顧學(xué)沖

摘要：向量運(yùn)算中如何求解實(shí)參數(shù)或數(shù)量積的取值范圍問題是高考試題中的熱點(diǎn)問題，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要題型，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺比較困難，因此選擇正確的思維策略，對減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)思維能力是至關(guān)重要的。本文闡述了處理這一類問題的四種不同策略。

關(guān)鍵詞：向量運(yùn)算；取值范圍；求解策略

中圖分類號：G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，尋求解題途徑

有關(guān)取值范圍問題是一個(gè)變化的問題，在沒有確定它的求解方法之前，可以對試題進(jìn)行必要的研究，考慮到取值范圍的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置關(guān)系時(shí)相應(yīng)的值，一般可以求得問題的正確答案，進(jìn)一步由此尋找到問題求解的途徑。

例1如圖1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，點(diǎn)P是弧AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范圍。

分析：由于P是一個(gè)動點(diǎn)，隨著P點(diǎn)的移動，對應(yīng)x、y的值也在不斷變化?？紤]到x+y取得最值的時(shí)候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中點(diǎn)位置，因此我們可以考察上述特殊位置時(shí)x、y的值。

當(dāng)P在A點(diǎn)位置時(shí)，x=1，y=0，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在B點(diǎn)位置時(shí)，x=0，y=1，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在弧AB的中點(diǎn)位置時(shí)，如圖2所示，這時(shí)四邊形AOBP恰好是一個(gè)菱形，這時(shí)x=1，y=1，這時(shí)x+y=2，由此可知x+y的取值范圍是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，聯(lián)想到無論P(yáng)如何運(yùn)動，OP的長度始終是不變的，這就為我們尋找到正確的解題方法提供了有效途徑。

二、引入新元素，變換求解思路

取值范圍問題一般是一個(gè)動態(tài)的變量問題，要考慮一個(gè)變量的取值范圍或最值，應(yīng)該從引起變動的原因入手，尋找變動的根源，由此引入新的變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為新元的函數(shù)問題或其他問題，進(jìn)一步使得問題得到有效解決。

例2在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），動點(diǎn)D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由題意可知A、B、D三個(gè)點(diǎn)中只有D是一個(gè)動點(diǎn)，因此|OA+OB+OD|的最值只與D點(diǎn)的位置有關(guān)。又因?yàn)閨CD|=1，所以點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心，半徑為1的圓，由此我們可以考慮引入一個(gè)新的元素∠DOx=θ，于是問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元素θ的函數(shù)問題，從而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐標(biāo)系，向量問題實(shí)數(shù)化

向量的加減運(yùn)算是一個(gè)幾何范疇的問題，如果局限于向量運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則，有時(shí)不但運(yùn)算繁瑣，而且不容易理解。如果我們基于題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以將向量的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到有效解決。

例3如圖3所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC=λDE+μAP，則λ+μ的最小值為。

分析：由題意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一個(gè)變動的向量，而從圖形中無法直接得到三個(gè)向量AC、DE、AP的線性關(guān)系，由于向量AP的模是一個(gè)定值，且A是定點(diǎn)，故向量AP只與∠BAP有關(guān)，因此可以考慮將∠BAP設(shè)計(jì)為新元素θ，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將λ+μ轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)θ的函數(shù)，再求出它的最值。

四、知識巧遷移，化歸為其他問題求解

取值范圍問題有時(shí)會由多個(gè)運(yùn)動的點(diǎn)或其他變化的量形成。由于變量較多，僅在向量運(yùn)算范圍內(nèi)求解，顯然是有較大困難的。這時(shí)如果我們將不同的量巧妙地轉(zhuǎn)化為新的元素，實(shí)現(xiàn)不同章節(jié)的知識的有效遷移，將向量中的最值問題，化歸為新元素的不等（或相等）關(guān)系，再結(jié)合不等式或其他的相應(yīng)知識，就可以使得問題得到解決。

