張 申 貴

（西北民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，蘭州730030）

0 引 言

考慮非自治p（t）－Laplacian系統(tǒng)：

其中p（t）∈C（［0，T］，?＋），p（t）＝p（t＋T），T＞0，且

假設(shè)：

（A）F：［0，T］×?N→?滿足：F（t，x）關(guān)于變量t可測(cè)，F(xiàn)（t，x）關(guān)于變量x連續(xù)可微，存在a∈C（?＋，?＋），b∈L1（0，T；?＋），使得

非自治p（t）－Laplacian系統(tǒng)在非線性力學(xué)模型［1］、變流體模型［2］和圖像恢復(fù)模型［3］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.當(dāng)p（t）＝2時(shí)，Rabinowitz［4］給出了如下條件（AR）：存在μ＞2，L＞0，使得

條件（AR）可以推出非線性項(xiàng)▽F（t，x）是超線性的，但很多超線性函數(shù)并不滿足條件（AR）.例如

本文在比條件（AR）更弱的超線性條件下，研究p（t）－Laplacian系統(tǒng)無窮多周期解的存在性.先將系統(tǒng)（1）的周期解轉(zhuǎn)化為定義在一個(gè)適當(dāng)空間上泛函的臨界點(diǎn)，然后利用臨界點(diǎn)理論中對(duì)稱山路定理得到該問題無窮多解存在性的充分條件.

1 預(yù)備知識(shí)

記p（t）∈C（［0，T］，?＋），定義

其范數(shù)為

記Sobolev空間

φ弱下半連續(xù)且連續(xù)可微，

定義1 設(shè)X為Banach空間，若泛函φ∈C1（X，?）滿足：對(duì)任何點(diǎn)列及任何｛un｝?X，由｛φ（un）｝有界，（1＋‖un‖）‖φ′（un）‖→0（n→∞），蘊(yùn)含｛un｝有收斂子列，則稱泛函φ滿足（C）條件.

命題1（對(duì)稱山路定理）［12］設(shè)E 為實(shí)Banach空間，φ∈C1（X，?）是偶函數(shù)且滿足（C）條件，φ（0）＝0.令E＝V⊕X，dimV＜＋∞.若φ滿足：

2 主要結(jié)果

假設(shè)以下條件成立：

（H5）F（t，u）關(guān)于u是偶的，即F（t，u）＝F（t，－u）.

本文的主要結(jié)果如下：

由條件（H3）和假設(shè)（A）知，存在常數(shù)C4＞0，使得

對(duì)所有的u∈?N和a.e.t∈［0，T］都成立.由式（5），（6），有

從而可得

由式（8）及內(nèi)插不等式，有

又由式（5），當(dāng)n充分大時(shí)，有

由條件（H4）和式（5），當(dāng)n充分大時(shí)，有

由條件（H2），存在兩個(gè)正常數(shù)ε和δ，使得0＜ε＜C0，0＜δ＜ε，其中C0為式（3）中的正常數(shù)，且

由于dim W＜＋∞，有限維空間上各種范數(shù)等價(jià)，故存在正常數(shù)C7，使得對(duì)?u∈W，有

由條件（H1）及假設(shè)（A）知，存在常數(shù)C8＞0，使得

對(duì)所有的u∈?N和a.e.t∈［0，T］都成立.

由式（13），（14），取‖u‖＝R＞1，又由式（4），有

取σ＜2，則F滿足定理1中條件（H1）～（H5），但不滿足文獻(xiàn)［5－11］中定理的條件.

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