王成林，李曉杰

（北京物資學(xué)院，北京 101149）

0 引言

拓?fù)鋬?yōu)化主要目的是致力于尋求優(yōu)化結(jié)構(gòu)的某些性能或減輕結(jié)構(gòu)重量的途徑。20世紀(jì)80年代，程耿東[1]在彈性板的最優(yōu)厚度分布研究中首次將最優(yōu)拓?fù)鋯栴}轉(zhuǎn)化為尺寸優(yōu)化問題；Bendsoe和Kikuchi發(fā)表的基于均勻化理論的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，引入單胞微結(jié)構(gòu)，使結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化研究對(duì)象從離散體轉(zhuǎn)入到連續(xù)體，開創(chuàng)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究的新局面[2]；后續(xù)研究有新型優(yōu)化準(zhǔn)則類COC算法、非線性規(guī)劃法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、ICM方法、ESO法、遺傳算法、改進(jìn)遺傳算法等來求解結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)問題。

隨著形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化設(shè)計(jì)的不斷成熟與完善，拓?fù)鋬?yōu)化逐漸成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)問題，利用拓?fù)鋬?yōu)化方法處理各類工程問題，尤其在水利工程以及橋梁設(shè)計(jì)中應(yīng)用的十分廣泛，但是在轉(zhuǎn)子部件輪廓優(yōu)化上的應(yīng)用卻十分少見。

1 拓?fù)鋬?yōu)化理論

1.1 拓?fù)鋬?yōu)化的理論依據(jù)

拓?fù)鋬?yōu)化主要是指形狀優(yōu)化或外型優(yōu)化，其優(yōu)化目標(biāo)主要是尋找承受單載荷或多載荷物體的最佳材料分配方案[3]。將其應(yīng)用到轉(zhuǎn)子部件的設(shè)計(jì)中，可以縮短設(shè)計(jì)周期，顯著提高設(shè)計(jì)質(zhì)量。優(yōu)化問題可以表述為在特定域中滿足一定的約束條件下，選取適當(dāng)?shù)淖兞縓，使得目標(biāo)函數(shù) 達(dá)到最優(yōu)解[4]，一般拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)學(xué)模型表達(dá)為：

拓?fù)鋬?yōu)化中研究比較充分的優(yōu)化模型為結(jié)構(gòu)柔順度最小模型，這種模型在拓?fù)鋬?yōu)化中表現(xiàn)為“最小結(jié)構(gòu)柔順度”問題，即通常構(gòu)造為在指定設(shè)計(jì)域內(nèi)及給定材料體積（或結(jié)構(gòu)重量）約束下的最小柔順度（或最小應(yīng)變能、最大剛度）的優(yōu)化設(shè)計(jì)[6]。因此，以結(jié)構(gòu)柔順度為優(yōu)化目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化模型可表示為：

式中，C為結(jié)構(gòu)柔順度矩陣，K為剛度矩陣，u是節(jié)點(diǎn)位移矢量，P是節(jié)點(diǎn)載荷矢量，V為實(shí)際材料用量，V0為設(shè)計(jì)域，θ為體積優(yōu)化百分比（材料體積與設(shè)計(jì)域體積的比值）。

1.2 拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)流程

對(duì)轉(zhuǎn)子部件外輪廓進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，主要流程如圖1所示。

圖1 拓?fù)鋬?yōu)化分析流程

建立轉(zhuǎn)子部件的初始幾何模型，在有限元分析軟件中，進(jìn)行網(wǎng)格劃分，然后對(duì)劃分好的有限元模型，施加載荷和約束條件，設(shè)定拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)，進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，之后對(duì)優(yōu)化結(jié)果的收斂性進(jìn)行判斷，最后提取優(yōu)化結(jié)果[7]。

