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        Q0-SM環(huán)及其w-全局變換環(huán)

        2014-10-09 01:19:38周德川王芳貴
        關(guān)鍵詞:同態(tài)分式正則

        周德川, 王芳貴

        (四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066)

        乘法理想理論為整環(huán)的刻畫提供了許多方法,人們希望這樣的做法能用于一般的交換環(huán)上.傳統(tǒng)上,通過用交換環(huán)的完全分式環(huán)T(R)來替換整環(huán)的商域,也獲得了一些對應(yīng)的結(jié)果(參見文獻(xiàn)[1-3]).但這樣的做法最終未能普及,其原因是關(guān)于整環(huán)的許多經(jīng)典結(jié)果在一般交換環(huán)上未能有一個對應(yīng)描述.例如,當(dāng)R是整環(huán)時,R是整閉整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)多項式環(huán)R[X]是整閉整環(huán).盡管可以借助T(R)定義一般交換環(huán)的整閉包和在T(R)中的整閉整環(huán),但1979年J.W.Brewer等[4]指出,R是在T(R)中約化的整閉環(huán),未必有R[X]在T(R[X])中整閉.因此,用T(R)替代整環(huán)的商域未必是最好的方法.T.G.Lucas[5]嘗試用Q0(R)來替代整環(huán)的商域,用于研究一般交換環(huán)上可能展開的乘法理想理論;1989年他證明了R是在Q0(R)中整閉的約化環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R[X]在Q0(R[X])中是整閉的.于是2004年,T.G.Lucas[6]借助Q0(R)與半正則理想把Mori整環(huán)推廣到一般交換環(huán)上,定義了Q0-Mori環(huán),并對其進(jìn)行了很多的討論.在此基礎(chǔ)上,本文定義了Q0-SM環(huán),即交換環(huán)R滿足半正則w-理想的升鏈條件,且若{In}是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則{In}穩(wěn)定,并對其基本性質(zhì)進(jìn)行了討論.已知SM整環(huán)是Mori整環(huán)、Mori整環(huán)是TV整環(huán)、TV整環(huán)是H整環(huán),本文相應(yīng)地定義了Q0-H環(huán)、Q0-TV環(huán),并證明了此關(guān)系依然存在.證明了若R是Q0-TV環(huán),則R的半正則t-理想只包含在有限多個極大w-理想中.若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則理想只包含在有限多個半正則極大w-理想中.然后定義了一般交換環(huán)R的w-全局變換環(huán)Rw*,并證明了R是Q0-SM環(huán),則Rw*也是Q0-SM環(huán)且

        t-dim(Rw*)=t-dim(R)-1.

        1 Q0-SM環(huán)

        設(shè)R是交換環(huán),J是R的有限生成理想,如果自然同態(tài)φ:M→J*=HomR(J,R)是同構(gòu),則J稱為R的GV-理想,用GV(R)表示R的GV-理想全體.I是R的理想,若I中包含R的一個正則元,則I稱為R的正則理想;若存在I的有限生成子理想I0,使得ann(I0)=0,則I稱為R的半正則理想.用S0表示R的所有有限生成半正則理想的集合,T(R)表示R的完全分式環(huán),Q0(R)={u∈T(R[X])|存在I∈S0,使得Iu?R}.設(shè)

        α=∑aiXi/∑biXi∈T(R[X]),

        則α∈Q0(R)當(dāng)且僅當(dāng)對任何i、j有aibj=ajbi.R-模B?Q0(R)是R的分式理想是指存在R的半正則理想I,使得IB?R.若B包含一個Q0(R)的非零因子,且存在R的正則元r,使得rB?R,則B稱為R的正則分式理想;若B包含一個沒有非零零化子的有限生成分式理想,且存在R的有限生成半正則理想I,使得IB?R,則B稱為R的半正則分式理想.R-模M是w-模是指:M是GV-無撓模,且對任何J∈GV(R),定義模M的包絡(luò),Mw={x∈E(M)|存在J∈GV(R),使得Jx?M},M是w-模當(dāng)且僅當(dāng)Mw=M.若A是Q0(R)中的R-子模,記

        A-1=(R∶A)={t∈Q0(R)|tA?R}.

        I是R的分式理想,當(dāng)(I(R∶I))w=R時,則I稱為w-可逆分式理想.當(dāng)I是半正則分式理想時,(R∶I)也是半正則分式理想;當(dāng)I是正則分式理想時,(R∶I)也是正則分式理想.且對任何半正則分式理想I,有(R∶I)=(R∶I)v,由(R∶I)w?(R∶I)v知,有(R∶I)=(R∶I)w.并且有It=∪{(I0)v|其中I0取遍I的所有有限生成半正則子分式理想}[6].

