盧 毅

（解放軍77108部隊，成都611233）

0 引 言

多輸入多輸出（MIMO）雷達是近幾年提出的一種新體制雷達［1］。與傳統(tǒng)雷達相比，MIMO雷達在目標檢測、參數(shù)估計、雜波抑制、抗干擾等方面具有顯著優(yōu)勢［1－4］，因而成為學術(shù)界研究的熱點。國內(nèi)外對MIMO雷達的研究大致可以分為2條技術(shù)路線：第1類是收發(fā)天線大間距配置的統(tǒng)計MIMO雷達［2］；第2類是收發(fā)單元緊密分布的相干MIMO雷達［3］。統(tǒng)計 MIMO雷達的陣元采用空間分集配置方式，發(fā)射波從不同角度照射目標，充分利用空域信息來克服目標的閃爍效應(yīng)，獲得空間分集增益，進而提高閃爍目標的檢測性能，而且發(fā)射波形采用正交波形，還可同時獲得波形分集增益。統(tǒng)計MIMO雷達的信號處理方式有相參處理和非相參處理，2種處理方式都要求收發(fā)單元時間同步，其中相參處理還要求相位同步。這里主要研究非相參統(tǒng)計MIMO雷達對運動目標的跟蹤技術(shù)。

目前，對MIMO雷達的研究主要集中在目標檢測［4－5］、參數(shù)估計［6－7］、目標跟蹤［8－10］和優(yōu)化布站［7］等方面。文獻［6］研究了MIMO雷達對目標參數(shù)的聯(lián)合估計，推導(dǎo)了聯(lián)合估計的最大似然表達式和相應(yīng)的克拉美羅界（CRLB），理論分析和仿真驗證后得出陣元數(shù)越多估計性能越好的結(jié)論。文獻［7］對分布式非相參MIMO雷達的目標跟蹤技術(shù)進行了研究，在MIMO雷達估計目標參數(shù)的基礎(chǔ)上，分別基于卡爾曼算法和粒子濾波算法對運動目標進行了跟蹤，但是文章考慮的情況忽略了目標運動對回波信號造成的多普勒頻移，跟蹤時也沒有將速度的估值做為觀測數(shù)據(jù)加以考慮。文獻［8］提出了一種將信號時延和多普勒頻移的估計值做為觀測結(jié)果對目標進行跟蹤的方法，推導(dǎo)了相應(yīng)的后驗克拉美羅界（PCRLB），分析了不同布站方式對 MIMO雷達跟蹤性能的影響，但因需要被估計的參數(shù)較多，不易實現(xiàn)，文章僅僅分析了性能并沒有進行實際的跟蹤，也沒有跟蹤誤差的分析。文獻［9］基于MIMO雷達特有的物理結(jié)構(gòu)和信號處理方式提出了2種跟蹤方法：集中式跟蹤和分布式跟蹤，推導(dǎo)了基于這2種方法的PCRLB，分析了這2種跟蹤技術(shù)的最優(yōu)性能。

對于固定布站的雷達，目標運動是造成雷達橫截面積（RCS）閃爍的直接原因，因此研究MIMO雷達對運動目標的探測和跟蹤是非常迫切的。目前，統(tǒng)計MIMO雷達均采用全向發(fā)射，能量利用率較低，研究MIMO跟蹤技術(shù)可以為實現(xiàn)雷達定向發(fā)射提供支持，提高雷達的探測威力；現(xiàn)階段，MIMO雷達的參數(shù)估計大都采用最大似然搜索，搜索范圍很大，效率較低，跟蹤濾波不僅可以提高參數(shù)估計精度，而且對每一步的預(yù)測值加以利用可以極大地減輕下一步參數(shù)估計的復(fù)雜度。本文深刻地分析了MIMO雷達在目標跟蹤中出現(xiàn)的問題，從解決實際問題的角度出發(fā)，研究了MIMO雷達對運動目標的參數(shù)估計和跟蹤技術(shù)，提出了基于MIMO雷達特有結(jié)構(gòu)和信號處理方式的跟蹤方法。

