趙翠蘭 陳立宏 李勇平

1（中國科學(xué)院上海應(yīng)用物理研究所 嘉定園區(qū) 上海 201800）

2（中國科學(xué)院大學(xué) 北京 100049）

3（中國科學(xué)院核輻射與核能技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 上海 201800）

4（寧德新能源科技有限公司 福建 352100）

傳統(tǒng)的核輻射成像系統(tǒng)采用針孔式的準(zhǔn)直器雖然能實(shí)現(xiàn)較高的空間分辨率，但探測效率非常低，因此其應(yīng)用受到限制。1961年Mertz等[1]提出的編碼孔成像技術(shù)為新型核輻射成像設(shè)備的研制提供了理論依據(jù)。他們采用的編碼孔徑為菲涅爾波帶板(Finel Zone Plate, FZP)，它采集光子的效率要比傳統(tǒng)的單針孔高得多，但是FZP只有在直徑無窮大時(shí)才會有較好的相關(guān)特性。隨著編碼孔成像技術(shù)的發(fā)展，相繼出現(xiàn)了隨機(jī)陣列(Random arrays, NA)編碼板、非冗余陣列(Non Redundant Arrays, NRA)編碼板、均勻冗余陣列(Uniformly Redundant Arrays, URA)編碼板，其相關(guān)特性有了很大的改善。URA陣列是1978年Fenimore等[2]提出的，很快在X射線、g射線星體成像以及g相機(jī)等遠(yuǎn)場成像領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，其優(yōu)點(diǎn)在于在有限大小內(nèi)具有理想的相關(guān)特性，開孔率高因而能顯著提高探測器對射線的收集率，在保持針孔成像較高分辨率的基礎(chǔ)上，提高了信噪比(Signal to Noise Ratio, SNR)和系統(tǒng)的靈敏度[3]。1989年Gottesmen[4]在URA的基礎(chǔ)上提出了修正均勻冗余陣列(Modified Uniformly Redundant Arrays,MURA)。它兼顧URA陣列的所有優(yōu)點(diǎn)，而且可以排列成方形使得加工與使用都更為方便。

編碼孔成像技術(shù)常用的解碼算法有最大似然-期望最大化(Maximum Likelihood-Expectation Maximization, MLEM)迭代算法、δ 解碼(δ decoding)算法和精細(xì)采樣平衡解碼(Finely sampling balanced decoding, FSBD)算法，MLEM迭代算法雖然在效果上可以達(dá)到最優(yōu)，但是算法本身比較復(fù)雜，迭代計(jì)算需要很長時(shí)間才能獲得到較好的收斂性；相比較而言，后兩種算法更簡單，收斂速度快，在模擬仿真試驗(yàn)時(shí)圖像重建的速度更快，因此僅采用δ解碼算法和FSBD算法為后續(xù)的實(shí)驗(yàn)做理論指導(dǎo)。硬件平臺方面我們已研發(fā)出較高分辨率的探測器模塊[5]，并設(shè)計(jì)了4個(gè)MURA 19×19循環(huán)周期排列的鎢鉛合金編碼板[6]。在MATLAB環(huán)境下對解碼算法進(jìn)行編程實(shí)現(xiàn)，對它們的成像質(zhì)量進(jìn)行了對比研究，并且對單點(diǎn)源和多點(diǎn)源的圖像重建進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)際驗(yàn)證。

1 解碼矩陣算法

對探測器上得到的編碼板投影數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，從而恢復(fù)出放射源分布圖的過程稱為解碼，也叫做圖像重建。衡量編碼準(zhǔn)直器性能的一個(gè)主要指標(biāo)就是它的自相關(guān)特性（AG?是否趨近于δ函數(shù)，A為準(zhǔn)直器陣列，G為解碼矩陣），利用自相關(guān)特性進(jìn)行圖像解碼，從而可以重建出放射源的分布圖。A經(jīng)過放射源投影后在探測器上得到的是A￠，對G進(jìn)行相應(yīng)的處理得到G￠，然后利用就可以恢復(fù)出放射源的分布圖。

