【摘要】電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化是保證電網(wǎng)安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的一項(xiàng)有效手段，是降低網(wǎng)絡(luò)損耗、提高電壓質(zhì)量的重要措施。無(wú)功優(yōu)化的經(jīng)典法算法理論嚴(yán)密、收斂速度快，但對(duì)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的微分性質(zhì)要求嚴(yán)格，而且往往容易陷入局部最優(yōu)解，而基于隨機(jī)搜索的現(xiàn)代人工智能算法可以對(duì)原問(wèn)題直接進(jìn)行搜索求解，具有良好的自適應(yīng)性，且能以較大概率收斂到全局最優(yōu)解。無(wú)功優(yōu)化主要考慮在結(jié)構(gòu)參數(shù)、負(fù)荷和電源給定的情況下，通過(guò)改變變壓器分接頭位置、無(wú)功補(bǔ)償?shù)淖罴讶萘亢桶l(fā)電機(jī)機(jī)端電壓大小來(lái)進(jìn)行。本文對(duì)無(wú)功優(yōu)化模型及相關(guān)求解算法進(jìn)行了深入研究，詳細(xì)介紹了國(guó)內(nèi)外無(wú)功優(yōu)化現(xiàn)狀，給出了電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的基本數(shù)學(xué)模型，綜述了應(yīng)用于電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題求解的各種優(yōu)化算法，并分析了各種優(yōu)化算法的優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。文中以有功網(wǎng)損最小作為電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，并給出了簡(jiǎn)化梯度法求解該無(wú)功優(yōu)化模型的具體方法。

【關(guān)鍵詞】電力系統(tǒng);無(wú)功優(yōu)化;潮流計(jì)算;簡(jiǎn)化梯度法

1.引言

無(wú)功電壓控制一直是電力系統(tǒng)的重要研究?jī)?nèi)容。電力系統(tǒng)無(wú)功電壓控制可降低有功網(wǎng)損，提高電能質(zhì)量，是維持正常電壓水平，提高經(jīng)濟(jì)效益的有效手段。

李婧等人在文獻(xiàn)[1]中對(duì)經(jīng)典的規(guī)劃算法進(jìn)行了分類(lèi)，包括了線(xiàn)性規(guī)劃方法、非線(xiàn)性規(guī)劃方法、混合整數(shù)規(guī)劃方法和動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法。

其中，線(xiàn)性規(guī)劃方法是相對(duì)比較成熟的一種方法，代表算法有靈敏度算法、內(nèi)點(diǎn)法等，其算法普遍有著收斂可靠，計(jì)算速度較快，并且對(duì)各種約束條件的處理簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，但是在實(shí)際問(wèn)題中，對(duì)于一些非線(xiàn)性規(guī)劃，必須對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行線(xiàn)性化處理，這就必然造成優(yōu)化誤差大，需要進(jìn)行潮流計(jì)算以修正，這也限制了其計(jì)算效率的提高;非線(xiàn)性規(guī)劃方法有牛頓優(yōu)化法、簡(jiǎn)化梯度法等，其算法一般能建立比較直觀的數(shù)學(xué)模型，并且計(jì)算精度高，但是這些算法不同程度存在著計(jì)算量大，計(jì)算內(nèi)存需求大，收斂差，穩(wěn)定性不好，并且對(duì)不等式的處理存在一定的困難等問(wèn)題，因此其運(yùn)用也受到一定的限;混合整數(shù)規(guī)劃方法能有效地解決變量的離散性問(wèn)題，可是其計(jì)算時(shí)間是屬于非多項(xiàng)式類(lèi)型，隨著維數(shù)的增加，計(jì)算時(shí)間甚至?xí)ㄐ缘卦黾?而動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法能有效解決多階段決策過(guò)程的最優(yōu)解問(wèn)題，但是其出現(xiàn)的因狀態(tài)變量個(gè)數(shù)增加而出現(xiàn)的“維數(shù)災(zāi)”問(wèn)題，很大程度地限制了其運(yùn)用[1]。

