劉 磊, 孫彩賢

（1.商丘師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南 商丘476000； 2.河南工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,河南 鄭州450001）

本文中N表示正整數(shù)集.記Z+＝N∪｛0｝.設(shè)X為一個(gè)拓?fù)淇臻g,fn:X→X（n∈N）為一個(gè)連續(xù)映射,f1,∞表示序列（f1,f2,…,fn,…）.（X,f1,∞）稱(chēng)為一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)［1］.如果X是緊致空間,則稱(chēng)（X,f1,∞）為一個(gè)緊致非自治離散動(dòng)力系統(tǒng).定義

以及是X上的單位映射.特別地,當(dāng)f1,∞是一個(gè)常序列（f,…,f,…）,則（X,f1,∞）就是經(jīng)典的離散動(dòng)力系統(tǒng)（自治離散動(dòng)力系統(tǒng)）（X,f）.定義x∈X在f1,∞下的軌道為

它的長(zhǎng)期動(dòng)力系統(tǒng)行為由它的極限集決定.

在過(guò)去的十幾年間,大量的文章研究專(zhuān)注于非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的各種動(dòng)力學(xué)性質(zhì).S.Kolyada等［1］給出了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)潇囟x,S.Kolyada［2］討論了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的極小集的性質(zhì),R.Kempf［3］和 J.S.Canovas［4］研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的ω-極限集.W.Krabs［5］研究了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的穩(wěn)定性.文獻(xiàn)［6-7］討論了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的拓?fù)鋲汉驮耢?Y.Shi等［8］以及P.Oprocha等［9］分別討論了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的混沌問(wèn)題.最近,文獻(xiàn)［10］研究了一類(lèi)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的Li-Yorke混沌以及文獻(xiàn)［11］討論了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的初值敏感性.

L.S.Block等［12］介紹了經(jīng)典動(dòng)力系統(tǒng)（自治離散系統(tǒng)）的漸近穩(wěn)定集概念,R.A.Mimna等［13］討論了半同胚的ω-極限集和漸近穩(wěn)定集,P.Oprocha［14］研究了連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定集.本文給出了非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的ω-極限集和漸近穩(wěn)定集.目的是研究非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)漸近穩(wěn)定集的性質(zhì).特別地,給出了一個(gè)非自治離散系統(tǒng)有漸近穩(wěn)定集的一些充分條件.

1 基本理論

定義1.1設(shè)（X,f1,∞）為一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng).對(duì)每一個(gè) x∈X 和 m∈Z+,γm（x,f1,∞） ＝稱(chēng)為從時(shí)間m開(kāi)始通過(guò)x的軌道.如果m＝0,將忽略時(shí)間指標(biāo).

定義1.2設(shè)（X,f1,∞）為一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)以及 x∈X.定義 ω（x,f1,∞）為軌道 γ（x,f1,∞）的極限點(diǎn)構(gòu)成的集合,即ω（x,f1,∞）＝,這里是 γm（x,f1,∞）的閉包.

定義 1.3［2］設(shè)（X,f1,∞）為一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng).A?X稱(chēng)為不變集,如果對(duì)每一個(gè)n∈N,有

對(duì)自治離散系統(tǒng)（X,f）,由文獻(xiàn)［12］,如果 X是緊的,則對(duì)每一個(gè)x∈X,ω（x,f）是不變的.但是,對(duì)一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)（X,f1,∞）,對(duì)某一個(gè)x∈X,ω（x,f1,∞）可能不是不變的.給出如下的例子［3］表明 ω（x,f1,∞）不是不變的.

例 1.1設(shè)X ＝［0,1］,fn:［0,1］→［0,1］為一個(gè)連續(xù)映射序列,以及對(duì)每一個(gè)n∈N,

定義1.4設(shè)（X,f1,∞）為一個(gè)非自治離散動(dòng)力系統(tǒng).f1,∞稱(chēng)為k-周期離散系統(tǒng),如果存在k∈N使得對(duì)每一個(gè) x∈X 和 n∈N,有 fn+k（x） ＝fn（x）.

設(shè)（X,f1,∞）為一個(gè)k-周期離散系統(tǒng)（k∈N）.定義 g ＝:fk?fk-1?… ?f1,稱(chēng)（X,g）是由 k-周期離散系統(tǒng)（X,f1,∞）誘導(dǎo)的自治離散系統(tǒng).

定義 1.5［15］設(shè) X 為一個(gè)拓?fù)淇臻g和｛Yi｝i∈I為 X 的子集構(gòu)成的族.則族｛Yi｝i∈I具有有限交性質(zhì),如果對(duì)I的每一個(gè)有限子集J,是一個(gè)非空集合.

定理1.1［15］設(shè)X為一個(gè)度量空間,K是X的一個(gè)緊子集和C為X的一個(gè)閉子集且K∩C＝?.則存在X的2個(gè)開(kāi)集U和V,使得K?U,C?V以及U∩V＝?.

2 非自治離散動(dòng)力系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定集

［1］ Kolyada S,Snoha L.Topological entropy of nonautonomous dynamical systems［J］.Random Comput Dynam,1996,4:205-233.

［2］ Kolyada S,Snoha L,Trofimchuk S.On minimality of nonautonomous dynamical systems［J］.Nonlinear Oscil,2004,7:83-89.

［3］ Kempf R.On Ω-limit sets of discrete-time dynamical systems［J］.J Difference Equ Appl,2002,8:1121-1131.

［4］ Canovas J S.On ω-limit sets of non-autonomous discrete systems［J］.J Difference Equ Appl,2006,12:95-100.

［5］ Krabs W.Stability and controllability in non-autonomous time-discrete dynamical systems［J］.J Difference Equ Appl,2002,8:1107-1118.

［6］ Huang X,Wen X,Zeng F.Topological pressure of nonautonomous dynamical systems［J］.Nonlinear Dynam Sys Theory,2008,8:43-48.

［7］ Huang X,Wen X,Zeng F.Pre-image entropy of nonautonomous dynamical systems［J］.J Syst Sci Complexity,2008,21:441-445.

［8］ Shi Y,Chen G.Chaos of time-varying discrete dynamical systems［J］.J Difference Equ Appl,2009,15:429-449.

［9］ Oprocha P,Wilczynski P.Chaos in nonautonomous dynamical systems［J］.An St Ovidius Constanta,2009,17:209-221.

［10］ Wu X,Zhu P.Chaos in a class of non-autonomous discrete systems［J］.Appl Math Letters,2013,26:431-436.

［11］ Li R.A note on uniform convergence and transitivity［J］.Chaos,Solitons＆ Fractals,2012,45:759-764.

［12］ Block L S,Coppel W A.Dynamics in one dimension［C］//Lecture Notes in Math,1513.Berlin:Springer-Verlag,1992.

［13］ Mimna R A,Steele T H.Asymptotically stable sets for semi-homeomorphisms［J］.Nonlinear Anal,2004,59:849-855.

［14］Oprocha P.Topological approach to chain recurrence in continuous dynamical systems ［J］.Opuscula Math,2005,25:261-268.

［15］ Engelking R.General Topology［M］.Warszawa:PWN,1977.