例4已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且|MN|≤1，∠MON=α，則|OM|·|ON|cosα的取值范圍是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而點(diǎn)O是一個(gè)定點(diǎn)，所以O(shè)M·ON與M、N兩點(diǎn)的位置有關(guān)，從而可以將OM·ON表示為M、N兩點(diǎn)相應(yīng)位置的關(guān)系式，由于|MN|≤1表示的是一個(gè)圓面，再結(jié)合線性規(guī)劃的知識就可以求出OM·ON的最值。

向量運(yùn)算中的取值范圍問題，有時(shí)僅考查向量有關(guān)的內(nèi)容，更多的只是以向量內(nèi)容作為平臺，考查函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、解析幾何等知識。要順利完成這一類試題的求解，除需要熟悉向量的相關(guān)內(nèi)容，并且能夠熟練應(yīng)用以外，還應(yīng)借它山之石，靈活運(yùn)用其他章節(jié)的相關(guān)知識，才能順利完成向量中有關(guān)取值范圍的試題的求解。endprint

摘要：向量運(yùn)算中如何求解實(shí)參數(shù)或數(shù)量積的取值范圍問題是高考試題中的熱點(diǎn)問題，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要題型，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺比較困難，因此選擇正確的思維策略，對減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)思維能力是至關(guān)重要的。本文闡述了處理這一類問題的四種不同策略。

關(guān)鍵詞：向量運(yùn)算；取值范圍；求解策略

中圖分類號：G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，尋求解題途徑

有關(guān)取值范圍問題是一個(gè)變化的問題，在沒有確定它的求解方法之前，可以對試題進(jìn)行必要的研究，考慮到取值范圍的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置關(guān)系時(shí)相應(yīng)的值，一般可以求得問題的正確答案，進(jìn)一步由此尋找到問題求解的途徑。

例1如圖1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，點(diǎn)P是弧AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范圍。

分析：由于P是一個(gè)動點(diǎn)，隨著P點(diǎn)的移動，對應(yīng)x、y的值也在不斷變化?？紤]到x+y取得最值的時(shí)候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中點(diǎn)位置，因此我們可以考察上述特殊位置時(shí)x、y的值。

當(dāng)P在A點(diǎn)位置時(shí)，x=1，y=0，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在B點(diǎn)位置時(shí)，x=0，y=1，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在弧AB的中點(diǎn)位置時(shí)，如圖2所示，這時(shí)四邊形AOBP恰好是一個(gè)菱形，這時(shí)x=1，y=1，這時(shí)x+y=2，由此可知x+y的取值范圍是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，聯(lián)想到無論P(yáng)如何運(yùn)動，OP的長度始終是不變的，這就為我們尋找到正確的解題方法提供了有效途徑。

二、引入新元素，變換求解思路

取值范圍問題一般是一個(gè)動態(tài)的變量問題，要考慮一個(gè)變量的取值范圍或最值，應(yīng)該從引起變動的原因入手，尋找變動的根源，由此引入新的變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為新元的函數(shù)問題或其他問題，進(jìn)一步使得問題得到有效解決。

例2在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），動點(diǎn)D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由題意可知A、B、D三個(gè)點(diǎn)中只有D是一個(gè)動點(diǎn)，因此|OA+OB+OD|的最值只與D點(diǎn)的位置有關(guān)。又因?yàn)閨CD|=1，所以點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心，半徑為1的圓，由此我們可以考慮引入一個(gè)新的元素∠DOx=θ，于是問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元素θ的函數(shù)問題，從而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐標(biāo)系，向量問題實(shí)數(shù)化

向量的加減運(yùn)算是一個(gè)幾何范疇的問題，如果局限于向量運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則，有時(shí)不但運(yùn)算繁瑣，而且不容易理解。如果我們基于題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以將向量的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到有效解決。