由于傳統(tǒng)優(yōu)化算法所存在的一些弊端，近年來(lái)，各類(lèi)人工智能方法在電力系統(tǒng)無(wú)功電壓控制問(wèn)題中得到了廣泛的應(yīng)用，具體包括：遺傳算法、禁忌搜索和模擬退火算法，以及比較新的一些算法，包括：模糊優(yōu)化、免疫算法、蟻群尋優(yōu)算法、人工魚(yú)群算法、粒子群算法以及這些算法的組合方法等。其中，遺傳算法就是其中一種應(yīng)用面很廣的一種算法。

遺傳算法（（Genetic Algorithms，GA）最早由美國(guó)密執(zhí)根（Michigan）大學(xué)的Holland教授于20世紀(jì)70年代提出并逐步發(fā)展起來(lái)的。作為一種模擬生物進(jìn)化過(guò)程的方法，遺傳算法具有對(duì)非線(xiàn)性和復(fù)雜問(wèn)題的全局搜索能力及其簡(jiǎn)單通用、魯棒性強(qiáng)、可避免維數(shù)災(zāi)、占用內(nèi)存少的顯著特點(diǎn)，但其跳出局部最優(yōu)的能力較差，對(duì)大型電力系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)所需時(shí)間較長(zhǎng)。

由于遺傳算法本身所具有的一些缺點(diǎn)，很多學(xué)者都對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn)。

文獻(xiàn)[2]就提出了參數(shù)的自適應(yīng)性的改進(jìn)方案，引入了自適應(yīng)調(diào)整策略修改交叉概率和變異概率等主要參數(shù)，并應(yīng)用了典型函數(shù)中去，提高了算法的計(jì)算速度和優(yōu)化結(jié)果，但是策略的引入，使得算法過(guò)于復(fù)雜贅長(zhǎng)。

文獻(xiàn)[3]提出了一種災(zāi)變遺傳算法（Catastrophic Genetic Algorithm，CGA），災(zāi)變遺傳算法（Catastrophic Genetic Algorithm，CGA）以其良好的全局尋優(yōu)能力，以及在保持解的多樣性等方面的優(yōu)勢(shì)在電力系統(tǒng)中得到廣泛應(yīng)用。但災(zāi)變GA缺乏對(duì)局部搜索能力和收斂性能的考慮，其開(kāi)拓能力提高的同時(shí)也增大了算法的隨機(jī)性和降低了算法的穩(wěn)定性。

文獻(xiàn)[4]則提出了一種協(xié)同進(jìn)化算法，對(duì)比一般的遺傳算法，協(xié)同算法可對(duì)控制變量進(jìn)行合理的種群劃分，對(duì)較大規(guī)模的系統(tǒng)求解能有效地跳出局部最優(yōu)點(diǎn)而尋找更好的優(yōu)化解。

從以上算法可知，經(jīng)典算法物理概念清晰，易于理解，但是過(guò)度依賴(lài)于精確的數(shù)學(xué)模型難以實(shí)現(xiàn)現(xiàn)代電網(wǎng)實(shí)時(shí)控制要求。人工智能算法對(duì)目標(biāo)函數(shù)和約束條件要求不多，可以對(duì)問(wèn)題直接搜索尋優(yōu)，但潮流迭代次數(shù)高，計(jì)算量大。

2.電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的基本數(shù)學(xué)模型

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化是一個(gè)連續(xù)變量與離散變量共存的、多約束、非線(xiàn)性的混合規(guī)劃問(wèn)題。眾多學(xué)者在總結(jié)電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題的特點(diǎn)，建立一個(gè)比較成熟的基本數(shù)學(xué)模型。這個(gè)基本數(shù)學(xué)模型的建立主要分為三步，分別是建立目標(biāo)函數(shù)、制定約束條件和確定優(yōu)化算法。

2.1 目標(biāo)函數(shù)

在我們進(jìn)行電力系統(tǒng)優(yōu)化前，我們必須先建立此次電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的目標(biāo)。在滿(mǎn)足電力系統(tǒng)運(yùn)行的約束下，根據(jù)電力系統(tǒng)優(yōu)化側(cè)重點(diǎn)不同，我們優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)也是多種多樣。我們通常選擇的目標(biāo)函數(shù)如下：