將探測器投影圖像進(jìn)行數(shù)字化處理，即將每個(gè)準(zhǔn)直器小孔的投影離散化成為一個(gè)a×a的矩陣，a稱為成像系統(tǒng)的采樣數(shù)，且滿足：

式中，pd是探測器上一個(gè)像素的大?。籱是成像系統(tǒng)放大倍數(shù)；pn準(zhǔn)直器小孔單元大小。如圖1所示，圖中a=4，準(zhǔn)直器小孔的投影被離散化為一個(gè) 4×4的矩陣形式。

圖1 準(zhǔn)直器小孔采樣示意圖Fig.1 Schematic diagram of sampling hole collimator.

可以將A￠表示為：

式中，Ad是多個(gè)ra×ra的矩陣，它是由編碼函數(shù)A擴(kuò)展而來，將A中的每一個(gè)元素都擴(kuò)展成a×a矩陣，并且矩陣中第一個(gè)元素與編碼函數(shù)A中對應(yīng)元素相同，其余元素都為0。為了方便A￠與解碼矩陣G進(jìn)行周期相關(guān)運(yùn)算，必須將解碼矩陣的每個(gè)元素同樣擴(kuò)展成為a×a矩陣，矩陣元素的選取直接影響到解碼圖像的質(zhì)量[7]。根據(jù)a×a矩陣元素分布不同，解碼矩陣算法分兩類：δ解碼與精細(xì)采樣平衡解碼。

1.1 δ解碼

將G的每個(gè)元素?cái)U(kuò)展成a×a的解碼函數(shù)采樣矩陣時(shí)，a×a矩陣的第一個(gè)元素為1或?1，其余元素的值為0，G￠的1和?1的選取根據(jù)a=1時(shí)的解碼矩陣而定。這種算法稱為δ解碼算法。

表5和表6采用相同的統(tǒng)計(jì)手段，表7描述了進(jìn)口企業(yè)和非進(jìn)口企業(yè)的New同Pnew均值，基于進(jìn)口多樣性指標(biāo)排列結(jié)果得出進(jìn)口企業(yè)的New以及Pnew值。對表7結(jié)果進(jìn)行分析，New和Pnew的均值與進(jìn)口多樣性間呈現(xiàn)正相關(guān)性，兩種企業(yè)的創(chuàng)新能力指標(biāo)呈現(xiàn)顯著差異性。非進(jìn)口企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新能力比進(jìn)口企業(yè)平均水平低，對兩種企業(yè)的首組數(shù)據(jù)實(shí)施分析得到，兩種企業(yè)的產(chǎn)品創(chuàng)新能力差異的取值條件是［62%,98%］；同第三組數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，差異高達(dá)85%～152%。在進(jìn)口企業(yè)中，即使各組間差異幅度不明顯，New與Pnew的均值也隨著進(jìn)口多樣性指標(biāo)增多而提高。

以 MURA 3×3編碼板、采樣數(shù)a=4為例，圖2(a)、(b)分別為MURA編碼板函數(shù)和a=1的解碼函數(shù)，圖2 (c)為δ解碼函數(shù)。

圖2 MURA 3×3編碼(a、b)及δ解碼(c)Fig.2 MURA 3×3 coding (a, b) and δ decoding (c).

δ解碼函數(shù)的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(Point Spread Function,PSF)可以寫為[6]：

式中，?為反演操作。

1.2 精細(xì)采樣平衡解碼

將G的每個(gè)元素?cái)U(kuò)展成a×a的解碼函數(shù)采樣矩陣時(shí)，a×a矩陣的每一個(gè)元素為1或?1，G￠的1和?1的選取根據(jù)a=1時(shí)的解碼矩陣而定。這種算法稱為精細(xì)采樣平衡解碼算法。圖3為精細(xì)采樣平衡碼函數(shù)。

圖3 精細(xì)采樣平衡解碼Fig.3 Finely sampling balanced decoding functions.

