摘 要：通過建立坐標(biāo)系，將三維立體圖轉(zhuǎn)化成二維的平面圖，結(jié)合橢圓方程，利用開普勒定律和能量守恒定律，分析得到嫦娥三號(hào)著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，近月點(diǎn)的速度、遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度，為嫦娥三號(hào)軟著落提供有效保障。

關(guān)鍵詞：嫦娥三號(hào)；軟著陸；軌道設(shè)計(jì)

0 引言

嫦娥三號(hào)于2013年12月2日1時(shí)30分成功發(fā)射，12月6日抵達(dá)月球軌道。嫦娥三號(hào)在高速飛行的情況下，要保證準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，關(guān)鍵問題是著陸軌道與控制策略的設(shè)計(jì)。其著陸軌道設(shè)計(jì)的基本要求：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道，著陸軌道為從近月點(diǎn)至著陸點(diǎn)。本文通過建立坐標(biāo)系，確定著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置，并計(jì)算出嫦娥三號(hào)相應(yīng)速度的大小與方向。

1 軟著陸軌道位置和速度模型分析[1-3]

為了同環(huán)月運(yùn)動(dòng)的參考系一致，同時(shí)便于對(duì)軟著陸下降窗口進(jìn)行分析，需要將著陸器的運(yùn)動(dòng)表示在月心赤道慣性坐標(biāo)系下。利用軟著陸下降軌跡設(shè)計(jì)的一個(gè)結(jié)論：軟著陸下降軌跡平面在環(huán)月停泊軌道平面內(nèi)?？蓪⒃滦某嗟缿T性系下的著陸器位置表示出來。通過建立月面坐標(biāo)系的三維立體圖及二維平面圖，得到運(yùn)動(dòng)軌跡橢圓方程。依據(jù)其相關(guān)關(guān)系可求出著陸準(zhǔn)備軌道近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置。

根據(jù)開普勒第二定律，嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上環(huán)繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)，嫦娥三號(hào)與月球球心的連線掃過的面積是一個(gè)固定值。這也就意味著，嫦娥三號(hào)在某個(gè)點(diǎn)的速率大小與該點(diǎn)到月心（不是月球表面）的距離的乘積是個(gè)固定值。由于嫦娥三號(hào)繞月球的軌道是由圓形軌道變?yōu)闄E圓形軌道，借助開普勒定律、能量守恒定律求解出近月點(diǎn)及遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度。

2 位置模型及求解

為了同環(huán)月運(yùn)動(dòng)的參考系一致，同時(shí)便于對(duì)軟著陸下降窗口進(jìn)行分析，需要將著陸器的運(yùn)動(dòng)表示在月心赤道慣性坐標(biāo)系下。利用軟著陸下降軌跡設(shè)計(jì)的一個(gè)結(jié)論：軟著陸下降軌跡平面在環(huán)月停泊軌道平面內(nèi)。可將月心赤道慣性系下的著陸器位置表示出來。建立月面三維立體圖及相對(duì)應(yīng)二維平面圖如下圖1，圖2所示。

：為月球赤道平面與嫦娥三號(hào)衛(wèi)星最后階段自由落體的曲線所圍成的夾角。橢圓軌道的圓心為m，s是橢圓的焦點(diǎn)，a是橢圓的長軸，b是橢圓的短軸，A是近月點(diǎn)，B是遠(yuǎn)月點(diǎn)，r是月球的半徑（r=1737.013km）。根據(jù)已知可得著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)AO=15km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100km的橢圓形軌道。

由開普勒第一定律，當(dāng)焦點(diǎn)在軸時(shí)，橢圓的方程是

且橢圓a、b、c滿足

通過代入數(shù)據(jù)求解可得： a=1794.513km，c=42.5km，b=1794.010km

將b帶入橢圓的方程中可得

因此近月點(diǎn)A的（0，15）坐標(biāo)為 和遠(yuǎn)月點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-3574.026）。