①各節(jié)點(diǎn)的電壓質(zhì)量，即以各節(jié)點(diǎn)電壓幅值與其額定電壓幅值之差的平方和最小作為目標(biāo)函數(shù)。這樣就能保證各節(jié)點(diǎn)電壓保持在額定值附近，使電力系統(tǒng)絡(luò)運(yùn)行得更平穩(wěn)和安全。

②電力系統(tǒng)最小的有功損耗，即以電力系統(tǒng)各線(xiàn)路線(xiàn)損之和最小作為目標(biāo)函數(shù)。這樣減少供電成本，提高電力系統(tǒng)的經(jīng)濟(jì)效益。

③無(wú)功補(bǔ)償裝置投資最小。

④變壓器分接頭和電容器投切數(shù)目最少。

⑤綜合考慮以上幾項(xiàng)或全部作為目標(biāo)函數(shù)。

選以上哪一類(lèi)目標(biāo)函數(shù)更為合適，就應(yīng)該根據(jù)電力系統(tǒng)絡(luò)運(yùn)行情況和現(xiàn)實(shí)要求。若電力系統(tǒng)絡(luò)供電負(fù)荷是高精度機(jī)器加工廠，我們就應(yīng)該選擇以各節(jié)點(diǎn)的電壓質(zhì)量為目標(biāo)函數(shù)。而當(dāng)電力系統(tǒng)絡(luò)中無(wú)功容量充足并且運(yùn)行安全，則選擇最小的有功損耗為目標(biāo)函數(shù)。

而在本文中，我們先假設(shè)在電力系統(tǒng)絡(luò)中無(wú)功容量充裕并且運(yùn)行的安全性有保證，則可以選擇最小的有功損耗為目標(biāo)函數(shù)。在極坐標(biāo)下，有：

式中，PL為系統(tǒng)網(wǎng)損，nl為電力系統(tǒng)絡(luò)的總支路數(shù);Gk（i，j）為對(duì)應(yīng)支路i-j的電導(dǎo);Ui、Uj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓幅值;δi、δj分別為節(jié)點(diǎn)i、j的電壓相位。

2.2 約束條件

2.2.1 等式約束

先假定一個(gè)任意電網(wǎng)絡(luò)，它共有n個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中前m個(gè)節(jié)點(diǎn)是PQ節(jié)點(diǎn)，第m+1～n-1號(hào)節(jié)點(diǎn)是PV節(jié)點(diǎn)，最后一個(gè)節(jié)點(diǎn)是平衡節(jié)點(diǎn)。功率約束等式約束如下式：

2.2.2 不等式約束

電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化中，PQ節(jié)點(diǎn)無(wú)功補(bǔ)償量Qci、PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值Vi、發(fā)電機(jī)無(wú)功出力QGi、可調(diào)變壓器變比Ti和發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓VGi都有其上下限。其約束條件如下：

（1）所有節(jié)點(diǎn)電壓滿(mǎn)足上下限約束：

（2）所有電源節(jié)點(diǎn)的有功功率和無(wú)功功率必須滿(mǎn)足：

（3）某些節(jié)點(diǎn)之間的電壓的相位差滿(mǎn)足：

（4）PQ節(jié)點(diǎn)的無(wú)功補(bǔ)償量以及可調(diào)變壓器變比滿(mǎn)足：

其中，nT為可調(diào)變壓器的個(gè)數(shù)。

綜上所述，電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化基本數(shù)學(xué)模型：

式中，u為控制變量，包括PQ節(jié)點(diǎn)無(wú)功補(bǔ)償量Qci、發(fā)電機(jī)無(wú)功出力QGi、可調(diào)變壓器變比Ti和發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓VGi。x為狀態(tài)變量，包括PQ節(jié)點(diǎn)電壓幅值Vi。g（u，x），h（u，x）分別為上文提到的等式約束和不等式約束。

