楊伍梅，劉 權(quán)

（1.益陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南益陽 413049；2.湖南創(chuàng)元電廠，湖南常德 415000）

基于MATLAB的多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)投資組合方法的探討*

楊伍梅1，劉 權(quán)2

（1.益陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部，湖南益陽 413049；2.湖南創(chuàng)元電廠，湖南常德 415000）

目前投資種類繁多且風(fēng)險(xiǎn)各異，投資者很難選取收益較高而風(fēng)險(xiǎn)較低的可操作性投資組合.針對這一問題，利用多目標(biāo)規(guī)劃的方法建立投資組合優(yōu)化問題的一般模型，在合理假設(shè)的基礎(chǔ)上將多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)規(guī)劃問題，使模型簡化更具有可操作性.采用Matlab對實(shí)例進(jìn)行計(jì)算，驗(yàn)證了所提方法的可行性和實(shí)效性.

多目標(biāo)規(guī)劃；最優(yōu)投資組合；MATLAB；收益；風(fēng)險(xiǎn)

現(xiàn)實(shí)投資中，在各類投資的收益和風(fēng)險(xiǎn)各不相同的情況下，投資者希望對收益和風(fēng)險(xiǎn)做出綜合分析，找出一種收益最大而風(fēng)險(xiǎn)最小的最優(yōu)投資組合［1］.與之相關(guān)的理論層出不窮，伴隨著Matlab優(yōu)化工具箱的出現(xiàn)，極大地簡化了人們對此問題優(yōu)化算法求解的實(shí)現(xiàn)過程［2］.這里介紹一種多目標(biāo)規(guī)劃擇取最優(yōu)投資組合的方法［3］，在Matlab平臺下編寫程序，設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)投資組合最優(yōu)化.

1 多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)投資組合模型

1.1 理論假設(shè)

（1）在一定時(shí)期內(nèi)針對各種投資所給出的平均收益率、損失率、交易費(fèi)率保持不變［4］.

（2）在一定時(shí)期內(nèi)所購買的各種資產(chǎn)不進(jìn)行買賣交易.（3）各種投資是否收益是相互獨(dú)立的.

（4）在投資過程中，不管盈利與否必須付交易費(fèi).

1.2 符號說明

M（元）：投資總額；

n：投資種類；

Si（i＝0，1，2，…，n）：購買的第i種投資；其中S0代表存入銀行；

xi（i＝0，1，2，…，n）：購買Si的金額；

ri（i＝0，1，2，…，n）：購買Si的平均收益率；r0為存入銀行的利率，取值為5%；

qi（i＝0，1，2，…，n）：購買Si的損失率；

pi（i＝0，1，2，…，n）：購買Si超過ui時(shí)所付交易費(fèi)率．

1.3 建立模型

由分析可知，對Si投資的收益為：rixi；對Si投資xi時(shí)所付的交易費(fèi)為C（x），則ii

為簡化計(jì)算，可假設(shè)投資額M相當(dāng)大［5］，從而對每個(gè)Si的投資xi均會超過ui，則（1）式可簡化為：

顯然，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問題，現(xiàn)采用主要目標(biāo)法，將之轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)最優(yōu)化問題.

1.4 模型簡化和求解

方案一：如果以收益為主要目標(biāo)，則可固定風(fēng)險(xiǎn)水平［7］，將問題轉(zhuǎn)化成為求最大風(fēng)險(xiǎn)不超過a時(shí)的最大收益，對應(yīng)式（3）的線性規(guī)劃模型一：

方案二：若投資者希望總盈利超過K，則可在風(fēng)險(xiǎn)最小的情況下尋找最優(yōu)投資組合［8］，從而轉(zhuǎn)化為如式（4）的線性規(guī)劃模型二：

2 利用Matlab求解模型、分析結(jié)果

為了檢驗(yàn)上述兩個(gè)模型的實(shí)用性和可操性，我們針對表1所提供的數(shù)據(jù)，利用模型一進(jìn)行求解.

設(shè)某公司有筆足夠大的資金M用來投資，而目前市場上有n種資產(chǎn)可供選擇，相關(guān)數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 投資風(fēng)險(xiǎn)與收益表

下面我們利用Matlab對此問題進(jìn)行求解并進(jìn)行投資分析.將表中的數(shù)據(jù)代入模型一中，可以得到Matlab的標(biāo)準(zhǔn)型為：

由于a是任意給定的風(fēng)險(xiǎn)度，為了簡化計(jì)算，在求解的過程中不妨用試探的方法，從a＝0開始，以步長Δa＝0．001進(jìn)行搜索，通過實(shí)驗(yàn)來分析風(fēng)險(xiǎn)度a和收益Q之間的關(guān)系.