例3如圖3所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC=λDE+μAP，則λ+μ的最小值為。

分析：由題意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一個(gè)變動的向量，而從圖形中無法直接得到三個(gè)向量AC、DE、AP的線性關(guān)系，由于向量AP的模是一個(gè)定值，且A是定點(diǎn)，故向量AP只與∠BAP有關(guān)，因此可以考慮將∠BAP設(shè)計(jì)為新元素θ，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將λ+μ轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)θ的函數(shù)，再求出它的最值。

四、知識巧遷移，化歸為其他問題求解

取值范圍問題有時(shí)會由多個(gè)運(yùn)動的點(diǎn)或其他變化的量形成。由于變量較多，僅在向量運(yùn)算范圍內(nèi)求解，顯然是有較大困難的。這時(shí)如果我們將不同的量巧妙地轉(zhuǎn)化為新的元素，實(shí)現(xiàn)不同章節(jié)的知識的有效遷移，將向量中的最值問題，化歸為新元素的不等（或相等）關(guān)系，再結(jié)合不等式或其他的相應(yīng)知識，就可以使得問題得到解決。

例4已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且|MN|≤1，∠MON=α，則|OM|·|ON|cosα的取值范圍是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而點(diǎn)O是一個(gè)定點(diǎn)，所以O(shè)M·ON與M、N兩點(diǎn)的位置有關(guān)，從而可以將OM·ON表示為M、N兩點(diǎn)相應(yīng)位置的關(guān)系式，由于|MN|≤1表示的是一個(gè)圓面，再結(jié)合線性規(guī)劃的知識就可以求出OM·ON的最值。

向量運(yùn)算中的取值范圍問題，有時(shí)僅考查向量有關(guān)的內(nèi)容，更多的只是以向量內(nèi)容作為平臺，考查函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、解析幾何等知識。要順利完成這一類試題的求解，除需要熟悉向量的相關(guān)內(nèi)容，并且能夠熟練應(yīng)用以外，還應(yīng)借它山之石，靈活運(yùn)用其他章節(jié)的相關(guān)知識，才能順利完成向量中有關(guān)取值范圍的試題的求解。endprint

摘要：向量運(yùn)算中如何求解實(shí)參數(shù)或數(shù)量積的取值范圍問題是高考試題中的熱點(diǎn)問題，也是考查學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要題型，學(xué)生在學(xué)習(xí)中感覺比較困難，因此選擇正確的思維策略，對減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高數(shù)學(xué)思維能力是至關(guān)重要的。本文闡述了處理這一類問題的四種不同策略。

關(guān)鍵詞：向量運(yùn)算；取值范圍；求解策略

中圖分類號：G427文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2014）18-082-1一、特殊值探路，尋求解題途徑

有關(guān)取值范圍問題是一個(gè)變化的問題，在沒有確定它的求解方法之前，可以對試題進(jìn)行必要的研究，考慮到取值范圍的上下界，一般都是在某些特殊位置取得，因此考查特殊位置關(guān)系時(shí)相應(yīng)的值，一般可以求得問題的正確答案，進(jìn)一步由此尋找到問題求解的途徑。

例1如圖1所示，已知扇形AOB中，∠AOB=120°，OA=1，點(diǎn)P是弧AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB，求x+y的取值范圍。

分析：由于P是一個(gè)動點(diǎn)，隨著P點(diǎn)的移動，對應(yīng)x、y的值也在不斷變化?？紤]到x+y取得最值的時(shí)候可能是P在A或B的位置，或在弧AB的中點(diǎn)位置，因此我們可以考察上述特殊位置時(shí)x、y的值。

當(dāng)P在A點(diǎn)位置時(shí)，x=1，y=0，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在B點(diǎn)位置時(shí)，x=0，y=1，這時(shí)x+y=1；當(dāng)P在弧AB的中點(diǎn)位置時(shí)，如圖2所示，這時(shí)四邊形AOBP恰好是一個(gè)菱形，這時(shí)x=1，y=1，這時(shí)x+y=2，由此可知x+y的取值范圍是[1，2]。