1 信號模型

假設(shè)1部分布式MIMO雷達有M個發(fā)射站、N個接收站。為了抑制目標RCS閃爍，收發(fā)站間滿足文獻［11］中的空間分集條件，第k個發(fā)射站的平面位置坐標為（xtk，ytk），第l號接收站的位置位于（xrl，yrl），其中k＝1，2，…，M ；l＝1，2，…，N 。

設(shè)m 時刻在坐標 （xm，ym）處有一目標正以（vx，vy）的速度勻速運動，此時從k號發(fā)射機發(fā)射的信號經(jīng)目標反射到達l號接收機所經(jīng)歷的時間延遲為τkl，多普勒頻移為fkl，則：

假設(shè)目標的散射點數(shù)目非常多，且沒有哪一散射點占主導(dǎo)地位，則從k號發(fā)射機發(fā)射的信號經(jīng)目標反射被l號接收機接收后可以表示為sk（t）的延遲和一復(fù)高斯隨機變量的乘積。這個隨機變量就是k－l收發(fā)通道的通道系數(shù)αkl，它是傳輸通道衰減、目標RCS閃爍和相位移動影響的總和，服從αkl～CN（0，σ2）分布，其中σ2為通道系數(shù)的方差。

第l號接收機的接收信號是目標所有散射點向這個方向反射信號與噪聲的疊加，用rl（t）表示l號接收機的接收信號，nl（t）表示接收機的內(nèi)部噪聲，則：

由于MIMO雷達發(fā)射正交信號，任意2部發(fā)射機的發(fā)射信號在任意的時延情況下均能保持很好的正交性，則：

但是由于本文考慮了目標運動給回波信號帶來的多普勒頻移，因此，在相鄰發(fā)射信號的多普勒頻移小于信號帶寬的情況下（即在滿足｜fkl－f（k－1）l｜＜Bk時），回波信號的正交性依然不會改變。如果雷達參數(shù)選擇得當，這種情況在實際中一般是滿足的，則：

在接收端正是利用了波形的正交性，將接收機中M個通道的信號分離開，得到每一收發(fā)通道的接收信號：

通常噪聲為帶限噪聲N0≠，這一點在仿真時需要特別注意。

在處理中心將各通道接收信號組合成總的接收矢量：

2 動目標參數(shù)估計和性能分析

2.1 最大似然法估計目標參數(shù)

獲得接收信號矢量以后，如何從中估計出目標參數(shù)將是這一節(jié)的研究重點。下面的研究中，根據(jù)上一節(jié)建立的信號模型推導(dǎo)了參數(shù)估計的最大似然表達式，這也是本文結(jié)合雷達測量與跟蹤的第1步。設(shè)目標位置參數(shù)為θ＝ ［x，y，vx，vy］T，θ∈Θ，Θ 是一個包括θ所有可能取值的四維空間。

根據(jù)上一節(jié)建立的信號模型，可以得到k－l通道接收信號關(guān)于目標參數(shù)θ和通道系數(shù)αkl的條件似然比函數(shù)：

式中：F為與目標參數(shù)無關(guān)的常數(shù)。

通過計算式（8）關(guān)于通道系數(shù)的期望，可以得到k－l通道接收信號關(guān)于目標參數(shù)θ的似然比函數(shù)：

由式（10）可以看出，k－l通道接收信號的似然比函數(shù)表達式中已不再包含通道系數(shù)αkl?？紤]到通道噪聲的不相關(guān)性和各通道系數(shù)的獨立性，在下一步可以推導(dǎo)出接收矢量的聯(lián)合似然函數(shù)：

因此最大似然估計的表達式為：

2.2 CRLB推導(dǎo)

參數(shù)估計另一個重要方面就是分析估計性能，而參數(shù)估計性能最好的衡量標準就是CRLB，這一節(jié)將在上一節(jié)的基礎(chǔ)上推導(dǎo)各模型下的CRLB，這里的推導(dǎo)，而且在本文所提的算法中，克拉美羅矩陣是測量噪聲協(xié)方差矩陣的最佳選擇。