        下面來看半正則理想及其包絡(luò)的一些性質(zhì).

        定理1.1設(shè)I是R的有限生成半正則理想,則I是GV-理想當(dāng)且僅當(dāng)I-1=R.

        定理1.2設(shè)I是R的半正則理想,則Iw=R當(dāng)且僅當(dāng)It=R.

        證明設(shè)It=R.則有I的有限生成子理想B,使得1∈Bv.于是有B-1=R.不妨設(shè)B就是半正則理想,由定理1.1知,B∈GV(R).從而有R=Bw?Iw?R,即有Iw=R.反之顯然成立.

        引理1.31)設(shè)I,J是環(huán)R的半正則分式理想,則(IJ)w=(IJw)w=(IwJw)w;

        2)設(shè)I是R的真w-理想,則存在R的極大w-理想m,使得I?m.因此,R一定有極大w-理想,且極大w-理想都是素理想;

        3)設(shè)m是R的半正則素理想,則m是極大w-理想當(dāng)且僅當(dāng)m是極大t-理想.

        證明1)、2)驗證是常規(guī)的.

        4)設(shè)m是極大t-理想,若m不是極大w-理想,則存在R的極大w-理想p,使得m?p.于是pt=R,由于p是半正則的,由定理1.2,pw=R,矛盾.

        反之,設(shè)m是極大w-理想.若m不是極大t-理想,則mt=R,有mw=R,矛盾.

        為了得到Q0-SM環(huán)的定義,需先回顧一下R的有限型模的相關(guān)概念.

        定義1.4設(shè)f:M→N是R-模同態(tài),若對R的任何極大w-理想m,fm:Mm→Nm是單同態(tài)(滿同態(tài)或同構(gòu)),則f稱為w-單同態(tài)(w-滿同態(tài)或w-同構(gòu)).

        定理1.5設(shè)M是R-模,若存在有限生成自由模F及w-滿同態(tài)g:F→M,則M稱為有限型的R-模.

        命題1.6設(shè)M是R-模.

        1)M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)存在M的有限生成子模B,使得對R的任何極大w-理想m,Mm=Bm.

        2)若M是GV-無撓模,則M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)存在M的有限生成子模B,使得Mw=Bw,從而M是有限型的當(dāng)且僅當(dāng)Mw是有限型的.

        相應(yīng)可以給出t-有限型,v-有限型的概念.Q0(R)是GV-無撓模,故R的分式理想都是GV-無撓模.若R的一個分式理想A是t-有限型的,當(dāng)且僅當(dāng)存在A的有限生成子分式理想I,使得At=It;若R的一個分式理想A是v-有限型的,當(dāng)且僅當(dāng)存在A的有限生成子分式理想I,使得Av=Iv.

        定理1.7設(shè)P是R的半正則非有限型的w-理想集合的極大元,則P是R的素w-理想.

        證明顯然有P是w-理想且P≠R.對r,x∈R,rx∈P,若r,x?P,來推出矛盾.令B={z∈R|rz∈P}.于是(P+rR)w與B是半正則w-理想且都真包含P,從而是有限型的.不妨設(shè)

        這與假設(shè)矛盾,因此有P是素w-理想.

        已知整環(huán)R是SM整環(huán)是指整環(huán)R滿足w-理想的升鏈條件,環(huán)R是SM環(huán)是指環(huán)R滿足正則w-理想的升鏈條件,相應(yīng)地來定義弱Q0-SM環(huán).

        定義1.8環(huán)R稱為弱Q0-SM環(huán)是指R滿足半正則w-理想的升鏈條件.

        定理1.9對環(huán)R,以下等價:

        1)R是弱Q0-SM環(huán);

        2)R的每一半正則w-理想是有限型的;

        3)R的每一半正則w-理想的非空集合有極大元;

        4)R的每一半正則素w-理想是有限型的;

        5)R的每一半正則理想是有限型的.

        證明1)?2) 設(shè)I是R的半正則w-理想,則存在I的有限生成子理想I0,使得ann(I0)=0,故I0是I的有限生成半正則子理想.若I不是有限型的,可取0≠x1∈I-I0,及n>1時,

        是R的半正則w-理想升鏈,但不是穩(wěn)定的,矛盾.故I是有限型的.