由上述特殊位置的探索，聯(lián)想到無論P(yáng)如何運(yùn)動，OP的長度始終是不變的，這就為我們尋找到正確的解題方法提供了有效途徑。

二、引入新元素，變換求解思路

取值范圍問題一般是一個(gè)動態(tài)的變量問題，要考慮一個(gè)變量的取值范圍或最值，應(yīng)該從引起變動的原因入手，尋找變動的根源，由此引入新的變量，從而將問題轉(zhuǎn)化為新元的函數(shù)問題或其他問題，進(jìn)一步使得問題得到有效解決。

例2在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A（-1，0），B（0，3），C（3，0），動點(diǎn)D滿足|CD|=1，則|OA+OB+OD|的最大值是（2014高考湖南卷）

分析：由題意可知A、B、D三個(gè)點(diǎn)中只有D是一個(gè)動點(diǎn)，因此|OA+OB+OD|的最值只與D點(diǎn)的位置有關(guān)。又因?yàn)閨CD|=1，所以點(diǎn)D的軌跡為以C為圓心，半徑為1的圓，由此我們可以考慮引入一個(gè)新的元素∠DOx=θ，于是問題就轉(zhuǎn)化為關(guān)于新元素θ的函數(shù)問題，從而可以求得|OA+OB+OD|的最大值。

三、建立坐標(biāo)系，向量問題實(shí)數(shù)化

向量的加減運(yùn)算是一個(gè)幾何范疇的問題，如果局限于向量運(yùn)算的三角形法則或平行四邊形法則，有時(shí)不但運(yùn)算繁瑣，而且不容易理解。如果我們基于題設(shè)條件，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，就可以將向量的加減運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到有效解決。

例3如圖3所示，在正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，P為以A為圓心、AB為半徑的圓弧上的任意一點(diǎn)，設(shè)向量AC=λDE+μAP，則λ+μ的最小值為。

分析：由題意可知AC、DE都是定向量，只有AP是一個(gè)變動的向量，而從圖形中無法直接得到三個(gè)向量AC、DE、AP的線性關(guān)系，由于向量AP的模是一個(gè)定值，且A是定點(diǎn)，故向量AP只與∠BAP有關(guān)，因此可以考慮將∠BAP設(shè)計(jì)為新元素θ，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將λ+μ轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)θ的函數(shù)，再求出它的最值。

四、知識巧遷移，化歸為其他問題求解

取值范圍問題有時(shí)會由多個(gè)運(yùn)動的點(diǎn)或其他變化的量形成。由于變量較多，僅在向量運(yùn)算范圍內(nèi)求解，顯然是有較大困難的。這時(shí)如果我們將不同的量巧妙地轉(zhuǎn)化為新的元素，實(shí)現(xiàn)不同章節(jié)的知識的有效遷移，將向量中的最值問題，化歸為新元素的不等（或相等）關(guān)系，再結(jié)合不等式或其他的相應(yīng)知識，就可以使得問題得到解決。

例4已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點(diǎn)M、N分別為線段BC、CD上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且|MN|≤1，∠MON=α，則|OM|·|ON|cosα的取值范圍是。

分析：注意到|OM|·|ON|cosα就是OM·ON，而點(diǎn)O是一個(gè)定點(diǎn)，所以O(shè)M·ON與M、N兩點(diǎn)的位置有關(guān)，從而可以將OM·ON表示為M、N兩點(diǎn)相應(yīng)位置的關(guān)系式，由于|MN|≤1表示的是一個(gè)圓面，再結(jié)合線性規(guī)劃的知識就可以求出OM·ON的最值。

向量運(yùn)算中的取值范圍問題，有時(shí)僅考查向量有關(guān)的內(nèi)容，更多的只是以向量內(nèi)容作為平臺，考查函數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式、解析幾何等知識。要順利完成這一類試題的求解，除需要熟悉向量的相關(guān)內(nèi)容，并且能夠熟練應(yīng)用以外，還應(yīng)借它山之石，靈活運(yùn)用其他章節(jié)的相關(guān)知識，才能順利完成向量中有關(guān)取值范圍的試題的求解。endprint