什么是數(shù)學(xué)模型？數(shù)學(xué)模型是一種常見(jiàn)的解決應(yīng)用問(wèn)題的思考方法，其實(shí)質(zhì)是打開語(yǔ)言的外殼，從實(shí)際問(wèn)題中提取關(guān)鍵性的基本量，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)表達(dá)，并進(jìn)行推理、計(jì)算、論證等，最后得出結(jié)論。利用建模方法來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，進(jìn)一步減少學(xué)生在解應(yīng)用問(wèn)題時(shí)的思維障礙。下面介紹初中階段幾種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)模型：

一、方程（組）模型

利用“方程（組）”模型解決實(shí)際生活問(wèn)題，如利息和利率、工程問(wèn)題、百分比問(wèn)題、行程問(wèn)題、濃配問(wèn)題、勞力分配等問(wèn)題。

例1.師徒兩人檢修一條長(zhǎng)270米的自來(lái)水管道，師傅每小時(shí)比徒弟多檢修10米，兩人從管道兩端同時(shí)開始檢修，3小時(shí)后完成任務(wù)。師傅與徒弟每小時(shí)各檢修多少？

解：設(shè)徒弟每小時(shí)檢修x米，則師傅每小時(shí)檢修（x+10）米，根據(jù)題意得3x+3（x+10）=270

解得x=40，則x+10=50

答：略。

二、不等式（組）模型

現(xiàn)實(shí)生活中，廣泛存在數(shù)量之間的不等關(guān)系，諸如方案設(shè)計(jì)，最佳優(yōu)化問(wèn)題，可以將實(shí)際問(wèn)題建立不等式（組）模型來(lái)解決。

例2.某校七年級(jí)408名師生外出春游，租用44座和40座的兩種客車。如果44座的客車租用了2輛，那么40座的客車至少需租用多少輛？

分析：根據(jù)題意，找到數(shù)量關(guān)系，利用不等式來(lái)解決。

解：設(shè)40座的客車租用x輛，根據(jù)題意，得2×44+40x≥408

解得x≥8

答：40座的客車至少需租用8輛。

三、平面幾何模型

幾何與人類生活和實(shí)際需要密切相關(guān)，諸如測(cè)高量距、航海、道路拱橋設(shè)計(jì)等涉及一定圖形的性質(zhì)時(shí)，常需建立“幾何”模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，加以解決。

例3.如下圖，根據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海某城市A正南方向220 km，B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20 km，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)正在以15 km/h的速度沿北偏東30°方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過(guò)四級(jí)，則成為受臺(tái)風(fēng)影響。問(wèn)：該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？

四、函數(shù)模型

函數(shù)反映了事物間的廣泛聯(lián)系，提示了現(xiàn)實(shí)世界眾多的數(shù)量關(guān)系及運(yùn)動(dòng)規(guī)律?，F(xiàn)實(shí)生活中的許多問(wèn)題，如造價(jià)成本低、風(fēng)險(xiǎn)決策、股市、扭虧增盈等問(wèn)題，常可建立函數(shù)模型求解。

例4.某市移動(dòng)公司開設(shè)了兩種通訊業(yè)務(wù)：A種業(yè)務(wù)先繳20元月租費(fèi)，然后每通話1分鐘再付電話費(fèi)0.15元；B種業(yè)務(wù)不繳月租費(fèi)，每通話一分鐘付電話費(fèi)0.20元（均指市內(nèi)通話），若一個(gè)月市內(nèi)通話x分鐘，兩種市內(nèi)通話費(fèi)用分別為yA元、yB元。

（1）寫出yA、yB與x的函數(shù)關(guān)系式。

（2）一個(gè)月內(nèi)通話時(shí)間為多少分鐘時(shí)，兩種通訊方式的費(fèi)用相同？

（3）若某人預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)使用市話費(fèi)用100元，應(yīng)選擇哪種通訊方式？

分析：通過(guò)函數(shù)模型建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系。再根據(jù)實(shí)際情況加以判斷。

解：（1）yA=20+0.15x，yB=0.20x

（2）兩種通訊方式的費(fèi)用相同 ∴yA=yB，即20+0.15x=0.20x

解得x=400，即一個(gè)月通話400分鐘兩種通訊方式相同。

（3）∵預(yù)計(jì)一個(gè)月內(nèi)通話費(fèi)用為100元

∴20+0.15xA=100，0.20xB=100，解得xA=400，xB=500

xA

五、統(tǒng)計(jì)模型

統(tǒng)計(jì)知識(shí)在自然科學(xué)、經(jīng)濟(jì)、人文、管理、工程技術(shù)等眾多領(lǐng)域有著越來(lái)越多的應(yīng)用，諸如人口統(tǒng)計(jì)、公司的財(cái)務(wù)統(tǒng)計(jì)、各類投票選舉的問(wèn)題。需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為統(tǒng)計(jì)模型，利用有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)加以解決。

例5.為了從甲、乙兩名學(xué)生中選拔一人參加全市中學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作競(jìng)賽，每個(gè)月對(duì)他們的實(shí)驗(yàn)水平進(jìn)行一次測(cè)量，如圖，給出賽前的五次測(cè)量成績(jī)。

（1）分別求出甲、乙兩名同學(xué)5次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的平均數(shù)和方差。

（2）如果你是輔導(dǎo)老師，應(yīng)該派誰(shuí)參加競(jìng)賽，請(qǐng)結(jié)合圖形簡(jiǎn)要說(shuō)明理由。

分析：統(tǒng)計(jì)模型中的平均數(shù)、方差、中位數(shù)、眾數(shù)等是常用的幾個(gè)參數(shù)。所以，要熟悉這些知識(shí)點(diǎn)，并且利用他們加以選擇判斷。

（2）應(yīng)派甲同學(xué)參加這次比賽。通過(guò)這次比賽盡管可以看出乙的成績(jī)比甲相對(duì)穩(wěn)定，但甲的成績(jī)是呈上升趨勢(shì)，而乙的成績(jī)一直沒(méi)有太大長(zhǎng)進(jìn)，甚至有下滑的趨勢(shì)，因此選派甲同學(xué)參賽更合適。

“授人以魚，不如授人以漁”。數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透建模思想，教會(huì)學(xué)生解決問(wèn)題的方法，才是新一輪課改的真正目的。

參考文獻(xiàn)：

[1]韓樹紅.初中數(shù)學(xué)建模的常見(jiàn)類型.初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2007（2）：32-35.

[2]張向東.函數(shù)建模應(yīng)用題解題策略.中小學(xué)數(shù)學(xué)，2007：27-28.

作者簡(jiǎn)介：張微，女，出生年月：1983.03，本科，就職于江蘇省徐州市銅山區(qū)鄭集鎮(zhèn)中心中學(xué)，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。

誗編輯 趙飛飛