假定最大似然估計結(jié)果為未知參數(shù)矢量θ的無偏估計：

式中：J（θ）為費什信息矩陣（FIM）。 根據(jù)推導(dǎo)［6］費什信息矩陣為：

3 MIMO雷達目標跟蹤

式中：I2為二維單位矩陣；?表示Kronecker積；T為觀測間隔；Vk為動態(tài)模型中的過程噪聲，在這里認為它是零均值高斯白噪聲，用Q表示其協(xié)方差矩陣：

式中：q為過程噪聲的功率譜密度。

因為在運動過程中目標的RCS閃爍特別嚴重，因此在跟蹤過程中將MIMO雷達的估計（測量）數(shù)據(jù)作為測量方程的觀測值，這樣不僅可以抵抗跟蹤過程中的RCS閃爍，還可以得到精度較高的觀測數(shù)據(jù)。下面結(jié)合MIMO雷達的參數(shù)估計建立測量方程：

式中：H為觀測矩陣，與文獻［7］中不同的是測量值和測量噪聲均為四維向量，測量矩陣為四維單位矩陣；Wk為MIMO雷達的測量噪聲，用Rk表示其協(xié)方差矩陣，根據(jù)雷達工作在漸近區(qū)的假設(shè)，取k時刻的測量噪聲協(xié)方差矩陣為MIMO雷達估計目標k時刻運動狀態(tài)的克拉美羅矩陣與一個系數(shù)β的乘積，通常1＜β≤2。

要注意的是，在實際計算測量噪聲協(xié)方差矩陣時，通常取目標k時刻運動狀態(tài)的預(yù)測值帶入CRLB公式算得或者用k時刻運動目標參數(shù)的估計值計算：

需要說明的是，在后面的仿真中MIMO雷達工作在文獻［6］定義的漸近區(qū)域，因此 MIMO雷達所估計出的參數(shù)是有效的無偏估計值，可以將觀測噪聲視為高斯白噪聲。綜上所述，目標的動態(tài)方程和雷達的觀測方程均是線性高斯的，可以直接采用經(jīng)典的卡爾曼算法實施跟蹤。

上面的方法可以實現(xiàn)MIMO雷達對目標跟蹤的良好性能，但是實現(xiàn)MIMO雷達跟蹤的意義遠不限于此。在跟蹤時采用交互式信號處理方法，利用狀態(tài)的預(yù)測值Xk｜k－1為k時刻的目標參數(shù)估計設(shè)定一個搜索范圍（稱為置信區(qū)域），讓MIMO雷達在信號處理時在這個置信區(qū)域內(nèi)搜索目標，這樣可以減輕MIMO雷達參數(shù)估計的復(fù)雜度，而且不會影響參數(shù)估計的精度，具有很高的適用價值，這就是文章里一直提到的交互式信號處理方法，即跟蹤與參數(shù)估計的交互。

試驗中具體的做法是，以狀態(tài)預(yù)測值為中心建立一個矩陣，將矩陣離散成許多孤立的點，在下一步的MIMO雷達參數(shù)估計時，僅通過比較這些點的似然比來得到目標位置的估計值。在實際應(yīng)用時置信區(qū)域的范圍設(shè)定顯得很重要，經(jīng)過多次試驗和分析建議采用變范圍搜索：起始時刻采用大范圍、多點數(shù)搜索，隨著跟蹤步數(shù)的遞增，精度逐步提高，預(yù)測值也越貼近真實位置，在不影響估計精度的前提下縮小范圍、減少估計點數(shù)，直至穩(wěn)定，具體操作情況在后面的仿真中有進一步說明。

綜上，具備了MIMO雷達實施跟蹤所需的所有條件，下面利用Kalman算法對目標實施跟蹤，具體步驟為：

第1步：首先在目標RCS閃爍的假設(shè)下，利用MIMO雷達在監(jiān)視空域搜索到目標，估計出其運動參數(shù)矢量Y0，并根據(jù)目標參數(shù)測量值算得該值估計的CRLB矩陣J（θ0）。