3.基于簡(jiǎn)化梯度法的電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化

3.1 電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的潮流計(jì)算

在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化過(guò)程中，我們可以發(fā)現(xiàn)無(wú)論使用任何一種算法，都必須多次進(jìn)行潮流計(jì)算，并且在最后優(yōu)化結(jié)果分析中，我們也常常需要優(yōu)化前的初始潮流與優(yōu)化后潮流進(jìn)行比較，分析算法優(yōu)缺點(diǎn)，判定最后結(jié)果是否正確。故潮流計(jì)算是進(jìn)行電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化的基礎(chǔ)。目前，基本的潮流算法包含高斯-塞德?tīng)柗?、快速解耦法和牛頓-拉夫遜法。在本文我們采用極坐標(biāo)下的牛頓-拉夫遜法，因?yàn)闃O坐標(biāo)下的牛頓-拉夫遜法計(jì)算速度快，收斂性好，而且它的雅可比矩陣具有稀疏性。在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化過(guò)程中，如果電力系統(tǒng)絡(luò)的變壓器分接頭發(fā)生改變，則其雅可比矩陣也會(huì)發(fā)生變化。由于它的稀疏性，我們只需要改變?cè)瓉?lái)雅可比矩陣部分參數(shù)就可以，無(wú)形中減少計(jì)算量。

3.2 功率方程以及節(jié)點(diǎn)分類(lèi)

電力系統(tǒng)潮流計(jì)算的基本方程為：

其中，Si，Pi和Qi分別是節(jié)點(diǎn)i的注入的視在功率，有功功率和無(wú)功功率，Vi為節(jié)點(diǎn)i的電壓，Yij為節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣對(duì)應(yīng)的元素，n為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)。上式為非線(xiàn)性方程，在系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)確定的前提下，令：

或

可知，式中，每個(gè)節(jié)點(diǎn)都含有ei，fi，Pi，Qi或Vi，δi，Pi，Qi，共4n個(gè)變量，而將公式實(shí)部和虛部分離，共有2n個(gè)方程。因此，要根據(jù)公式求解系統(tǒng)的電壓、功率狀態(tài)，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)，必須給定中兩個(gè)變量，而留下另外兩個(gè)作為待求變量，方程才可以求解。一般而言，潮流計(jì)算最直接的目的是求出網(wǎng)絡(luò)中所有母線(xiàn)的電壓，其他量可用之求取。

根據(jù)每個(gè)節(jié)點(diǎn)已知變量的類(lèi)型，潮流計(jì)算中將系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)分為以下幾種節(jié)點(diǎn)類(lèi)型：

●PQ節(jié)點(diǎn)

此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)注入有功功率P和無(wú)功功率Q是給定的，待求變量為e，f或V，δ。通常變電所都是這一類(lèi)型的節(jié)點(diǎn)。這類(lèi)節(jié)點(diǎn)一般都沒(méi)有發(fā)電設(shè)備，故其發(fā)電功率為零。但是在有些情況下，系統(tǒng)中某些發(fā)電廠送出的功率在一定的時(shí)間內(nèi)為固定時(shí)，該發(fā)電廠也可以作為PQ節(jié)點(diǎn)。因此，電力系統(tǒng)中的絕大多數(shù)節(jié)點(diǎn)屬于這一類(lèi)型。

此外，網(wǎng)絡(luò)中還有一類(lèi)既不接發(fā)電機(jī)，又沒(méi)有負(fù)荷的聯(lián)絡(luò)節(jié)點(diǎn)（亦稱(chēng)浮游節(jié)點(diǎn)），也可以當(dāng)作PQ節(jié)點(diǎn)，其中P=Q=0。

●PV節(jié)點(diǎn)

此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)注入有功功率P和電壓幅值V是給定的，待求變量為δ（或e，f），Q可在潮流收斂后求得。這類(lèi)節(jié)點(diǎn)必須有充足的可調(diào)無(wú)功容量，用以維持給定的電壓幅值，因而又稱(chēng)為電壓控制節(jié)點(diǎn)。一般是選擇有一定無(wú)功儲(chǔ)備的發(fā)電廠和具有可調(diào)無(wú)功電源設(shè)備的變電所作為PV節(jié)點(diǎn)。一般，在電力系統(tǒng)中，這一類(lèi)節(jié)點(diǎn)的數(shù)目很少。

此類(lèi)節(jié)點(diǎn)中，如果節(jié)點(diǎn)注入無(wú)功功率越限而失去無(wú)功調(diào)節(jié)能力，在潮流計(jì)算中，將轉(zhuǎn)換為PQ節(jié)點(diǎn)，其注入無(wú)功功率為無(wú)功功率的邊界值。