2 轉(zhuǎn)子部件拓?fù)鋬?yōu)化算例分析

2.1 轉(zhuǎn)子部件基本參數(shù)設(shè)置

高加速度旋轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)廣泛應(yīng)用于高速加工制造、清潔能源、生物工程、綠色物流等諸多技術(shù)領(lǐng)域，本文所涉高加速度承載實(shí)驗(yàn)臺(tái)轉(zhuǎn)子部件的直徑長度為120mm，厚度為40mm，承載加速度值為150,000g，轉(zhuǎn)速為46980.92r/min，角速度為4917rad/s。綜合考慮材料的密度、許用應(yīng)力、加工難易度等因素，選用TC4合金作為分析對(duì)象，其密度是4450kg/m3，彈性模量為110GPa，泊松比為0.34，許用應(yīng)力極值為830MPa。在設(shè)定工作條件下對(duì)具有一定承載及裝配結(jié)構(gòu)（如安裝孔）的轉(zhuǎn)子部件進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析，從而獲得轉(zhuǎn)子部件周向輪廓一般優(yōu)化方案。優(yōu)化對(duì)象中具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件模型如圖2（a）所示。在既定工作條件下轉(zhuǎn)子部件的應(yīng)力分布云圖如圖2（b）所示，由于轉(zhuǎn)子部件的約束載荷位置和特殊結(jié)構(gòu)形式所致，應(yīng)力極值出現(xiàn)于安裝孔內(nèi)，靠近回轉(zhuǎn)軸線位置。

圖2 轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)模型及應(yīng)力分布云圖

2.2 轉(zhuǎn)子部件載荷、約束施加方式及結(jié)果分析

轉(zhuǎn)子部件施加載荷之前，整體劃分單元網(wǎng)格，為保證實(shí)驗(yàn)器件安裝位置，設(shè)定安裝孔及轉(zhuǎn)軸不參與拓?fù)鋬?yōu)化，其他正常參與拓?fù)鋬?yōu)化。根據(jù)轉(zhuǎn)子部件工作情況，其載荷及約束分布如圖3所示。

圖3 轉(zhuǎn)子部件載荷及約束分布

載荷及約束施加完成后，進(jìn)行以結(jié)構(gòu)柔順度極小為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化。本文設(shè)置結(jié)構(gòu)柔順度為目標(biāo)函數(shù)，取其極小值為最優(yōu)結(jié)果；以體積為設(shè)計(jì)變量，通過拓?fù)鋬?yōu)化減少材料體積的50%；迭代次數(shù)為30次；收斂公差為0.00001。通過查看結(jié)構(gòu)柔順度收斂曲線，來判斷優(yōu)化結(jié)果是否收斂。具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)柔順度收斂曲線如圖4（a)所示，橫坐標(biāo)為迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為結(jié)構(gòu)柔順度，曲線穩(wěn)定收斂，拓?fù)鋬?yōu)化成功；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓?fù)浣Y(jié)果，優(yōu)化后轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)圖如圖4（b）所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈橢圓形的結(jié)構(gòu)可有效的降低結(jié)構(gòu)柔順度。

圖4 具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

具有三個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)柔順度收斂曲線如圖5（a）所示；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓?fù)浣Y(jié)果，優(yōu)化后轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)圖如圖5（b） 所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈近似三角形形狀且三邊均向遠(yuǎn)離軸心方向外凸。

圖5 具有三個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

具有四個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)柔順度收斂曲線如圖6（a）所示；提取偽密度值為0.8至1.0之間的拓?fù)浣Y(jié)果，優(yōu)化后轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)圖如圖6（b）所示，在高加速度載荷的作用下，周向輪廓呈近似四邊形形狀且四邊均向靠近軸心方向內(nèi)凹。

