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        現(xiàn)代數(shù)學下的漸近線

        2014-10-21 18:36:18徐嘉龍
        新課程學習·上 2014年5期
        關鍵詞:漸近線計算方法分類

        摘 要:在高中數(shù)學教材中就涉及了關于漸近線的知識,例如:正弦函數(shù)圖象和雙曲線的漸近線,但是,并沒有給出漸近線的準確定義、分類以及求法。這會造成許多學生對漸近線知識點整體性的缺失,也不利于與高等數(shù)學教學的銜接。針對針以上問題利用高等數(shù)學的方法解決初等數(shù)學所涉及的漸近線問題,幫助高中生更好地了解和運用漸近線的知識。

        關鍵詞:漸近線;分類;計算方法

        一、漸近線的定義

        定義:當曲線C上動點P沿著曲線C無限遠移時,若動點P到某直線l的距離無限趨近于0,則稱直線l是曲線C的漸近線。

        二、漸近線的分類

        在中學階段我們已經(jīng)學習到了幾種類型的漸近線。例如,中學階段經(jīng)常涉及到函數(shù)f(x)=x+■,它的圖象有兩條漸近線,分別是直線x=0(y軸)和直線y=x;又如,反比例函數(shù)f(x)=■,它的圖象同樣有兩條漸近線,分別是直線x=0(y軸)和直線y=0(x軸)。那么,我們根據(jù)漸近線與x軸的位置關系,可將漸近線分為三種類型:水平漸近線(與x軸平行),垂直漸近線(與x軸垂直),斜漸近線(與x軸有個夾角α,且α≠0,α≠■)。接下來,我們利用極限的知識給出三種類型漸近線的定義意義及根據(jù)定義求解漸近線的方法。

        1.水平漸近線與垂直漸近線

        若■f(x)=b或■f(x)=b,則直線y=b是曲線y=f(x)的水平漸近線。

        若■f(x)=∞或■f(x)=∞,則直線y=b是曲線y=f(x)的垂直漸近線。

        例:求曲線f(x)=■+3的漸近線

        解:因為■f(x)=■■+3=3,故直線y=3是曲線y=f(x)的水平漸近線.

        以■f(x)=■■+3=∞,故直線x=2是曲線y=f(x)的水平漸近線.

        2.斜漸近線

        在高中階段斜漸近線出現(xiàn)的頻率非常高,它不像水平漸近線和垂直漸近線那樣,可以輕松地寫出漸近線的方程,下面以雙曲線的漸近線為例,來探索斜漸近線方程的求解方法。

        考慮雙曲線■-■=1(a>0,b>0),雙曲線圖象的范圍受到哪些限制?

        根據(jù)雙曲線的對稱性,我們可以只研究第一象限圖像的情況,因為x>0,y>0,y=■■(x>a)<■■=■x,所以,雙曲線y=■■(x>a)的圖象始終在直線y=■x的下方,其他三個象限可用類似方法討論,故可界定雙曲線■-■=1的直線為y=±■x.

        我們知道在無窮遠處函數(shù)圖象與其漸近線無限靠近但是不能相交,也就是說,在無窮遠處函數(shù)圖象上的點到漸近線的距離趨近于零,那么,由上面的界定范圍,我們來驗證一下直線y=±■x是否真的就是雙曲線■-■=1(a>0,b>0)的漸近線.

        由雙曲線的對稱性,可以只研究第一象限的情況,設P(x,y)為第一象限內(nèi)雙曲線上的點,過點P作PQ垂直于漸近線l,交漸近線l于點Q

        則PQ=■=■=■·■

        當x→+∞時,x+■→+∞,■·■→0,即MQ→0.這表明,隨著x的增大,雙曲線在第一象限內(nèi)的點在直線y=■x的下方且逐漸接近于這條直線。

        接下來,我們把這個理論應用的更一般的情形,從而得到曲線y=f(x)的斜漸近線方程的求解方法

        如右圖所示,若直線y=kx+b是曲線y=f(x)的斜漸近線(直線l與x軸正半軸的夾角為α,且α≠0,α≠■,)設曲線上y=f(x)動點P的坐標為(x,f(x)),經(jīng)計算可知PB=f(x)-(kx+b).在Rt△PMB中,∠BPM=α,于是,動點P到直線y=kx+b的距離PM=PBcosα=f(x)-(kx+b)cosα,以α為常數(shù),所以,當動點P沿曲線y=f(x)向周正半軸移動時,即x→+∞時,有■[f(x)-kx-b]=0,則有■[f(x)-kx-b]=0,從而有k=■■,b=■[f(x)-kx]

        由上述討論知,若直線y=kx+b是曲線y=f(x)的斜漸近線,則k和b由上述式子給出

        例:求曲線f(x)=■■的漸近線

        解:因為■■■=+∞,■■■=-∞,則x=1是曲線的垂直漸近線,又有k=■■=■■=■,b=■[f(x)-kx]=■[■-■x]=■■=-■,則曲線f(x)的漸近線是y=■x-■.

        例:求雙曲線■-■=1的漸近線

        解y=f(x)=±■■.設它的漸近線是y=kx+b,則k=■■=■±■■=±■,b=■(f(x)-ax)=■(±■■)-■x)=■±■(■-x)=■±■■=0

        作者簡介:

        徐嘉龍(1988年4月— ),男,遼寧省阜新市,學歷:研究生在讀,研究方向:運籌學與控制論。

        (作者單位 東北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院)

        編輯 代敏麗

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