●平衡節(jié)點(diǎn)（Vδ節(jié)點(diǎn)）

此類(lèi)節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)電壓幅值V和電壓相角δ是給定的，不用求解，P和Q可待潮流收斂后求取。在潮流收斂之前，系統(tǒng)的網(wǎng)損是未知的，故有功功率不平衡，需要有一個(gè)節(jié)點(diǎn)的有功功率P不能給定，用以承擔(dān)系統(tǒng)的有功功率平衡（即承擔(dān)系統(tǒng)的網(wǎng)損）。同時(shí)，系統(tǒng)必須選定一個(gè)節(jié)點(diǎn)，作為系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)電壓相角的參考。在電力系統(tǒng)中，平衡節(jié)點(diǎn)就承擔(dān)了這樣的角色，習(xí)慣上稱(chēng)為平衡節(jié)點(diǎn)。在潮流計(jì)算中，平衡節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)，一般選擇主調(diào)頻發(fā)電廠作為平衡節(jié)點(diǎn)比較合理。或者，為了提高導(dǎo)納矩陣潮流程序的收斂性，也可以選擇出現(xiàn)最多的發(fā)電廠作為平衡節(jié)點(diǎn)。

3.3 極坐標(biāo)下的牛頓-拉夫遜法

假定一個(gè)n節(jié)點(diǎn)的電力系統(tǒng)，前m號(hào)節(jié)點(diǎn)為PQ節(jié)點(diǎn)，第m+1～n-1號(hào)節(jié)點(diǎn)為PV節(jié)點(diǎn)，第n號(hào)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)。平衡節(jié)點(diǎn)的Vn和δn是給定的，PV節(jié)點(diǎn)的電壓幅值Vm+1～Vn-1也是給定的。因此，未知量有 n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓相角δ1，δ2，…，δn-1和m個(gè)節(jié)點(diǎn)的電壓幅值V1，V2，…，Vm。

極坐標(biāo)下的功率方程有：

式中δij=δi-δj，是i、j兩節(jié)點(diǎn)電壓的相位差。因此，對(duì)于前n-1號(hào)節(jié)點(diǎn)（即所有PQ節(jié)點(diǎn)和所有PV節(jié)點(diǎn)）都可以列寫(xiě)一個(gè)有功功率不平衡量方程式：

而對(duì)于第m+1～n-1號(hào)節(jié)點(diǎn)（即所有PQ節(jié)點(diǎn)）還可以再列寫(xiě)一個(gè)無(wú)功功率不平衡量方程式：

修正方程式如下：

式中：

H是（n-1）×（n-1）階方陣，N是（n-1）×m階矩陣，K是m×（n-1）階矩陣，L是m×m階方陣。雅克比矩陣元素表達(dá)式如下：

當(dāng)i≠j時(shí)：

當(dāng)i=j時(shí)：

圖1

最后求解修正方程得到修正量，再將修正變量代入有功功率和無(wú)功功率不平衡量方程式，判斷是否收斂。如果不收斂，就用新的一組數(shù)據(jù)再次代入計(jì)算。反之，就退出循環(huán)，輸出潮流結(jié)果。總結(jié)牛頓-拉夫遜法運(yùn)用過(guò)程，我們可以設(shè)計(jì)出一個(gè)潮流計(jì)算程序框圖，表示如圖1所示。

3.4 簡(jiǎn)化梯度法在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化中運(yùn)用

簡(jiǎn)單梯度法是Dommel和Tinney于1968年提出的在無(wú)功優(yōu)化領(lǐng)域中第一個(gè)比較成功的實(shí)用算法。作為非線(xiàn)性規(guī)劃法的一種，簡(jiǎn)單梯度法同樣是利用罰函數(shù)和拉格朗日乘子矢量代入目標(biāo)函數(shù)，建立拉格朗日函數(shù)，將有約束的非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束非線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，然后簡(jiǎn)化梯度法就等同于無(wú)約束非線(xiàn)性問(wèn)題的最速下降法。而最速下降法基本思想是求出拉格朗日函數(shù)在迭代點(diǎn)最快下降方向，并以這個(gè)方向進(jìn)行尋找最優(yōu)解，進(jìn)而使拉格朗日函數(shù)值達(dá)到最優(yōu)。又因?yàn)槔窭嗜蘸瘮?shù)下降最快的方向就是其負(fù)梯度方向，故我們把此法稱(chēng)為梯度法。