圖6 具有四個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果

結(jié)合圖2（b）轉(zhuǎn)子部件應(yīng)力分布云圖，通過以上結(jié)果可以得出進(jìn)行以結(jié)構(gòu)柔順度極小為目標(biāo)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的一般優(yōu)化規(guī)律：轉(zhuǎn)子部件安裝孔及轉(zhuǎn)軸等結(jié)構(gòu)為設(shè)備功能實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)并且所承載應(yīng)力較大，因此不進(jìn)行優(yōu)化；將轉(zhuǎn)子部件周向遠(yuǎn)離安裝孔的部分視為輔助支撐轉(zhuǎn)子部件的位置，由于并不具備功能實(shí)現(xiàn)需求且所承受應(yīng)力較小，因此可以對(duì)該位置體積進(jìn)行適當(dāng)?shù)目刂埔赃_(dá)到優(yōu)化目的。優(yōu)化結(jié)構(gòu)的徑向尺寸變化規(guī)律近似服從于以任意安裝孔所在徑向位置為零點(diǎn)的余弦函數(shù)變化規(guī)律：

其中，y值為轉(zhuǎn)子部件徑向長度；為從起點(diǎn)所轉(zhuǎn)過角度；n為安裝孔數(shù)；為轉(zhuǎn)子部件徑向最大長度，取在安裝孔所處位置；為轉(zhuǎn)子部件徑向最短距離，取在相鄰兩安裝孔構(gòu)成的圓心角角分線上；為轉(zhuǎn)子部件轉(zhuǎn)軸半徑。此轉(zhuǎn)子部件外輪廓優(yōu)化結(jié)構(gòu)，可以有效地降低轉(zhuǎn)子部件柔順度，提高其力學(xué)性能。

2.3 轉(zhuǎn)子部件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果分析

利用拓?fù)鋬?yōu)化的原理，對(duì)轉(zhuǎn)子部件進(jìn)行力學(xué)性能優(yōu)化時(shí)主要采取的方法是控制轉(zhuǎn)子部件無承載及裝配需求結(jié)構(gòu)的體積，對(duì)于該優(yōu)化方案的可靠程度還需進(jìn)行有限元分析計(jì)算，從而確定其優(yōu)化效果的優(yōu)劣。本文僅針對(duì)具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，以表1所示轉(zhuǎn)子部件優(yōu)化前輪廓主要參數(shù)作為基本參數(shù)，取模型的1/2進(jìn)行有限元仿真，仿真結(jié)果如圖7所示。

表1 優(yōu)化前轉(zhuǎn)子部件輪廓參數(shù)表

圖7 優(yōu)化前等效應(yīng)力、應(yīng)變云圖

由圖7（a）可知，應(yīng)力最大值出現(xiàn)在孔的邊沿靠近軸一側(cè)的位置，其最大值為255MPa，轉(zhuǎn)子部件心部應(yīng)力值為171MPa，由圖7（b）可知，最大應(yīng)變同樣出現(xiàn)在孔的邊沿，大小為0.002345。根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)果對(duì)轉(zhuǎn)子的外輪廓幾何參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的參數(shù)如表2所示。

表2 優(yōu)化后轉(zhuǎn)子部件輪廓參數(shù)表

采用表2所示參數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)子有限元仿真，仿真結(jié)果如圖8所示，由圖8（a）可知，應(yīng)力最大值出現(xiàn)位置發(fā)生變化，出現(xiàn)在轉(zhuǎn)子盤與安裝軸連接處，最大值減小到239MPa，這主要是由于結(jié)構(gòu)非圓滑過渡導(dǎo)致應(yīng)力集中所引起，通過設(shè)置倒角等結(jié)構(gòu)或多維度結(jié)構(gòu)優(yōu)化可以有效控制該處的應(yīng)力集中；而轉(zhuǎn)子部件心部最大應(yīng)力值為133MPa，與傳統(tǒng)圓盤轉(zhuǎn)子部件相比其心部應(yīng)力值降低22%，有較好的優(yōu)化效果；由圖8（b）可知，最大應(yīng)變相對(duì)值也減小到0.002174，降低了7%。

圖8 優(yōu)化后等效應(yīng)力、應(yīng)變云圖

本文僅對(duì)具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件徑向輪廓優(yōu)化前后進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，由于轉(zhuǎn)子部件應(yīng)力極值出現(xiàn)于安裝孔內(nèi)靠近回轉(zhuǎn)軸線位置，其力學(xué)性能隨孔的回轉(zhuǎn)半徑、孔深以及孔徑有關(guān)，外輪廓的改變對(duì)該處的影響不大[8]，因此從轉(zhuǎn)子部件中心處應(yīng)力極值降低22%可以看出，該拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)轉(zhuǎn)子部件力學(xué)性能有很大的提升，優(yōu)化效果明顯。