        2)?3) 設(shè)Γ是R的半正則w-理想的非空集合.設(shè){Ii}是Γ中的一個全序子集.令I(lǐng)=∪iIi,容易驗證I是R的半正則w-理想.由已知I是有限型的,由命題1.6知,存在I的有限生成子理想I0=(a1,a2,…,an),使得Iw=(I0)w.由于Ii是全序子集,存在Ik∈{Ii},使得I0?Ik,故I?Iw=(I0)w?(Ik)w=Ik?Iw=I,因此有I=Ik.于是I是該全序子集的上界.由Zorn引理知,Γ中有極大元.

        3)?1) 設(shè)I1?I2?…?In?…是R的半正則w-理想升鏈.由條件,Γ={In}中有極大元素In.于是當(dāng)m≥n時,Im=In.因此,該鏈?zhǔn)欠€(wěn)定的,故R是弱Q0-SM環(huán).

        2)?4) 顯然.

        4)?2) 若不然,則有R的半正則非有限型的w-理想的集合S是非空集.由Zorn引理知,S中有極大元,設(shè)為p,由定理1.7知,p是素w-理想,從而p是有限型的,矛盾.

        2)?5) 由命題1.6的2)即知.

        定理1.10設(shè)環(huán)R,以下等價:

        1)R是弱Q0-SM環(huán);

        2)對每個有限生成半正則理想Im的升鏈,存在正整數(shù)n,k≥n時,有(Ik)w=(In)w.

        證明1)?2) {Im}是有限生成半正則理想升鏈,則{(Im)w}是半正則w-理想的升鏈,由于R是弱Q0-SM環(huán),故此升鏈穩(wěn)定,即存在正整數(shù)n,k≥n時,有(Ik)w=(In)w.

        2)?1) 由定理1.9知,只需證R的半正則理想是有限型的.反證法,假設(shè)存在R的半正則理想I不是有限型的.設(shè)J1是I的有限生成半正則理想,則(J1)wIw,因此存在a2∈I-J1,使得J2=J1+a2R是R的有限生成半正則理想,且(J1)w(J2)wIw.又存在a3∈I-J2,使得J3=J2+a3R是R的有限生成半正則理想,且

        依次類推,有一個升鏈{(Jm)w},由2)知,存在正整數(shù)n,k≥n時,有(Jk)w=(Jn)w,與假設(shè)矛盾.故1)成立.

        定義1.11環(huán)R稱為Q0-SM環(huán)是指R是弱Q0-SM環(huán)且若{In}是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則{In}有降鏈條件.

        定義1.12環(huán)R稱為Q0-Mori環(huán)是指R滿足半正則v-理想的升鏈條件且若{In}是R的半正則v-理想的降鏈,∩In是半正則理想,則{In}有降鏈條件.

        定理1.13Q0-SM環(huán)是Q0-Mori環(huán).

        證明由半正則v-理想是半正則w-理想即知.

        定理1.14若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則分式理想是v-有限型的.

        證明由定理1.13及文獻(xiàn)[6]定理2.5及定理2.7即知.

        2 Q0-H環(huán)及Q0-TV環(huán)

        已知SM整環(huán)是Mori整環(huán),Mori整環(huán)是TV整環(huán),TV整環(huán)是H整環(huán),本文相應(yīng)地定義了Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán),并證明了此關(guān)系依然存在,并且對于Q0-SM環(huán)的討論,很多時候都會用到Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán)的相關(guān)性質(zhì),故本文就Q0-H環(huán),Q0-TV環(huán)進(jìn)行了定義,并對他們進(jìn)行了淺顯的討論.證明了若R是Q0-TV環(huán),則R的半正則t-理想只包含在有限多個半正則極大w-理想中.若R是Q0-SM環(huán),則R的半正則理想只包含在有限多個半正則極大w-理想中.

        定義2.1對環(huán)R的任何半正則理想I,只要I-1=R,就有一個J∈GV(R),使得J?I,則R稱為Q0-H環(huán).

        定理2.2設(shè)R是交換環(huán),以下各條等價:

        1)R是Q0-H環(huán);

        2)R的每個半正則極大w-理想是v-理想;

        3)設(shè)I是R的半正則理想,若I-1=R,則Iw=R.

        證明1)?2) 設(shè)R是Q0-H環(huán),m是R的半正則極大w-理想,若mv=R,則m-1=R,于是有J∈GV(R),使得J?m,這與m是w-理想矛盾,因此mv≠R,由m的極大性有mv=m.

        2)?3) 設(shè)I是R的半正則理想,若I-1=R,則Iv=R.若Iw≠R,由引理1.3知存在R的極大w-理想m,使得I?m,由條件Iv?mv=m,矛盾.因此有Iw=R.

        3)?1) 顯然.

        定義2.3若環(huán)R的半正則t-分式理想都是v-分式理想,則R稱為Q0-TV環(huán).