由以上發(fā)現(xiàn)G￠可以表示成：

精細(xì)采樣平衡解碼算法的點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)寫成[6]：

幾何分辨率是編碼孔徑成像系統(tǒng)的一項(xiàng)重要指標(biāo)，它的優(yōu)劣直接影響到成像系統(tǒng)的定位精度。PSF也稱為點(diǎn)源響應(yīng)，當(dāng)兩個(gè)放射源之間的距離是PSF的半高寬(Full Width at Half Maximum, FWHM)時(shí)，認(rèn)為這兩個(gè)放射源剛好能夠在重建圖像中被分離開，因此將系統(tǒng)PSF的FWHM稱為系統(tǒng)的幾何分辨率。我們假設(shè)a=3對兩種解碼PSF進(jìn)行對比分析，如圖4所示[8]。兩種解碼的FWHM是一樣的，按照幾何分辨率的定義，可知兩種解碼算法所得重建圖像的分辨率應(yīng)該是一致的。但是比較式(5)和(6)可知，精細(xì)采樣解碼算法的PSF可以看出是從δ解碼算法的PSF與H卷積得到的，相當(dāng)于對δ解碼算法的PSF做了一次低通濾波。所以推斷出，精細(xì)采樣平衡解碼算法所得的結(jié)果應(yīng)當(dāng)比δ解碼算法重建結(jié)果更加清晰。

圖4 兩種解碼算法的PSF比較Fig.4 Comparison of PSFs of two decoding algorithms.

2 近場成像的數(shù)據(jù)矯正

圖5為編碼孔徑成像的幾何示意圖，放射源、編碼孔準(zhǔn)直器與探測器平面相互平行，放射源到編碼板的距離為a，編碼板到探測器的距離為b，一般將b作為系統(tǒng)焦距。用表示放射源的強(qiáng)度，表示探測器上位置處的粒子計(jì)數(shù)，它可以表示成[9]：

圖5 編碼孔徑成像系統(tǒng)幾何示意圖Fig.5 Schematic diagram of the geometry of coded aperture imaging system.

其中：

因?yàn)閦=a+b，記是放射源平面上的位置矢量經(jīng)過編碼孔中心后在探測器上的投影矢量。

設(shè)定

則式(8)還可表示成：

3 實(shí)驗(yàn)測試

仿真過程在探測器理想投影的基礎(chǔ)上，讓投影的每個(gè)像素與一個(gè)二維高斯分布進(jìn)行卷積運(yùn)算，高斯分布標(biāo)準(zhǔn)差是探測器幾何分辨率的倍[10]；而成像系統(tǒng)的噪聲則采用泊松噪聲來近似處理[11]。系統(tǒng)其它參數(shù)統(tǒng)一設(shè)置為：放射源到準(zhǔn)直器的距離a=100 cm，準(zhǔn)直器到探測器距離b=4.69 cm；準(zhǔn)直器采用嵌套 MURA 37×37，小孔大小pm=0.18cm。

3.1 兩種算法的比較

根據(jù)前期兩種算法的仿真實(shí)驗(yàn)[11]，假設(shè)探測器具有理想幾何分辨率，在視場中心放置直徑為3mm，活度為1.11×109Bq的241Am。模擬計(jì)數(shù)時(shí)間為60 s，采樣數(shù)a=15。不加噪聲時(shí)，精細(xì)采樣平衡解碼算法與δ解碼算法重建圖像的清晰度基本相同，如圖6(a)、(b)所示。加入泊松噪聲后，兩種解碼算法的重建圖像都能清晰分辨出放射源亮點(diǎn)，見圖6(c)、(d)，但是δ解碼算法的重建圖中含有“顆粒狀”噪聲。分別計(jì)算兩幅圖像的對比度-噪聲比(Contrast to Noise Ratio, CNR)[12?14]：