通過橢圓方程所得到近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置坐標(biāo)只是月面坐標(biāo)系的平面圖的平面直角坐標(biāo)，并不是所要求的三維球面坐標(biāo)，將平面圖進(jìn)一步分析如圖3。

利用切線的斜率：β=59.4162°

由于嫦娥三號(hào)著陸點(diǎn)的位置為（19.51°W，44.12°N），且經(jīng)緯度就是圓周360度的角度 。因此可得： =44.12°

依據(jù)θ= -（90°-β）可得：θ=13.5362°

由近月點(diǎn)在橢圓軌道的這個(gè)平面與所選嫦娥三號(hào)的著陸月球點(diǎn)的月球面共面，嫦娥三號(hào)的著陸點(diǎn)的位置為（19.51°W，44.12°N），所以近月點(diǎn)的位置為（19.51°W，13.54°N）高度相對(duì)于月球表面為15km ；遠(yuǎn)月點(diǎn)的位置為（160.49°E，13.54°S）高度相對(duì)于月球表面為100km。

3 速度模型及求解

假設(shè)衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中，不考慮其他星體對(duì)它的作用，即機(jī)械能守恒。根據(jù)開普勒第二定律，嫦娥三號(hào)在橢圓軌道上環(huán)繞月球運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)，嫦娥三號(hào)與月球球心的連線掃過的面積是一個(gè)固定值。這也就意味著，嫦娥三號(hào)在某個(gè)點(diǎn)的速率大小與該點(diǎn)到月心（不是月球表面）的距離的乘積是個(gè)固定值。設(shè)近月點(diǎn)速率大小為vA，距離月心為r1；遠(yuǎn)月點(diǎn)速率大小為vB，距離月心為r2，那么

vA·r1=vB·r2

以無窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，由機(jī)械能守恒，那么近月點(diǎn)嫦娥三號(hào)的勢(shì)能為，遠(yuǎn)月點(diǎn)嫦娥三號(hào)的勢(shì)能為（G=6.67×10-11N·m2/kg2為引力常量，M=7.3477×1022kg為月球質(zhì)量，m=2400kg為嫦娥三號(hào)質(zhì)量），而近月點(diǎn)嫦娥三號(hào)的動(dòng)能為，遠(yuǎn)月點(diǎn)嫦娥三號(hào)的動(dòng)能為，因此

如圖4所示，r1=a-c，r2=a+c，A、B兩點(diǎn)為衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道上的近月點(diǎn)和遠(yuǎn)月點(diǎn)，vA、vB分別表示衛(wèi)星在這兩點(diǎn)的速度。

代入相關(guān)數(shù)據(jù)可得：

vA=1.692km/s，方向平行于y軸負(fù)半軸

vB=1.613km/s，方向平行于y軸正半軸

所以得到近月點(diǎn)的速度為1.692km/s，遠(yuǎn)月點(diǎn)的速度為1.613km/s，方向都為橢圓軌道的切線方向，兩點(diǎn)方向相反。

4 結(jié)論

通過將三維空間轉(zhuǎn)化為二維平面研究，通過建立橢圓方程，使研究變得直觀。計(jì)算得到結(jié)果與嫦娥3號(hào)飛行器近月點(diǎn)、遠(yuǎn)月點(diǎn)位置以及運(yùn)行速度相符。為嫦娥三號(hào)軟著落提供有效保障。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐敏，李俊峰.月球探測器軟著陸的最優(yōu)控制[J].清華大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，41（08）：87-89.

[2]王鵬基，張熇，曲廣吉.月球軟著陸飛行動(dòng)力學(xué)和制導(dǎo)控制建模與仿真[J].中國科學(xué)，2009，39（03）：521-527.

作者簡介： 冷建華（1978—），男，江西高安人，講師，碩士，研究方向：計(jì)算機(jī)仿真。