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        在解復(fù)數(shù)題中如何培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識

        2014-10-21 19:34:08宋林鋒

        宋林鋒

        摘要: 復(fù)數(shù)運算是一種復(fù)雜運算,在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,有意識地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識是一個重要課題。本文從整體處理方法、數(shù)形結(jié)合方法等六個方面舉例談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識.

        關(guān)鍵詞:復(fù)數(shù) 整體處理方法 數(shù)形結(jié)合方法 求簡意識

        中圖分類號:G712文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A 文章編號:1673-9795(2014)02(b)-0000-00

        復(fù)數(shù)是在實數(shù)的基礎(chǔ)上擴(kuò)充而得到的. 這一擴(kuò)充過程體現(xiàn)了實際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用,同時也體現(xiàn)了人類思維的作用,從而使得數(shù)學(xué)更加光彩奪目,但復(fù)數(shù)的概念性強,性質(zhì)獨特,且與三角函數(shù)、幾何、多項式等方面想聯(lián)系,因此,在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識. 本文從以下五個方面談了如何在活解復(fù)數(shù)題中培養(yǎng)求簡意識.

        一 在活解復(fù)數(shù)題中運用整體處理的方法能使求解簡單,從而培養(yǎng)學(xué)生的求解意識. 以下四個例子用了四種方法介紹了整體處理的手段.

        例1. 已知 、 是兩個復(fù)數(shù), , , 是正實數(shù),求 。

        解:

        此例從整體著眼,利用模與模及共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì),直接從整體出發(fā)來計算,若從局部出發(fā)進(jìn)行復(fù)數(shù)計算求模會造成很大的麻煩.

        例2.已知 ,求 。

        解:

        而 ,

        此例不是直接代入來計算,先整體化簡,最后再代入計算,這樣簡化效果十分明顯.

        例3.已知復(fù)數(shù) 滿足 ,求 的輻角主值的取值范圍.

        解:設(shè) ,則

        因為 ,則

        故 在以 為圓心, 為半徑的圓上及內(nèi)部.

        當(dāng)過原點的直線 與圓 相切時,由 得

        這就是所求的 的輻角主值的取值范圍.

        此例更是整體處理的精彩應(yīng)用,乍一看感到無從下手,但對所求作整體遷移,變換了視覺,使問題豁然開朗,從而使問題輕易獲解.

        二 數(shù)形結(jié)合方法在簡化復(fù)數(shù)計算中也有很大的優(yōu)越性.

        例4.已知復(fù)數(shù)滿足 ,且 ,求 、 .

        解:

        、 、 在復(fù)平面上 的同一圓上

        顯然點 在第一象限內(nèi)(如圖所示).

        又因為 對應(yīng)向量為復(fù)數(shù) , 對應(yīng)向量所構(gòu)成平行四邊形的對角向量,所以只有

        故得所求: 或

        本例根據(jù)所給復(fù)數(shù)的具體條件,找出其幾何特征,從而使所求問題變得簡單明了.

        三 運用輻角的運算性質(zhì),使有關(guān)復(fù)數(shù)求解的問題變得更加直接.

        例5.設(shè)復(fù)數(shù) 的輻角主值是 , 的輻角主值是 ,求 .

        解:由輻角的性質(zhì), 是 的輻角,

        所以

        進(jìn)而

        故可得

        四 巧用復(fù)數(shù)共軛,易得結(jié)論.

        例6.設(shè) 是實系數(shù)一元二次方程 的兩個根,且知 是虛數(shù), 是實數(shù)。求 的值.

        解:由實系數(shù)方程虛根共軛成對性質(zhì)知 ,

        又因為 是實數(shù) 所以 進(jìn)而

        又 故

        五 設(shè)而不求為計算構(gòu)筑橋梁,從而使計算簡單方便.

        例7.設(shè) , ,

        求 得值.

        解:由 ,易得

        設(shè) ,

        則有 , ,

        求得

        故 .

        總之,在復(fù)數(shù)運算中,要多方面思考,做到不僅會算,更要少算,甚至?xí)凰?,在整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等的指導(dǎo)下,有意識地培養(yǎng)學(xué)生的求簡意識.

        參考文獻(xiàn)

        鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)倫(第三版) . 北京:高等教育出版社,2006年.

        邱金俤.復(fù)變函數(shù)教程 .北京:中國鐵道出版社,2008年.

        王萼芳,高等代數(shù)(第三版). 北京:高等教育出版社,2003年.

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