余躍玉

（四川文理學(xué)院數(shù)學(xué)與財(cái)經(jīng)學(xué)院,四川 達(dá)州635000）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

隨著科技的發(fā)展,計(jì)算能力的提高,分?jǐn)?shù)階微分方程不僅越來(lái)越多的應(yīng)用于光學(xué)、熱學(xué)、材料學(xué)、力學(xué)、信號(hào)處理和辨別、控制學(xué)、生物學(xué)、金融及其其它領(lǐng)域［1-5］,而且能更好地?cái)M合某些自然物理過(guò)程和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)過(guò)程,特別是分?jǐn)?shù)階時(shí)間導(dǎo)數(shù)模型能用較少的參數(shù)精確地?cái)M合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),因此分?jǐn)?shù)階微分方程引起了廣大學(xué)者的關(guān)注.然而,分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解往往形式復(fù)雜,很難用簡(jiǎn)單的函數(shù)表示而且有些非線(xiàn)性的方程的解析解是不易求得的,于是研究分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解引起了廣大學(xué)者的關(guān)注［6-8］.

2 差分格式的建立及差分解存在唯一性

3 差分格式的穩(wěn)定性

4 差分解的收斂性

5 數(shù)值試驗(yàn)

對(duì)于方程（2） ～（4）,考慮α＝1.8,β＝0.7,λ＝μ＝1,L＝2,T ＝1,f（x） ＝g（x）＝0,

時(shí)的情形,此時(shí)方程的精確解為:u（x,t） ＝t2x（2-x）.

表1給出了當(dāng)t＝1,空間、時(shí)間步長(zhǎng)分別為τ＝0.1、h＝0.1,τ＝0.05、h＝0.05和 τ＝0.01、h＝0.01時(shí)的數(shù)值解與精確解u（x,1）.從表1可見(jiàn),當(dāng)網(wǎng)格剖分越細(xì)時(shí),數(shù)值解越接近精確解.這說(shuō)明該格式是有效的.

表2給出了取不同的時(shí)間、空間步長(zhǎng),在時(shí)間t＝0.1,0.2,…,1.0時(shí)的L∞-誤差,數(shù)值結(jié)果表明收斂階能達(dá)到O（τ+h2）,與理論分析一致.

表1 當(dāng)t＝1時(shí)不同步長(zhǎng)下的數(shù)值解與精確解的比較Table 1 The comparison of numerical solution and exact solution in different steps when t＝1

表2 在t時(shí)刻的每個(gè)時(shí)間層上的L∞-誤差Table 2 The‖·‖L∞errors of numerical solution

致謝四川文理學(xué)院校級(jí)項(xiàng)目（2013Z003Z）和教育教學(xué)改革項(xiàng)目（2013JZ14）對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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