第2步：將J（θ0）帶入公式（24），得到濾波的初始協(xié)方差矩陣R0。

第3步：令X0＝Y(jié)0，R0＝J（θ0）。則：

第4步：根據(jù)目標的預(yù)測狀態(tài)X1｜0，以它的值為中心建立該時刻MIMO雷達參數(shù)估計的置信區(qū)，并將置信區(qū)離散成孤立的點，對雷達接收信號在這些點進行最大似然估計，得到目標該時刻參數(shù)的測量矢量Y1，并將Y1帶入公式（20）計算該時刻雷達估計（測量）誤差的協(xié)方差矩陣R1。

第5步：在得到雷達的估計（測量）數(shù)據(jù)和誤差矩陣后，利用濾波算法進行數(shù)據(jù)處理：

第6步：根據(jù)上面的方法繼續(xù)遞歸，直至跟蹤結(jié)束。

4 仿真驗證

使用Matlab軟件對前面的研究內(nèi)容進行仿真，更直觀地展現(xiàn)本文算法的優(yōu)勢。設(shè)二維平面上有一目標做勻速直線運動，速度為（80m／s，20m／s），初始位置位于坐標原點。因為實際中目標的運動受到各種環(huán)境因素的影響，運動并不是嚴格勻速的，在仿真時給勻速運動的目標加一個零均值高斯分布的加速度，服從a～CN（0，0.9）分布，得到其真實軌跡，如圖1所示。實驗中設(shè)定MIMO雷達收發(fā)站均勻分布在第一象限內(nèi)一段半徑為90km的圓弧上，近似為收發(fā)共址配置。同時，為了減少參數(shù)估計時的運算量，在后面的仿真實驗中均采用3×3的典型布站方式 （具體分布情況見圖2），并假定各收發(fā)通道的信噪比相同，在仿真時均設(shè)定為10dB。

圖1 收發(fā)站與目標運動軌跡的空間分布情況

圖2 目標的真實運動軌跡

發(fā)射信號采用頻率擴展的高斯脈沖，第k個發(fā)射站發(fā)射信號的復(fù)包絡(luò)形式如下：

式中：T為決定高斯脈沖有效持續(xù)時間的參數(shù)。

在下面的仿真中取T＝5×10－2s，這與文獻［7］中T＝1.125 4×10－7s的取值差別甚大，主要原因是本文中MIMO雷達估計的參數(shù)是位置和速度，二者的估計精度與T的關(guān)系正好是相反的，如果繼續(xù)按文獻［7］中的T取值可以得到很高的位置估計精度，但是速度估計精度會變得很差，下面的仿真圖展示了這一情況。Δf是相鄰發(fā)射信號之間的頻移參數(shù)，只要Δf大于發(fā)射信號的帶寬，就可以保證各發(fā)射波形之間相互正交，因為高斯脈沖的帶寬與T值緊密相關(guān)，所以仿真中Δf值的設(shè)定要與T相對應(yīng)。

分析圖3、圖4可以發(fā)現(xiàn)，MIMO雷達在進行速度和位置的聯(lián)合估計時，隨著T的減小，發(fā)射信號帶寬增大，位置估計的誤差降低，而速度估計的誤差迅速提高，以至于在T＝10－7s、SNR＝10dB時速度估計的誤差遠遠大于能接受的范圍（如圖3所示），因此就必須增加發(fā)射脈沖寬度來使位置和速度聯(lián)合估計的誤差取到合適的值。由于在試驗中假設(shè)MIMO雷達各通道的信噪比為10dB，所以圖4所仿真的雷達參數(shù)是比較合適的，這個參數(shù)也是實際雷達可以很容易實現(xiàn)的。