相應(yīng)的Matlab代碼如下：

通過運(yùn)行Matlab程序，可得風(fēng)險(xiǎn)與收益關(guān)系圖如下：

圖1 風(fēng)險(xiǎn)度與收益關(guān)系圖

圖2 圖1的局部放大圖

分析上述兩圖：

（1）由圖1可知，收益隨風(fēng)險(xiǎn)增大而增大.

（2）由數(shù)據(jù)可以看出，投資者若要降低風(fēng)險(xiǎn)，則需分散投資.

（3）曲線上的每一點(diǎn)都表示該風(fēng)險(xiǎn)水平下最大可能收益和該收益下的最小風(fēng)險(xiǎn).投資者可根據(jù)其風(fēng)險(xiǎn)承受能力，選擇該風(fēng)險(xiǎn)水平下的最優(yōu)投資組合.

（4）由圖2可以看出，在a（18）＝0．025附近有一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)．在該點(diǎn)左邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很少時(shí)，而利潤增長很快；在該點(diǎn)右邊，風(fēng)險(xiǎn)增加很大時(shí)，而利潤增長卻很緩慢．所以對于風(fēng)險(xiǎn)和收益沒有特殊偏好的投資者來說，應(yīng)選擇該轉(zhuǎn)折點(diǎn)a（18）＝0．025，Q*＝Q（18）＝0．267作為最優(yōu)投資組合，所對應(yīng)投資方案為：x＝［0，1，1．6667，0．4545，0．78125，1.7857，0．9615］T．

3 結(jié)論

由上述分析可知，利用Matlab求解多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)投資組合是一種操作簡單、結(jié)果可靠、計(jì)算精度高的方法［9］.此方法采用投資取舍原則，排除了部分項(xiàng)目，將十分復(fù)雜的多目標(biāo)規(guī)劃問題簡化為線性規(guī)劃求解，在找到合適的解的同時(shí)又提高了計(jì)算速度和效率.而且采取固定風(fēng)險(xiǎn)求解最大收益的方案，不僅可使求解過程極大簡化，也可給投資者多種選擇方案，可操作性較強(qiáng).

［1］任立民，鄧芳.投資組合中多目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用［J］.海峽科學(xué)，2007，（7）：72－75.

［2］李明.詳解MATLAB在最優(yōu)化計(jì)算中的應(yīng)用［M］.北京：電子工業(yè)出版社，2011.

［3］方運(yùn)生.目標(biāo)規(guī)劃最優(yōu)投資組合方法［J］.池州師專學(xué)報(bào)，2003，（3）：4－6.

［4］馬昌鳳.最優(yōu)化方法及其MATLAB程序設(shè)計(jì)［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［5］石猛，孫靜.基于MATLAB的優(yōu)化工具箱的最優(yōu)投資方案的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)［J］.現(xiàn)代計(jì)算機(jī)，2003，（10）：80－82.

［6］曹圓圓，朱孔來.基于MATLAB的證券投資組合優(yōu)化分析［J］.科技情報(bào)開發(fā)與經(jīng)濟(jì)，2006，（16）：142－143.

［7］李伯德.最優(yōu)投資組合的數(shù)學(xué)模型與案例分析［J］.蘭州商學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，（2）：98－99.

［8］暢文生，黃曉乃，伍衡山，等.模糊數(shù)學(xué)在采礦方法優(yōu)化選擇中的應(yīng)用［J］.長沙大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，（4）：54－57.

［9］張國輝，趙麗紅.緊急物資調(diào)運(yùn)問題的數(shù)學(xué)模型研究［J］.湖南城市學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011，（2）：36－39.

（責(zé)任編校：晴川）

Study of MATLAB Multi－objective Programm ing Method Based on Optimal Portfolio

YANGWumei1，LIU Quan2
（1.Department of Basic Courses，YiYang Vocational and Technical College，Yiyang Hunan 413049，China；2.Chuangyuan Power Plant in Hunan，Changde Hunan 415000，China）

Currently，there are various different investment risks，so it is hard for investors to select an operational portfolio with high income and low risk.In allusion to this problem，the study utlizes themethod ofmultiobjective programming to setup the generalmodel of portfolio optimization，and on the basis of reasonable hypothesis，themultiobjective programming problem is transformed into a single objective programmingwhich ismore operational.Matlab is used to calculate the example，which has verified the effectiveness and feasibility of the proposed method.

multiobjective programming；optimal portfolio；Matlab；income；risk

O221.6

A

1008－4681（2014）05－0009－03

2014－08－30

楊伍梅（1981－），女，湖南益陽人，益陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)課部講師，碩士.研究方向：最優(yōu)化理論與算法.