梁 英

（湛江師范學院數(shù)學與計算科學學院,廣東湛江524048）

Gronwall不等式在微分方程、積分方程以及積分微分方程理論中是一個被廣泛應用的強有力工具,國內(nèi)外許多研究人員開展了大量的研究工作［1-4］.近年來,隨著系統(tǒng)控制理論研究中時滯系統(tǒng)的大量出現(xiàn),使得人們在對時滯控制的穩(wěn)定性、漸近性等定性研究中,開始討論含時滯的Gronwall不等式［5-8］.另一方面,E.F.Beekenbaeh 等［9］分別在研究離散粒子在湍流中的擴散現(xiàn)象和熱傳導問題中遇到了Volterra型奇異積分微分方程

討論這些奇異積分微分方程解的形態(tài)和數(shù)值計算,都離不開相應的奇異積分不等式.

1981年D.Henry［10］提出了一種估計帶有弱奇異核的線性積分不等式解的方法,1994年H.Sano等［11］將此結(jié)果做出了進一步改進；但是他們給出的結(jié)果都是用疊代法以及復雜的冪級數(shù)形式表達某些奇異積分不等式解的界,使用時不夠方便.

為了避免這些結(jié)果的不足,1997年M.Medved［12］提出一種估計帶有奇異核的線性如（2）式和非線性如（3）式的Gronwall-Bellman-Bihari型積分不等式的新方法.

2002年Q.H.Ma等［13］進一步改進Medved 的方法,研究了弱奇性Volterra型積分不等式

得到了分片連續(xù)的顯式形式的界.

在此基礎上,2008年Y.Wu［14］研究了單變量具有時滯的弱奇性Volterra型積分不等式

本文在以上研究的基礎上,考慮了一類新的更具有一般形式的弱奇性Wendroff型積分不等式

與不等式（4）和（5）相比,首先是不等式含有2個獨立變量,其次形式更一般,所得的關(guān)于積分不等式（6）的估計更具有廣泛適用性.

1 定義和引理

這一節(jié)將給出一些記號與引理,它們將在后繼的證明中使用.R表示全體實數(shù),R+＝［0,+∞）,D1z（x,y）和 D1z（x,y）表示 z（x,y）分別對 x 和 y 的一階偏導數(shù).幾個假設條件（i＝1,2）:

（H1）φ是C（R+,R+）上嚴格單調(diào)遞增函數(shù),且φ（∞）＝∞,

（H2） αi∈（0,1］,βi∈（0,1）,γi＞1-1/p且1/p+αi（βi-1） +γi-1≥0（p＞1）,

（H3） bi（t）滿足 0≤bi（t）≤t,t∈R+是連續(xù)可微函數(shù),

2 主要結(jié)論

3 應用

［1］ Deng S.Nonlinear discrete inequalities with two variables and their applications［J］.Appl Math Comput,2010,217:2217-2225.

［2］ Medved M.On singular versions of Bihari and Wendroff-Pachpatte type integral inequalities and their application ［J］.Tatra Mt Math Publ,2007,38:163-174.

［3］ Wang W S.On a generalized retarded integral inequalities with two variables［J］.J Inequal Appl,2008,2008:518646.

［4］ Zheng K L,Wu Y,Deng S.Nonlinear integral inequalities in two independent variables and their applications ［J］.J Inequal Appl,2007,2007:32949.

［5］ Agarwal R P,Deng S,Zhang W.Generalization of a retarded Gronwall-like inequality and its applications［J］.Appl Math Comput,2005,165:599-612.

［6］ Deng S,Prather C.Generalization of an impulsive nonlinear singular Gronwall-Bihari inequality with delay［J］.J Inequal Pure Appl Math,2008,9:34.

［7］ Wu Y,Li X P,Deng S.Nonlinear delay discrete inequalities and their applications to Volterra type difference equations ［J］.Adv Difference Equ,2010,2010:795145.

［8］ Zheng K L.Some retarded nonlinear integral inequalities in two variables and applications［J］.J Inequal Pure Appl Math,2008,9:57.

［9］ Beekenbaeh E F,Bellman R.In Equalities［M］.New York:Springer-Verlag,1961.

［10］ Henry D.Geometric Theory of Semilinear Parabolic Equations［M］.New York:Springer-Verlag,1981.

［11］ Sano H,Kunimatsu N.Modified Gronwall's inequality and its application to stabilization problem for semilinear parabolic systems［J］.Syst Control Lett,1994,22:145-156.

［12］ Medved M.A new approach to an analysis of Henry type integral inequalities and their Bihari type versions ［J］.J Math Anal Appl,1997,214:349-366.

［13］ Ma Q H,Yang E H.Estimations on solutions of some weakly singular Volterra integral inequalities［J］.Acta Math Appl Sinca,2002,25:505-515.

［14］ Wu Y.A new type of weakly singular volterra integral inequalities［J］.Acta Math Appl Sinica,2008,31（4）:584-591.