摘 要：在高中數(shù)學教材中就涉及了關于漸近線的知識，例如：正弦函數(shù)圖象和雙曲線的漸近線，但是，并沒有給出漸近線的準確定義、分類以及求法。這會造成許多學生對漸近線知識點整體性的缺失，也不利于與高等數(shù)學教學的銜接。針對針以上問題利用高等數(shù)學的方法解決初等數(shù)學所涉及的漸近線問題，幫助高中生更好地了解和運用漸近線的知識。

關鍵詞：漸近線；分類；計算方法

一、漸近線的定義

定義：當曲線C上動點P沿著曲線C無限遠移時，若動點P到某直線l的距離無限趨近于0，則稱直線l是曲線C的漸近線。

二、漸近線的分類

在中學階段我們已經(jīng)學習到了幾種類型的漸近線。例如，中學階段經(jīng)常涉及到函數(shù)f（x）=x+■，它的圖象有兩條漸近線，分別是直線x=0（y軸）和直線y=x；又如，反比例函數(shù)f（x）=■，它的圖象同樣有兩條漸近線，分別是直線x=0（y軸）和直線y=0（x軸）。那么，我們根據(jù)漸近線與x軸的位置關系，可將漸近線分為三種類型：水平漸近線（與x軸平行），垂直漸近線（與x軸垂直），斜漸近線（與x軸有個夾角α，且α≠0，α≠■）。接下來，我們利用極限的知識給出三種類型漸近線的定義意義及根據(jù)定義求解漸近線的方法。

1.水平漸近線與垂直漸近線

若■f（x）=b或■f（x）=b，則直線y=b是曲線y=f（x）的水平漸近線。

若■f（x）=∞或■f（x）=∞，則直線y=b是曲線y=f（x）的垂直漸近線。

例：求曲線f（x）=■+3的漸近線

解：因為■f（x）=■■+3=3，故直線y=3是曲線y=f（x）的水平漸近線.

以■f（x）=■■+3=∞，故直線x=2是曲線y=f（x）的水平漸近線.

2.斜漸近線

在高中階段斜漸近線出現(xiàn)的頻率非常高，它不像水平漸近線和垂直漸近線那樣，可以輕松地寫出漸近線的方程，下面以雙曲線的漸近線為例，來探索斜漸近線方程的求解方法。

考慮雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0），雙曲線圖象的范圍受到哪些限制？

根據(jù)雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限圖像的情況，因為x＞0，y＞0，y=■■（x＞a）＜■■=■x，所以，雙曲線y=■■（x＞a）的圖象始終在直線y=■x的下方，其他三個象限可用類似方法討論，故可界定雙曲線■-■=1的直線為y=±■x.

我們知道在無窮遠處函數(shù)圖象與其漸近線無限靠近但是不能相交，也就是說，在無窮遠處函數(shù)圖象上的點到漸近線的距離趨近于零，那么，由上面的界定范圍，我們來驗證一下直線y=±■x是否真的就是雙曲線■-■=1（a＞0，b＞0）的漸近線.

由雙曲線的對稱性，可以只研究第一象限的情況，設P（x，y）為第一象限內(nèi)雙曲線上的點，過點P作PQ垂直于漸近線l，交漸近線l于點Q

則PQ=■=■=■·■

當x→+∞時，x+■→+∞，■·■→0，即MQ→0.這表明，隨著x的增大，雙曲線在第一象限內(nèi)的點在直線y=■x的下方且逐漸接近于這條直線。

接下來，我們把這個理論應用的更一般的情形，從而得到曲線y=f（x）的斜漸近線方程的求解方法

如右圖所示，若直線y=kx+b是曲線y=f（x）的斜漸近線（直線l與x軸正半軸的夾角為α，且α≠0，α≠■,）設曲線上y=f（x）動點P的坐標為（x，f（x）），經(jīng)計算可知PB=f（x）-（kx+b）.在Rt△PMB中，∠BPM=α，于是，動點P到直線y=kx+b的距離PM=PBcosα=f（x）-（kx+b）cosα，以α為常數(shù)，所以，當動點P沿曲線y=f（x）向周正半軸移動時，即x→+∞時，有■［f（x）-kx-b］=0，則有■［f（x）-kx-b］=0，從而有k=■■，b=■［f（x）-kx］

由上述討論知，若直線y=kx+b是曲線y=f（x）的斜漸近線，則k和b由上述式子給出

例：求曲線f（x）=■■的漸近線

解：因為■■■=+∞，■■■=-∞，則x=1是曲線的垂直漸近線，又有k=■■=■■=■，b=■［f（x）-kx］=■［■-■x］=■■=-■，則曲線f（x）的漸近線是y=■x-■.

例：求雙曲線■-■=1的漸近線

解y=f（x）=±■■.設它的漸近線是y=kx+b，則k=■■=■±■■=±■，b=■（f（x）-ax）=■（±■■）-■x）=■±■（■-x）=■±■■=0

作者簡介：

徐嘉龍（1988年4月— ），男，遼寧省阜新市，學歷：研究生在讀，研究方向：運籌學與控制論。

（作者單位 東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）

編輯 代敏麗