張彩芬, 吳澤忠

（成都信息工程學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院,四川成都610225）

設(shè)Rn表示n維空間,Rn+表示它的非負(fù)象限.文獻(xiàn)［1］考慮了如下規(guī)劃:

很多學(xué)者運(yùn)用函數(shù)的凸性對(duì)分式規(guī)劃做了相關(guān)的研究,文獻(xiàn)［2-4］分別在不變凸性、（F,ρ）-凸性和（F,α,ρ,d） -凸性的假設(shè)下,擴(kuò)展了文獻(xiàn)［1］ 的結(jié)果,得到規(guī)劃（P）的對(duì)偶規(guī)劃及其各自的弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶、嚴(yán)格逆對(duì)偶定理；文獻(xiàn)［5-10］對(duì)可微廣義分式規(guī)劃做類(lèi)似的研究并得出相應(yīng)的結(jié)論；文獻(xiàn)［11-14］對(duì)非可微廣義分式規(guī)劃及其對(duì)偶模型做了研究；文獻(xiàn)［15-17］運(yùn)用函數(shù)的凸性對(duì)多目標(biāo)分式規(guī)劃及對(duì)偶做相關(guān)的研究.本文將在廣義ρ-不變凸性的假設(shè)下,得到（P）的2個(gè)對(duì)偶規(guī)劃及其各自的弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶和嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1.1［18］令f:X→R（X?Rn） 是可微函數(shù),ρ∈R,d:X ×X→R（x1≠x2,d（x1,x2）≠0）,η:X×X→Rn.

（a） 若對(duì) ?x ∈ X 都有 f（x） -f（x0） ≥▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -不變凸函數(shù)；

（b） 若對(duì)?x∈X,x≠x0,都有f（x）-f（x0） ＞▽f（x0）Tη（x,x0） +ρd2（x,x0）,則f在x0處是嚴(yán)格ρ-不變凸函數(shù)；

（c） 若對(duì) ?x∈ X,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） → f（x） ≥ f（x0） 或 f（x） ＜ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則f在x0處是ρ -偽不變凸函數(shù)；

（d） 若對(duì) ?x∈ X,x≠ x0,都有 ▽f（x0）Tη（x,x0） ≥-ρd2（x,x0） →f（x） ＞f（x0） 或f（x） ≤f（x0）→ ▽f（x0）Tη（x,x0） ＜-ρd2（x,x0）；則 f在 x0處是嚴(yán)格ρ-偽不變凸函數(shù)；

（e） 若對(duì) ?x ∈ X 都有 f（x） ≤ f（x0） →▽f（x0）Tη（x,x0） ≤-ρd2（x,x0）,則f在x0處是ρ -擬不變凸函數(shù).

2 充分條件

3 對(duì)偶定理

3 結(jié)語(yǔ)

在廣義ρ-不變凸性的假設(shè)下,得到廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性的充分條件并得到2個(gè)對(duì)偶規(guī)劃的弱對(duì)偶、強(qiáng)對(duì)偶、嚴(yán)格逆對(duì)偶定理.廣義分式規(guī)劃在不同凸函數(shù)的基礎(chǔ)上,已有很多的研究成果,更有待進(jìn)一步去研究.ρ-不變凸性也可以運(yùn)用于研究多目標(biāo)分式規(guī)劃.

致謝成都信息工程學(xué)院2012年中青年學(xué)術(shù)帶頭人基金（J201218）和成都信息工程學(xué)院2012年人才引進(jìn)基金（KYTZ201203）對(duì)本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

［1］ Chandra S,Kumar V.Duality in fractional minimax programming［J］.J Austral Math Soc,1995,A58:376-386.

［2］ Liu J C,Wu C S.On minimax fractional optimality conditions with invexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:21-35.

［3］ Liu J C,Wu C S.On minimax optimality conditions with （F, ρ） -convexity［J］.J Math Anal Appl,1998,219:36-51.

［4］ Liang Z A,Shi Z W.Optimality conditiongs and duality for a minimax fractional with generalized convexity ［J］.J Math Anal Appl,2003,277:474-488.

［5］王興國(guó).（F,ρ）-不變凸性下廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,28（1）:66-69.

［6］王興國(guó).廣義分式規(guī)劃的混合型對(duì)偶［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,24（4）:332-336.

［7］王興國(guó).廣義分式規(guī)劃的一個(gè)混合型對(duì)偶［J］.曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2002,28（2）:41-45.

［8］ Antczak T.Generalized fractional minimax programming with B-（F, ρ）-invexity［J］.Comput Math Appl,2008,56:1505-1525.

［9］ Ahmad I,Husain Z.Optimality conditions and duality in nondifferentiable minimax fractional programming with generalized convexity［J］.J Theory Appl,2006,129:255-275.

［10］焦合華.B-（F,ρ）-不變凸規(guī)劃的最優(yōu)性條件及混合型對(duì)偶［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2010,40（16）:138-143.

［11］ 袁德輝,龔海林.（C,α,ρ,d）凸極大極小分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.南昌大學(xué)學(xué)報(bào):理科版,2006,30（2）:127-129.

［12］王興國(guó).一類(lèi)不可微廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.長(zhǎng)春大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,19（8）:65-69.

［13］羅和治,吳惠仙,朱藝華.一類(lèi)非可微廣義分式規(guī)劃的混合型對(duì)偶［J］.浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2003,31（2）:182-186.

［14］羅和治.一類(lèi)非可微廣義分式規(guī)劃的最優(yōu)性必要條件［J］.浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2001,24（3）:239-243.

［15］吳澤忠,鄭豐華.一類(lèi)非線性分式規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)性條件和對(duì)偶［J］.四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,30（5）:594-597.

［16］李向有,張慶祥,苗紅梅,等.不變凸多目標(biāo)分式規(guī)劃的最優(yōu)性［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2009,28（2）:18-20.

［17］羅勇,姚元金.G-（F,ρ）凸性下的非光滑多目標(biāo)分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.延安大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2010,29（4）:3-6.

［18］ Zalmai G J,Zhang Q H.Parametric duality models for semi-infinite discrete minmax fractional programming problems involving generalized （η,ρ） -invex functions［J］.Acta Math Appl Sinica,2007,23:353-376.