        定理2.4Q0-TV環(huán)是Q0-H環(huán).

        證明設(shè)R是Q0-TV環(huán),m是R的半正則極大w-理想,由引理1.3知m也是R的極大t-理想,因此m是v-理想,由定理2.2知,R是Q0-H環(huán).

        引理2.5設(shè)I是R的半正則v-理想,{Bi}是R的一簇包含I的v-理想,則

        定理2.6設(shè)R是Q0-TV環(huán),I是R的半正則t-理想,m是包含I的極大w-理想,設(shè){Bi}是R的包含I,但不包含于m的半正則t-理想的集合,則∩iBim.

        證明對任何B∈{Bi},Bm,由定理2.4知,m是極大v-理想.故(m+B)v=R,這推出m-1∩B-1=R.選擇x∈m-1-R,對任何B∈{Bi},x?B-1.由引理2.5,,故可取I的有限生成半正則理想I0,使得

        定理2.7設(shè)R是Q0-TV環(huán),I是R的半正則t-理想,則I只包含在有限多個極大w-理想中.

        證明設(shè){mi}表示R的包含I的極大w-理想的集合.注意,每一mi是半正則理想.對任意i,令由定理2.6知,所有包含I但不包含于mi的t-理想的交不包含于mi,從而Timi,因此對任何i,Tmi.由于I?T,故對任何半正則極大w-理想m,Tm,于是有Tt=R,從而1∈Tt.故存在有限多個T1,T2,…,Tn,使得

        設(shè)對應(yīng)的極大w-理想為m1,m2,…,mn,則m1,m2,…,mn就是包含I的全部極大w-理想.事實上,若還有極大w-理想mj,使得I?mj,則Ti?mj,i=1,2,…,n,因此?mj,矛盾.

        定理2.8Q0-Mori環(huán)是Q0-TV環(huán).

        證明若R是Q0-Mori環(huán),I是R的半正則t-分式理想,由參考文獻(xiàn)[6]定理2.5及2.7知,存在I的有限生成半正則分式理想J,使得Iv=Jv有

        I=It?Iv=Jv=Jt?It=I,

        故I=Iv,所以I是v-分式理想,故Q0-Mori環(huán)是Q0-TV環(huán).

        定理2.9設(shè)R是Q0-TV環(huán),則R的半正則極大w-理想是半正則極大v-理想.

        證明由引理1.3知.

        定理2.10設(shè)R是Q0-Mori環(huán),則R的半正則極大w-理想是極大v-理想,且對R的任何半正則理想I,只有有限多個半正則極大w-理想包含I.

        證明由定理2.8及定理2.9即知R的半正則極大w-理想是極大v-理想.

        注意到包含I的半正則極大w-理想必然包含It,故包含I,It的半正則極大w-理想是一樣的.由定理2.7知,It只包含在有限多個極大w-理想中,故I只包含在有限多個半正則極大w-理想中.

        推論2.11R是Q0-SM環(huán),則R的半正則極大w-理想是極大v-理想,且R的半正則理想只包含在有限多個半正則極大w-理想中.

        證明 由定理1.13及定理2.10知.

        3 Q0-SM環(huán)的w-全局變換環(huán)

        設(shè)p是R的半正則素t-理想,稱

        pn?pn-1?pn-2?…?p1=p0=p

        為R中長度為n的半正則素t-理想鏈,其中每個pi是R的半正則素t-理想,這樣的n的上確界稱為半正則素t-理想p的t-高度,記為t-htp=n.且定義t-dim(R)=sup{t-htp|p取遍R的所有半正則素t-理想}.與整環(huán)的全局變換環(huán)相對應(yīng),來定義交換環(huán)的w-全局變換環(huán)Rw*.Rw*={x∈Q0(R)|存在R的半正則極大w-理想p1,p2,…,pn,使得p1p2…pnx?R}.下面用w*-Max(R)來表示R的所有半正則極大w-理想的集合.對任何GV-無撓的Rw*-模B,用BW表示其作為Rw*-模的w-包絡(luò),以便與其作為R-模的w-包絡(luò)相區(qū)別.

        定義3.1設(shè)R?T是環(huán)擴(kuò)張,其中T作為R-模是GV-無撓模.如果T作為R-模是w-模,即Tw=T,則T叫做R上的w-linked擴(kuò)張.當(dāng)T?Q0(R)時,也稱T是R的w-linked擴(kuò)環(huán).

        引理3.2Rw*是R的w-linked擴(kuò)環(huán).

        致謝四川師范大學(xué)研究生優(yōu)秀論文培育基金(校研字20131434)對本文給予了資助,謹(jǐn)致謝意.

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