3 轉(zhuǎn)子部件拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)外輪廓主要參數(shù)影響分析

影響轉(zhuǎn)子部件力學(xué)特性的因素主要包括幾何參數(shù)、輪廓形狀、制造誤差、工況參數(shù)等。本文根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，以具有兩個(gè)安裝孔的轉(zhuǎn)子部件為例，在不考慮其他因素情況下，僅分析轉(zhuǎn)子部件周向輪廓形狀對(duì)于優(yōu)化結(jié)果的影響。建立周向輪廓為橢圓形模型，外輪廓主要參數(shù)為長徑、短徑值，橢圓外輪廓曲率的變化亦隨長短徑的比值變化而變化。本文取具有安裝孔結(jié)構(gòu)的徑向尺寸為長軸定為a，取與之垂直的徑向尺寸為短軸定義為b，取模型的1/2進(jìn)行分析，其他參數(shù)不變，圖8為短徑與長徑比值為0.5時(shí)轉(zhuǎn)子部件應(yīng)力、應(yīng)變云圖；

根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果，安排有限元分析實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)安排及對(duì)應(yīng)應(yīng)力分析結(jié)果如表3所示。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果繪制影響曲線，部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如圖8所示。

表3 徑向橢圓輪廓主要參數(shù)有限元分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖9為短徑與長徑之比對(duì)應(yīng)力極值影響曲線圖。

圖9 短徑與長徑之比對(duì)應(yīng)力極值影響曲線

由圖9可知，轉(zhuǎn)子部件心部最大應(yīng)力值與b/a的值呈正相關(guān)關(guān)系，b/a的值由1.0逐步降低，轉(zhuǎn)子部件心部的最大應(yīng)力值呈現(xiàn)較顯著的優(yōu)化效果，水平軸坐標(biāo)從0.8～1.0區(qū)間，b/a的值減少1/5對(duì)應(yīng)應(yīng)力極值降低近13%。隨著b/a的值逐步降低，優(yōu)化效果趨于平緩，至?xí)r，邊際效應(yīng)趨于零，此時(shí)降低b/a的值對(duì)于應(yīng)力值的影響并不顯著，因此在進(jìn)行轉(zhuǎn)子部件橢圓輪廓優(yōu)化時(shí)，根據(jù)優(yōu)化結(jié)果以及加工的難易程度、成本等因素，確定主要結(jié)構(gòu)參數(shù)時(shí)宜選擇長徑為短徑的二倍這一數(shù)量關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)相對(duì)優(yōu)化效果。

4 結(jié)束語

建立了轉(zhuǎn)子部件的三維實(shí)體模型，在ANSYS軟件中進(jìn)行求解分析，進(jìn)行了周向輪廓拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，得到了與其相應(yīng)的拓?fù)鋬?yōu)化圖，并對(duì)輪廓主要參數(shù)進(jìn)行分析得；

通過多組拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果得出對(duì)承載應(yīng)力較小、無裝配及工作要求的轉(zhuǎn)子部分結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，以降低轉(zhuǎn)子部件結(jié)構(gòu)柔順度的外輪廓結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法。對(duì)比具有兩個(gè)安裝孔結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)子部件優(yōu)化結(jié)果得拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果可以獲得較好的力學(xué)性能優(yōu)化效果，針對(duì)周向輪廓為橢圓形轉(zhuǎn)子部件分析，其輪廓主要參數(shù)對(duì)部件力學(xué)性能有著顯著影響，短徑與長徑比值對(duì)部件心部應(yīng)力值的影響呈顯著的非線性相關(guān)關(guān)系。因此在進(jìn)行周向輪廓優(yōu)化時(shí)應(yīng)注意選取適當(dāng)最大徑向長度與最小徑向長度的比值。

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