計(jì)算得出圖6(c)、(d)的CNR分別為113.93和38.08，表明在有噪聲時(shí)精細(xì)采樣算法所得的重建圖像質(zhì)量要好。

圖6 無噪聲時(shí)精細(xì)采樣解碼(a)、δ解碼所得圖像(b)和有噪聲時(shí)精細(xì)采樣解碼(c)、δ解碼(d)所得圖像Fig.6 Reconstructed images using two decoding algorithms.(a) δ decoding without noise, (b) FSBD decoding without noise, (c) δ decoding with noise, (d) FSBD with noise

3.2 成像系統(tǒng)測試重建

3.2.1 單點(diǎn)源成像測試

在視場中放置一個(gè)直徑為 3 mm、活度為3.7×108Bq的99Tc。采集計(jì)數(shù)500 K，分別放于視場中心和視場(Field of View, FOV)角q=20°時(shí)進(jìn)行測試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖7所示，圖7(a)、(d)為探測器投影圖，圖7 (b)、(e)為精細(xì)平衡采樣法重建平面圖，圖7 (c)、(f)為三維圖。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)可以對單個(gè)點(diǎn)源在視場角q=20°的范圍內(nèi)清晰成像并重建。

圖7 視場中心單點(diǎn)源的探測器投影(a)、重建圖(b)三維投影(c)和視場角q=20°時(shí)單點(diǎn)源的探測器投影(d)、重建圖(e)、三維投影(f)Fig.7 Detector projection of one single point source at center of FOV (a), the reconstructed image (b), 3D projection image (c), and single point source at FOV angle of q=20° (d), the reconstructed image (e), 3D projection image (f).

3.2.2 兩個(gè)點(diǎn)源成像

將兩個(gè)直徑為 3 mm、活度為 1.11×109Bq的241Am放置于同一平面上，一個(gè)點(diǎn)源距視場中心距離為15cm，視場角θ=arctan(15/104.69)=8.15°；另一個(gè)點(diǎn)源距視場中心距離為 25 cm，視場角θ=arctan(25/104.69)=13.43°，采集計(jì)數(shù)500 K。結(jié)果如圖8所示。圖8(a)為探測器投影圖，圖8 (b)與(c)分別為精細(xì)平衡采樣法重建平面圖與三維圖，圖8(d)和(e)分別為δ解碼重建的平面圖與三維圖。

重建結(jié)果顯示，成像系統(tǒng)不僅清晰分辨出兩個(gè)亮點(diǎn)，而且如實(shí)體現(xiàn)了兩個(gè)放射源之間的距離，說明系統(tǒng)對兩個(gè)點(diǎn)源的重建是可行的，同時(shí)也驗(yàn)證了仿真實(shí)驗(yàn)中精細(xì)平衡采樣算法重建優(yōu)于δ解碼重建算法的推理。

4 結(jié)語

在基于 MURA編碼孔徑準(zhǔn)直器成像系統(tǒng)的解碼過程中，在MATLAB環(huán)境下對δ解碼算法和精細(xì)采樣平衡解碼算法進(jìn)行了編程實(shí)現(xiàn)，并對其在圖像重建質(zhì)量方面進(jìn)行了對比研究。在仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果基礎(chǔ)上，對單點(diǎn)源和雙點(diǎn)源在 20°視場角內(nèi)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)測試，將所得的投影圖像進(jìn)行重建。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，成像系統(tǒng)能夠?qū)蝹€(gè)點(diǎn)源或兩個(gè)點(diǎn)源進(jìn)行清晰成像，并且能真實(shí)反映放射源的位置信息，在有噪聲的仿真實(shí)驗(yàn)和實(shí)驗(yàn)室實(shí)際測試中，精細(xì)平衡采樣算法重建效果均優(yōu)于δ解碼重建算法。

圖8 雙點(diǎn)源的探測器投影(a)以及兩種算法的重建圖(b、d)與三維投影(c、e)Fig.8 Detector projection of two point sources (a) and the reconstructed images (b, d) and 3D projection images (c, e) of two decoding algorithms.

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