許 潔，劉明姬，呂顯瑞

（1.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院，吉林 吉林132022；2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)春130012）

廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣又稱為非奇異H矩陣，在計(jì)算數(shù)學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，目前已取得了許多研究結(jié)果［1－8］.本文在文獻(xiàn)［4］的基礎(chǔ)上，定義一類新的矩陣，利用該矩陣的性質(zhì)，得到一組新的判定條件，進(jìn)一步推廣了文獻(xiàn)［4－5］的結(jié)果.

設(shè)σ＝（σ1，σ2，…，σk）是（1，2，…，k）的一個(gè)置換，對(duì)任意的i∈?記i∈Nσi，?＝∪Nσi.進(jìn)一步記：

其中i∈Nσi，j∈Nσj且σi≠σj，存在α∈ （0，1］｝；

其中i∈Nσi，j∈Nσj且σi≠σj，存在α∈ （0，1］｝.定義1 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n，若存在α∈（0，1］，使得

則稱A為對(duì)稱局部雙α對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈SLDD0（α），其中?i∈Nσi，j∈Nσj且σi≠σj.若式（1）不等號(hào)嚴(yán)格成立，則稱A為對(duì)稱局部雙α嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，記為A∈SLDD（α）.

定理1 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n∩SLDD（α），滿足aii≠0，J≠?.則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

下面討論Nk0≠?的情況.適當(dāng)選取正數(shù)dk0，滿足：

式（2）左端比值當(dāng)分母為零時(shí)記作＋∞，易見dk0＞1.構(gòu)造正對(duì)角矩陣Dk0如下：

定理2 設(shè)A＝（aij）∈Cn×n∩SLDD0（α）滿足aii≠0及≠?，且對(duì)每個(gè)i∈，都存在aii1ai1i2…aipt≠0，使得t∈，則A為廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.

若Hj的分母為零，則記Hj＝＋∞.由A∈SLDD0（α）知，max hi≤min Hj.由?J≠?知，存在i∈Nσi，j∈?＼Nσi，d＞1，使得max hi≤d≤min Hj.構(gòu)造正對(duì)角陣D如下：

② 當(dāng)j∈Nσj??＼Nσi時(shí)，由Hj的定義有

再由d＞1得

例1 設(shè)矩陣

［1］TIAN Guixian，HUANG Tingzhu，CUI Shuyu.Convergence of Generalized AOR Iterative Method for Linear Systems with Strictly Diagonally Dominant Matrices［J］.Comput Appl Math，2008，213（1）：240－247.

［2］侯進(jìn)軍，李斌.H－矩陣的一組新判定 ［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2008，31（2）：266－270.（HOU Jinjun，LI Bin.Some New Conditions for Nonsingular H－Matrices［J］.Acta Mathematica Applicatae Sinica，2008，31（2）：266－270.）

［3］王健，徐仲，陸全.廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣判定的新迭代準(zhǔn)則 ［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2010，33（6）：961－966.（WANG Jian，XU Zhong，LU Quan.New Iterative Codes for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices［J］.Acta Mathematica Applicatae Sinica，2010，33（6）：961－966.）

［4］孫玉祥，呂洪斌.廣義嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣與非奇異M－矩陣的判定 ［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2001，40（5）：1011－1016.（SUN Yuxiang，Lü Hongbin.Criteria for Generalized Strictly Diagonally Matrices and Nonsingular M－Matrices［J］.Journal of Xiamen University：Natural Science，2001，40（5）：1011－1016.）

［5］逄明賢.局部雙對(duì)角占優(yōu)矩陣及其應(yīng)用 ［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1995，38（4）：442－450.（PANG Mingxian.Locally Double－diagonally Dominant Matrix and Its Applications［J］.Acta Mathematica Sinica，1995，38（4）：442－450.）

［6］Berman A，Plemmons R J.Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences［M］.New York：Academic Press，1979.

［7］周曉晶，許潔，孫玉祥.廣義對(duì)角占優(yōu)矩陣的一組判定條件 ［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42（15）：244－250.（ZHOU Xiaojing，XU Jie，SUN Yuxiang.Some Criteria for Generalized Strictly Diagonally Dominant Matrices［J］.Mathematics in Practices and Theory，2012，42（15）：244－250.）

［8］郭麗.非奇異 H－矩陣的判定 ［J］.吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2010，48（2）：226－228.（GUO Li.Criteria for Nonsingular H－Matrices［J］.Journal of Jilin University：Science Edition，2010，48（2）：226－228.）