簡(jiǎn)化梯度法主要有以下幾步：

（1）將不等式約束引入目標(biāo)函數(shù)。用罰函數(shù)將函數(shù)不等式約束引入目標(biāo)函數(shù)f（x，u），建立增廣目標(biāo)函數(shù)F（x，u），有：

式中co是越限函數(shù)下標(biāo)集合，Sj為懲罰因子，hj lim為上、下限約束常數(shù)向量。

（2）用拉格朗日乘子矢量λ將等式約束條件引入增廣目標(biāo)函數(shù)F（x，u），建立拉格朗日函數(shù)，有：

這樣，就把最優(yōu)潮流問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求取上式的拉各朗日函數(shù)的極值問(wèn)題。即找一組合適的x，u，λ使上式取到極大值或極小值。

（3）用經(jīng)典函數(shù)求極值的方法求解。先是拉格朗日函數(shù)L對(duì)u和x求偏導(dǎo)，有：

令：

=0

則可得：

在此處，拉格朗日函數(shù)L取得極值?；卮绞阶樱?/p>

得到拉各朗日函數(shù)對(duì)控制變量的梯度：

即：

最后就按照梯度法求解，便可以得到各個(gè)控制變量的數(shù)值。

總的來(lái)說(shuō)，簡(jiǎn)化梯度法簡(jiǎn)單直觀，在初始點(diǎn)選擇上沒(méi)有嚴(yán)格要求，在進(jìn)行迭代計(jì)算時(shí)，在開(kāi)始階段目標(biāo)函數(shù)值下降比較快，一般只需少數(shù)幾次迭代計(jì)算即可得到優(yōu)化解。但是，當(dāng)接近最優(yōu)解時(shí)，梯度曲線(xiàn)存在鋸齒現(xiàn)象，在最優(yōu)解附近收斂相當(dāng)緩慢，同時(shí)由于控制變量中一些分量的變動(dòng)與另一些分量變動(dòng)同樣比例所引起的目標(biāo)函數(shù)值的變化很不相同，這易使目標(biāo)函數(shù)的Hessian矩陣的條件數(shù)（Hessian矩陣的最大最小特征值之比）較大，進(jìn)一步使得算法的收斂性變壞;另一方面，其狀態(tài)變量維數(shù)較高，意味著每次迭代用牛頓拉夫遜法解算潮流的工作量較大。另外，無(wú)功優(yōu)化問(wèn)題不僅是非線(xiàn)性的，而且它的變量也是離散的、多約束的，在進(jìn)行梯度計(jì)算時(shí)可能力不從心，每進(jìn)行一次迭代計(jì)算都需要進(jìn)大量的梯度計(jì)算，而對(duì)一個(gè)非連續(xù)的、變量離散的目標(biāo)函數(shù)來(lái)說(shuō)，梯度的意義似乎不大。因此，梯度法在電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化中的應(yīng)用受到了很大的限制。

簡(jiǎn)化梯度法自被提出來(lái)后，雖然存在很多問(wèn)題，但是一直都被運(yùn)用于電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化。同時(shí)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者也對(duì)簡(jiǎn)化梯度法進(jìn)行研究和改進(jìn)，取得了一定的成就，如簡(jiǎn)化共軛梯度法。簡(jiǎn)化共軛梯度法是簡(jiǎn)化梯度法和共軛梯度法組合起來(lái)的算法，有二階收斂性，即在在初始點(diǎn)遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)下降的速度比簡(jiǎn)化梯度法還要快。

當(dāng)逼近最優(yōu)解時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的形態(tài)近似于二次函數(shù)，這時(shí)運(yùn)用共軛梯度法就可以減少計(jì)算。另外，簡(jiǎn)化共軛梯度法可以再取近似最優(yōu)解的點(diǎn)作為初始點(diǎn)，重新進(jìn)行迭代，從而減小了誤差的積累。

