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        收斂常數項級數和的求法

        2014-10-21 19:55:51鄒莉
        數學學習與研究 2014年21期

        鄒莉

        【摘要】本文歸納總結了利用收斂定義,已知函數的展開式及級數的運算,冪級數的和函數,函數的傅里葉展式等幾種方法求常數項級數和的方法.

        【關鍵詞】常數項級數;收斂;冪級數;和函數;傅里葉展開式

        一、利用收斂定義求和

        當常數項級數的一般項為或可化為相鄰兩項代數和的表示式時,可用收斂定義求其和.

        例1 ∑∞n=1lnn2-1n2.

        解 Un=∑∞n=1lnn2-1n2= [ln(n-1)-lnn]+[ln(n+1)-lnn].

        Sn=∑∞n=2[ln(n-1)-lnn]+[ln(n+1)-lnn]= [ln1-ln2]+[ln3-ln2]+ [ln2-ln3]+[ln4-ln3]+…+[ln(n+1)-lnn]=(ln1-lnn)+ln(n+1)-ln2=lnn+1n-ln2,

        limn→∞Sn=limn→∞lnn+1n-ln2=-ln2,則S=-ln2.

        二、利用已知函數的展開式及級數的運算

        利用已知函數的冪級數展開式或已知和的常數項級數,通過運算,將所求級數化為已知其和的級數的代數和,熟記ex,cosx,sinx,ln(1+x),(1+x)m的展開式,∑∞n=0xn=11-x (x<1), ∑∞n=0(-1)nxn=11+x (x<1),∑∞n=1xnn=-ln(1-x)(-1≤x<1).

        例2 ∑∞n=1n2n!.

        解 利用已知函數ex展開式:ex=∑∞n=1xnn!,兩端對x求導ex=∑∞n=1nxn-1n!…(1).

        (1)式兩邊同時乘以x,xex=∑∞n=1nxnn!…(2).

        (2)式兩端對x求導:

        ex+xex=∑∞n=1n2xn-1n!,令x=1,則e+e=∑∞n=1n2n!,

        ∴S=∑∞n=1n2n!=2e.

        三、利用冪級數的和函數

        根據所給數項級數一般特點,找一冪級數使給定的數項級數可看作是該冪級數在x=x0處所得到的數項級數,求出該冪級數的收斂區(qū)域和S(x),代入x0得到數項級數的和S(x0).

        例3 求數項級數的和.

        解 構造冪級數∑∞n=1(n+1)2n!xn,當x=1時即為所求數項級數的和.∑∞n=1(n+1)2n!xn的收斂半徑R=limn→∞(n+1)2n?。╪+2)2(n+1)!=∞,則收斂域(-∞,+∞).

        S(x)=∑∞n=1(n+1)2n!xn 兩端積分:

        ∫x0S(x)dx=∑∞n=1∫x0(n+1)2n!xndx=∑∞n=1(n+1)n!xn+1=x2∑∞n=1xn-1(n-1)!+x∑∞n=1xnn!=x2ex+xex.

        對等式兩邊求導S(x)=(x2+3x+1)ex,令x=1,則S(1)=5e.∴∑∞n=1(n+1)2n!=5e.

        四、利用函數的傅里葉展開式

        選定函數f(x),求f(x)的傅里葉級數,根據此級數的系數特性,選取適當的x值代入,確定所求和的數項級數.

        例4 設周期函數f(x)在-π,π上的表達式為f(x)=e2x,試把它展開成傅里葉級數,并求∑∞n=1(-1)n-1n2+4的和.

        解 a0=1π∫π-πe2xdx=e2π-e-2π2π,

        an=1π∫π-πe2xcosnxdx=12π∫π-πcosnxdex=

        12πe2xcosnxπ-π+n2π∫π-πe2xsinnxdx=(-1)n(e2π-e-2π)2π+n4πe2xsinnxπ-π-

        n24π∫π-πe2xcosnxdx=-n24π∫π-πe2xcosnxdx+(-1)n(e2π-e-2π)2π,

        移項得an=2(-1)nn2+4·e2π-e-2ππ.同理bn=1π∫π-πe2xsinnxdx=n(-1)n+1n2+4·e2π-e-2ππ.

        f(x)=e2x在(-π,π)內連續(xù),但f(-π+0)=e-2π≠f(π+0)=e2π.

        e2x=e2π-e-2ππ14+∑∞n=1(-1)nn2+4(2cosnx-nsinnx),

        x≠(2n+1)π,n=0,±1,±2,…,在上述間斷點中,其級數收斂于e2π+e-2π2π.

        在上述展示中取x=0得∑∞n=1(-1)n-1n2+4=18-π4sh(2π).

        【參考文獻】

        [1]毛綱源.高等數學解題方法技巧歸納[M].武漢:華中科技大學出版社,2013.

        [2]同濟大學數學教研室編.高等數學·第六版[M].北京:高等教育出版社,2007.

        [3]孫清華,孫昊.高等數學疑難分析與解題方法[M].武漢:華中科技大學出版社,2009.

        [4]王全迪,郭艾.高等數學教學輔導書[M].北京:高等教育出版社,2010.

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