摘 要：本文簡(jiǎn)要闡述了常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法。由于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法較多，學(xué)生判定級(jí)數(shù)選擇判別法時(shí)比較困難，作者結(jié)合級(jí)數(shù)判別法的使用條件及特點(diǎn)對(duì)判別法進(jìn)行分析，使學(xué)生更好的掌握級(jí)數(shù)判別法。

關(guān)鍵詞：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)；級(jí)數(shù)斂散性判別法；判別法使用條件及特點(diǎn)

無窮級(jí)數(shù)是微積分學(xué)的一個(gè)重要組成部分，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的一種非常有用的數(shù)學(xué)工具。無窮級(jí)數(shù)的中心內(nèi)容是收斂性理論，因而級(jí)數(shù)斂散性的判別在級(jí)數(shù)研究中極其重要。在學(xué)習(xí)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法時(shí)，學(xué)生按照指定的判別法很容易判定級(jí)數(shù)的斂散性，但是學(xué)習(xí)多種判別法后，選擇判別法時(shí)比較困難。主要原因是學(xué)生對(duì)所學(xué)判別法的使用條件及特點(diǎn)不夠熟悉，本文針對(duì)這種情況對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法加以歸納總結(jié)。

1 級(jí)數(shù)收斂的概念

給定一個(gè)數(shù)列{un}，稱

u1+u2+…+un+… （1）

為常數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)，簡(jiǎn)稱常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為.級(jí)數(shù)（1）的前n項(xiàng)之和記為Sn，即Sn=u1+u2+…+un，稱它為級(jí)數(shù)（1）的部分和。若部分和數(shù)列{Sn}有極限S，即，則稱級(jí)數(shù)（1）收斂。若部分和數(shù)列{Sn}沒有極限，則稱級(jí)數(shù)（1）發(fā)散。

注意：研究級(jí)數(shù)的收斂性就是研究其部分和數(shù)列是否存在極限，因此級(jí)數(shù)的收斂性問題是一種特殊形式的極限問題。極限是微積分學(xué)的基礎(chǔ)概念，也是學(xué)生比較熟系的概念，因此在研究級(jí)數(shù)收斂性時(shí)，聯(lián)系極限概念，學(xué)生易于理解。

借助級(jí)數(shù)的性質(zhì)與幾何級(jí)數(shù)，調(diào)和級(jí)數(shù)的斂散性可以判別級(jí)數(shù)的斂散性。例如，由性質(zhì)（1）和當(dāng)|q|<1時(shí)幾何級(jí)數(shù)收斂，可知級(jí)數(shù)收斂；由性質(zhì)（2）和調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散，可知發(fā)散。利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件判定級(jí)數(shù)的斂散性，例如，因，故由級(jí)數(shù)收斂的必要條件知發(fā)散。

2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性判別法

若級(jí)數(shù)各項(xiàng)均為非負(fù)數(shù)，則稱該級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件是它的部分和數(shù)列有上界。正項(xiàng)級(jí)數(shù)有以下幾種常用判別法：

2.1 比較判別法

設(shè)與都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且un≤vn（n=1，2，…），則收斂時(shí)，收斂；發(fā)散時(shí)，發(fā)散。

比較判別法適用范圍比較廣泛，當(dāng)級(jí)數(shù)表達(dá)式型如，un為任意函數(shù)或un含有sinθ或cosθ等三角函數(shù)的因子可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s時(shí)，選用比較判別法。在使用比較判別法時(shí)，需要與另一個(gè)已知的收斂或發(fā)散級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，這個(gè)作為比較用的級(jí)數(shù)通常選幾何級(jí)數(shù)、P級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù)。

例1：判別級(jí)數(shù)的斂散性。

解：由于x>0時(shí)，0

而幾何級(jí)數(shù)的公比，故該幾何級(jí)數(shù)收斂。于是，由比較判別法知，收斂。

2.2 比值判別法

設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且.若0≤r<1，則收斂；若r>1，則發(fā)散。

當(dāng)級(jí)數(shù)含有階乘、n次冪或分子、分母含多個(gè)因子連乘除時(shí)，選用比值判別法。比值判別法不需要與已知的基本級(jí)數(shù)進(jìn)行比較，在實(shí)用上更為方便。

例2：判別級(jí)數(shù)的斂散性。

解：因?yàn)?/p>

由比值判別法知級(jí)數(shù)收斂。

2.3 根植判別法

設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若有，則當(dāng)0≤r<1時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)r>1，則發(fā)散。

當(dāng)級(jí)數(shù)含有n次冪，型如an或（un）n選用根值判別法。根值判別法不需要與已知的基本級(jí)數(shù)進(jìn)行比較。

例3：討論級(jí)數(shù)的斂散性，其中a>0。

解：由于，所以由根植判別法知，當(dāng)a<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)a>1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)a=1時(shí)，所給級(jí)數(shù)是P級(jí)數(shù)，故當(dāng)P>1時(shí)級(jí)數(shù)收斂。

3 交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性判別法

如果級(jí)數(shù)收斂，則稱為絕對(duì)收斂；如果發(fā)散，而收斂，則稱為條件收斂。形如的任意項(xiàng)級(jí)數(shù)，成為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，其中un>0，n=1，2，…。

（萊布尼茨判別法）設(shè)交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足：（1）un≥un+1，n=1，2，…；（2），則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，且其和S≤u1。

例4：討論級(jí)數(shù)的斂散性。

解：由于，

故由萊布尼茨判別法知，交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。

另一方面，當(dāng)時(shí)0

4 結(jié)語

級(jí)數(shù)的斂散性是級(jí)數(shù)理論的核心問題，本文結(jié)合級(jí)數(shù)判別法的使用條件及特點(diǎn)對(duì)判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性做如下總結(jié)：首先檢查是否成立，若不成立，則該級(jí)數(shù)發(fā)散；若成立，利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)判別法判別的斂散性。若收斂，則絕對(duì)收斂；若發(fā)散，且此結(jié)論是由比值判別法或根植判別法做出的，則發(fā)散；若發(fā)散不是由比值判別法或根植判別法做出的，則需直接判別斂散性。

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作者簡(jiǎn)介：李娜（1984—），女，河南商丘人，碩士，助教，主要從事：微分方程數(shù)值解研究。