基于簡(jiǎn)化梯度法的無(wú)功優(yōu)化計(jì)算的程序框圖如圖2所示：

圖2

4.算例分析

4.1 IEEE六節(jié)點(diǎn)算例數(shù)學(xué)模型建立

表1 IEEE六節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)各支路阻抗數(shù)據(jù)

圖3 IEEE六節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)接線(xiàn)圖

表2 IEEE六節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)

如圖3所示，IEEE六節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)是電力系統(tǒng)的一小部分。其中第1～4號(hào)節(jié)點(diǎn)PQ節(jié)點(diǎn)，第5號(hào)節(jié)點(diǎn)為PV節(jié)點(diǎn)，而第6號(hào)節(jié)點(diǎn)為平衡節(jié)點(diǎn)。令第1～4號(hào)節(jié)點(diǎn)為無(wú)功補(bǔ)償點(diǎn)，補(bǔ)償容量分別為Qc1，Qc2，Qc3，Qc4，并以變壓器T1和T2為可調(diào)的變壓器（具有1±4×2.5%分接頭），其變比用T1和T2表示。故此次無(wú)功優(yōu)化的控制變量有Qc1，Qc2，Qc3，Qc4，T1和T2;由于此系統(tǒng)可調(diào)的無(wú)功功率充足且運(yùn)行安全性有保證，僅選擇最小有功損耗作為目標(biāo)函數(shù)。

4.2 優(yōu)化結(jié)果與分析

由于實(shí)際中兩個(gè)控制量（變壓器變比和無(wú)功補(bǔ)償容量）是離散量，但在程序設(shè)計(jì)中，是當(dāng)作連續(xù)量進(jìn)行計(jì)算的。所以應(yīng)該在用簡(jiǎn)化梯度法算出優(yōu)化結(jié)果后，再根據(jù)實(shí)際情況，選擇和計(jì)算結(jié)果最接近的實(shí)際可選量，然后再計(jì)算一次潮流，得出最后優(yōu)化結(jié)果。用簡(jiǎn)化梯度法算出Qc1=0.0707、Qc2=0.1370、Qc3=0.0643、Qc4=0.0506，T1=1.0567、T2=1.0575。假如無(wú)功補(bǔ)償是分組的并且每組容量是0.005，故第1～4號(hào)節(jié)點(diǎn)的補(bǔ)償組數(shù)是14組、27組、13組、10組。而實(shí)際中，變壓器T1、T2都具有抽頭為1±4×2.5%，故T1、T2分別取1.050、1.050。綜合以上分析，我們可以得到電力系統(tǒng)實(shí)際運(yùn)行中的優(yōu)化結(jié)果是Qc1=0.0700、Qc2=0.1350、Qc3=0.0650、Qc4=0.0500、T1=1.050、T2=1.050。

然后，把上述值代入潮流程序里計(jì)算，得出最終優(yōu)化結(jié)果如表3所示：

表3 最終優(yōu)化結(jié)果

變量名稱(chēng) 上限值 下限制 初始潮流 優(yōu)化結(jié)果

變壓器

變比 T1 1.10 0.90 1.100 1.050

T2 1.10 0.90 1.025 1.050

無(wú)功補(bǔ)償容量 Qc1 0.100 0 0.000 0.0707

Qc2 0.150 0 0.000 0.1350

Qc3 0.100 0 0.000 0.0650

Qc4 0.100 0 0.000 0.0500

發(fā)電機(jī)

無(wú)功出力 QG2 1.00 -0.20 0.2109 0.1357

節(jié)點(diǎn)電壓 V1 1.00 0.90 0.9084 0.9382

V2 1.00 0.90 0.9115 0.9533

V3 1.00 0.90 0.9859 0.9925

V4 1.00 0.90 0.9198 0.9628

V5 —— 1.1000 1.1000

V6 —— 1.0000 1.0000

有功網(wǎng)損 —— 0.1064 0.0939

由表3可見(jiàn)，最小有功網(wǎng)損由初始潮流的為0.1064，經(jīng)優(yōu)化后為0.0939。而優(yōu)化后控制變量和狀態(tài)變量的值都在限制范圍內(nèi)，符合要求，各PV節(jié)點(diǎn)電壓比優(yōu)化前電壓更接近額定值，發(fā)電機(jī)QG2無(wú)功出力減少，由原來(lái)的0.2109變?yōu)?.1357。此結(jié)果表明，此次電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化基本上達(dá)到減少有功網(wǎng)損的目標(biāo)，并提高了負(fù)荷點(diǎn)的電壓質(zhì)量，無(wú)功優(yōu)化取得實(shí)效。

