=m2-8m≥0，

∴m≠5，故m=-1. 選 D.

九、 未充分利用題目中的條件

例9 如圖1，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個矩形花園ABCD（圍墻MN最長可利用25 m），現在已備足可以砌50 m長的墻的材料，當AB的長度為多少時能使矩形花園的面積為300 m2.

【錯解】設AB=x m，則BC=（50-2x） m.

根據題意得，x（50-2x）=300，解得：x1=10，x2=15，

答：當AB的長為15米或10米時能使矩形花園的面積為300 m2.

【剖析】對于一些方程根的取舍問題，關鍵是要讀懂題目的意思，充分考慮到題目給出的條件或者隱含條件. 錯解中沒有注意到圍墻MN最長可利用25 m，當AB=10時，BC=50-2×10=30>25， 不符合題意，應舍去.

解：設AB=x m，則BC=（50-2x） m.

根據題意得，x（50-2x）=300，

解得：x1=10，x2=15.

當x=10時，BC=50-2×10=30>25，不合題意，舍去；

當x=15時，BC=50-2×15=20<25.

答：當AB的長為15 m時能使矩形花園的面積為300 m2.

相信同學們會結合以上錯解剖析，診斷出自己的問題來“對癥下藥”，牢固地掌握一元二次方程的相關知識點，在考試中力爭零失分！

小試身手

1. 已知關于x的一元二次方程x2+bx+c=0有兩個實數根，則下列關于判別式b2-4ac的判斷正確的是（ ）.

A. b2-4c≥0 B. b2-4c=0

C. b2-4c<0 D. b2-4c>0

2. 已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數根，則a的取值范圍是（ ）.

A. a>2 B. a<2

C. a<2且a≠1 D. a<-2

3. 下列一元二次方程兩實數根和為 -4的是（ ）.

A. x2+2x-4=0 B. x2-4x+4=0

C. x2+4x+10=0 D. x2+4x-5=0

4. 方程（x-1）（x+2）=2（x+2）的根是（ ）.

A. 1，-2 B. 3，-2

C. 0，-2 D. 1

5. 某單位準備將院內一塊長30 m，寬20 m的長方形空地，建成一個矩形花園，要求在花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的地方種植花草. 如圖2所示，要使種植花草的面積為532 m2，那么小道進出口的寬度應為多少米？（注：所有小道進出口的寬度相等，且每段小道均為平行四邊形）.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學）