圖3 T＝1.125 4×10－7s時參數(shù)估計的CRLB

上一節(jié)提出的變限搜索方法，具體操作時所取的初始搜索范圍、搜索點數(shù)和范圍變化值會根據(jù)雷達監(jiān)視區(qū)域、對精度要求的差異而有所不同。初始的搜索范圍應(yīng)該是雷達的監(jiān)視區(qū)域，在第1次捕捉到目標以后便實施跟蹤，利用跟蹤的預(yù)測值逐步縮小下一步最大似然估計的搜索點數(shù)，直到趨于穩(wěn)定。在本實驗的仿真中，根據(jù)相應(yīng)的精度要求，設(shè)定初始搜索范圍為［－100m，100m］×［－100m，100m］，初始搜索點數(shù)為10 000。隨著跟蹤的進行，依據(jù)跟蹤誤差的變化規(guī)律，搜索范圍以10m的步長減小，并相應(yīng)地減少最大似然參數(shù)估計的搜索點數(shù)，直至搜索范圍為［－10m，10m］×［－10m，10m］。

圖4 T＝0.05s時參數(shù)估計的CRLB

圖5描述了MIMO雷達交互式跟蹤中的變限參數(shù)估計法，具體的做法為：利用跟蹤濾波的預(yù)測值為目標下一時刻的參數(shù)估計設(shè)定一個置信范圍（圖中的矩形框），并將矩形離散成許多點，在最大似然估計時只需比較矩形內(nèi)離散點的似然比就可以得到該時刻目標參數(shù)的雷達測量值，極大地減輕了參數(shù)估計的運算量。由圖中可以看出從第2步跟蹤開始隨著跟蹤誤差的逐步減小，相應(yīng)地縮小了MIMO雷達最大似然估計的搜索范圍（置信區(qū)域大?。?，參數(shù)估計的運算量銳減，提高了跟蹤和定位的速度。從圖6中可以發(fā)現(xiàn)，目標的真實軌跡和跟蹤軌跡非常接近，說明MIMO雷達在考慮運動目標RCS閃爍的情況下仍然能夠?qū)δ繕吮３趾芎玫母櫺阅堋?/p>

圖5 參數(shù)估計時的變限搜索

圖7、圖8描述了MIMO雷達的跟蹤誤差、每一時刻的參數(shù)估計誤差和參數(shù)估計的CRLB，由誤差曲線圖分析發(fā)現(xiàn)：由于在本文的算法中，目標的運動狀態(tài)矢量和MIMO雷達的測量參數(shù)是相同的，所以本文的跟蹤算法對雷達測量數(shù)據(jù)起到了很好的去噪作用。隨著跟蹤步數(shù)的推進，MIMO雷達的跟蹤誤差逐步減小，到后來降低至CRLB以下，當然也低于參數(shù)估計誤差。

圖6 跟蹤結(jié)果和目標的真實軌跡

圖7 X坐標的跟蹤濾波誤差和參數(shù)估計誤差

圖8 Y坐標的跟蹤濾波誤差和參數(shù)估計誤差

表1比較了傳統(tǒng)跟蹤方法與本文算法對目標實施跟蹤時每一步參數(shù)估計時的搜索點數(shù)和計算機的運行時間，直觀地說明本文方法對算法復(fù)雜度的改善和搜索效率的提高。

表1 CPU運行時間比較

5 結(jié)束語

本文根據(jù)MIMO雷達特有的物理結(jié)構(gòu)和信號處理方式，對MIMO雷達的目標跟蹤技術(shù)進行了研究，提出了目標跟蹤與參數(shù)估計相結(jié)合的交互式跟蹤方法。經(jīng)過理論分析和仿真實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)：文中所提的方法在目標RCS閃爍嚴重的情況下仍能很好地跟蹤目標，獲得很高的跟蹤精度，且不易丟失目標；同時，在交互式數(shù)據(jù)處理時所采用變限參數(shù)估計法可以有效地減輕MIMO雷達參數(shù)估計的運算復(fù)雜度，提高搜索效率，解決了參數(shù)估計中一大難題。而且，MIMO雷達跟蹤技術(shù)的實現(xiàn)為分布式MIMO雷達定向發(fā)射能量提供了理論支持，可以較好地提高雷達探測威力，這也是分布式MIMO雷達亟需須改進的地方。下一步需要繼續(xù)努力的方向是解決低信噪比、陣元數(shù)少的情況下的MIMO跟蹤問題。

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