與其他無(wú)功優(yōu)化文獻(xiàn)的優(yōu)化結(jié)果比較，一些文獻(xiàn)的優(yōu)化結(jié)果可達(dá)0.0885，甚至更低。究其原因，應(yīng)為算法本身并不相同，更重要的因?yàn)槭潜疚牡目刂谱兞恐挥凶儔浩髯儽群蜔o(wú)功補(bǔ)償容量，而其他文獻(xiàn)控制量為不僅有變壓器變比和無(wú)功補(bǔ)償容量，還有發(fā)電機(jī)機(jī)端電壓。而控制變量越多無(wú)疑使整個(gè)優(yōu)化結(jié)果變得更好。當(dāng)然各種算法優(yōu)化效果也不盡相同。

圖4

從算法收斂性上看，算法迭代次數(shù)為34次，在開(kāi)始階段，收斂曲線(xiàn)幾乎呈線(xiàn)性下降，下降速度非常快。隨著迭代次數(shù)的增加，其下降速度越來(lái)越小，最大梯度絕對(duì)值向0逼近。當(dāng)?shù)降谑宕螘r(shí)，最大梯度絕對(duì)值已很接近收斂值，即0。這就是說(shuō)，簡(jiǎn)化梯度法在初始點(diǎn)遠(yuǎn)離極小點(diǎn)時(shí)，開(kāi)頭幾步下降是比較快的。這證明了簡(jiǎn)化梯度發(fā)起步階段收斂速度快的優(yōu)點(diǎn)。但此后要經(jīng)過(guò)34次的迭代才滿(mǎn)足收斂值，這說(shuō)明簡(jiǎn)化梯度法在最優(yōu)解附近收斂相當(dāng)緩慢的缺點(diǎn)。

5.結(jié)論

根據(jù)對(duì)電力系統(tǒng)的無(wú)功優(yōu)化計(jì)算和結(jié)果分析，可以得到：簡(jiǎn)化梯度法解算電力系統(tǒng)無(wú)功優(yōu)化，其微分計(jì)算方面要求嚴(yán)格，當(dāng)狀態(tài)變量維數(shù)越高時(shí)，簡(jiǎn)化梯度法每次迭代用牛頓拉夫遜法求解潮流計(jì)算的工作量越大。另外，和一般梯度法一樣，簡(jiǎn)化梯度法雖然從局部看，每次迭代目標(biāo)函數(shù)值下降最快，但從全局看，該法存在鋸齒現(xiàn)象，特別是在最優(yōu)解附近收斂非常慢。算法中控制量要求是連續(xù)量，這跟現(xiàn)實(shí)中控制量往往是離散量的實(shí)際情況不符。故在應(yīng)用簡(jiǎn)化梯度法時(shí)，我們先把離散控制變量當(dāng)做連續(xù)控制變量，然后再把優(yōu)化結(jié)果按照實(shí)際情況修正。另外，罰因子的值和步長(zhǎng)的選取對(duì)函數(shù)的收斂性有很大的影響，并且一維搜索步長(zhǎng)確定較為困難?；陔S機(jī)搜索的現(xiàn)代人工智能算法不需要建立精確的數(shù)學(xué)模型，可以對(duì)原問(wèn)題直接進(jìn)行搜索求解，具有良好的自適應(yīng)性，且能以較大概率收斂到全局最優(yōu)解。如能將簡(jiǎn)化梯度法和人工智能法相互結(jié)合，互相取長(zhǎng)補(bǔ)短，應(yīng)可形成一種優(yōu)秀的算法。

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作者簡(jiǎn)介：熊焰雄（1963—），男，碩士，廣東電力投資有限公司工程師，從事變電繼電保護(hù)、運(yùn)行檢修、電力工程及規(guī)劃等工作。