尹華玉, 陳幼華

（四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,四川成都610066）

1 引言及預(yù)備知識(shí)

本文恒設(shè)R是具有單位元的交換整環(huán)但不是域,K是R的商域.設(shè)A是K的R-子模,若存在非零元素a∈R,使得aA?R,這等價(jià)于存在非零元素c∈K,及R的非零理想I,使得A＝cI,則A稱為R的分式理想.從分式理想的定義可以看出,每個(gè)非零分式理想等價(jià)于一個(gè)非零理想,因此在關(guān)于整環(huán)的討論中,有時(shí)候用非零分式理想與非零理想互換,其等價(jià)刻畫的結(jié)論依然成立.以下用F（R）表示R的所有非零分式理想的集合,而所謂整環(huán)R上的星型算子,指的是從F（R）到自身上的一個(gè)映射*:A→A*,對(duì)?A,B∈F（R）,a∈K-0,滿足以下條件:

1） （a）*＝（a）,（aA）*＝aA*；

2） 若A?B,則A*?B*；

3） A?A*,且（A*）*＝A*.

對(duì)A∈F（R）,若A*＝A,則A稱為R的*-分式理想.若A是R的理想且A*＝A,則A稱為R的*-理想.若?B∈F（R）,使得（AB）*＝R,則 A稱為*-可逆的.若存在可數(shù)生成分式理想B,使得A*＝B*,則A稱為*-可數(shù)型的.對(duì)整環(huán)R,若其*-理想的乘積仍是*-理想,等價(jià)于說,對(duì)R的任何非零理想I和J,有（IJ）*＝I*J*,則稱R是*-乘法封閉的.令 A-1＝｛x∈K｜xA?R｝,有如下4類常見的星型算子:

1） Ad＝A；

2） Av＝（A-1）-1；

3）At＝∪｛Bv｜B取遍A的一切有限生成子分式理想｝；

4） Aw＝｛x∈K｜?J∈GV（R）,使 Jx?A｝,

其中,GV（R）＝｛J｜J是R的有限生成理想,且J-1＝R｝.關(guān)于星型算子的知識(shí)和文中的名詞術(shù)語及相關(guān)符號(hào)可參見文獻(xiàn)［1-20］.

設(shè)R是整環(huán),稱其為Krull整環(huán),如果它滿足如下條件:

1）R＝∩Rp,其中p取遍R的高度為1的素理想；

2）對(duì)R的任何高度為1的素理想p,Rp是離散賦值環(huán)；

3）R具有有限特征,即R中的每個(gè)非零元素只在有限多個(gè)賦值擴(kuò)環(huán)中是非單位的.

眾所周知,Krull整環(huán)是一類非常經(jīng)典的整環(huán),其研究結(jié)果相當(dāng)成熟.特別地,隨著20世紀(jì)80年代星型算子工具的引入,其研究顯得更加活躍.利用星型算子理論,Krull整環(huán)得到了更簡明的等價(jià)刻畫.例如,J.L.Mott等［21］證明了 R 是 Krull整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)非零理想是t-可逆的,F.G.Wang等［22］證明了R是Krull整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)R的每個(gè)非零理想是w-可逆的.另一方面,由Krull整環(huán)派生出與其性質(zhì)相似的整環(huán)類也成為眾多環(huán)論學(xué)者關(guān)注的研究對(duì)象,例如π-整環(huán)、pre-Krull整環(huán)、semi-Krull整環(huán)［23-25］等.所謂的 π-整環(huán),是指整環(huán)R滿足每個(gè)真主理想能表示為有限多個(gè)素理想的乘積.本文將通過可數(shù)理想、w-可數(shù)型理想與t-可數(shù)型理想,分別對(duì)Krull整環(huán)與π-整環(huán)進(jìn)行研究,從而進(jìn)一步導(dǎo)出π-整環(huán)上形式冪級(jí)數(shù)的一些容度準(zhǔn)則.

2 π-整環(huán)上形式冪級(jí)數(shù)的容度準(zhǔn)則

用K［［X］］*表示形式冪級(jí)數(shù)環(huán) K［［X］］中非零形式冪級(jí)數(shù)的集合.設(shè) f∈K［［X］］,用 c（f）表示K中由f的系數(shù)生成的R-子模,稱之為f的容度［2］.在討論π-整環(huán)上形式冪級(jí)數(shù)的容度準(zhǔn)則之前,首先給出Krull整環(huán)與π-整環(huán)的一些預(yù)備結(jié)論.

引理1［21-22］對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是Krull整環(huán)；

2）R的每個(gè)非零理想是w-可逆的；

3）R的每個(gè)非零理想是t-可逆的；

4）R的每個(gè)非零分式理想是w-可逆的；

5）R的每個(gè)非零分式理想是t-可逆的.

引理2［19］對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是π-整環(huán)；

2）R是w-乘法封閉的Krull整環(huán)；

3）R是t-乘法封閉的Krull整環(huán)；

4）R是v-乘法封閉的Krull整環(huán)；

5）R是w-乘法封閉的完全整閉整環(huán),且每一非零w-理想是v-理想.

定理3對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是Krull整環(huán)；

2）R的每個(gè)非零可數(shù)生成理想是w-可逆的；

3）R的每個(gè)非零可數(shù)生成理想是t-可逆的.

證明1）?2） 由引理1易知.

2）?3） 顯然.

3）?1） 設(shè)I是R的非零理想.假若對(duì)I的任意有限生成子理想J,都有It≠Jt,則存在It的無限子理想升鏈

這是一個(gè)矛盾.因此,存在I的某個(gè)有限生成子理想J,使得It＝Jt.顯然,J是t-可逆的,即存在分式理想 B,使得（JB）t＝R.故

（IB）t＝（ItB）t＝（JtB）t＝（JB）t＝R,

從而I也是t-可逆的.由引理1,R是Krull整環(huán).

推論4對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是Krull整環(huán)；

2）R的每個(gè)非零可數(shù)生成分式理想是w-可逆的；

3）R的每個(gè)非零可數(shù)生成分式理想是t-可逆的.

定理5對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是π-整環(huán)；

2）R的每個(gè)非零w-理想是可逆的；

3）R的每個(gè)非零t-理想是可逆的；

4）R的每個(gè)非零w-可數(shù)型的w-理想是可逆的；

5）R的每個(gè)非零t-可數(shù)型的t-理想是可逆的.

證明1）?3） 由文獻(xiàn)［26］中定理4.4即知.

1）+3）?2） 由引理2可得.

2）?4）?5） 顯然.

5）?3） 設(shè)I是R的非零t-理想.假若對(duì)I的任意有限生成子理想J,都有I≠Jt,則存在I的無限子理想升鏈

這是一個(gè)矛盾.因此,存在I的某個(gè)有限生成子理想J,使得I＝Jt,從而I是可逆的.

推論6對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是π-整環(huán)；

2）R的每個(gè)非零w-分式理想是可逆的；

3）R的每個(gè)非零t-分式理想是可逆的；

4）R的每個(gè)非零w-可數(shù)型的w-分式理想是可逆的；

5）R的每個(gè)非零t-可數(shù)型的t-分式理想是可逆的.

命題7對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是π-整環(huán)；

（2）對(duì)?A,B∈F（R）,都?C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

3）對(duì)?A,B∈F（R）,都?C∈F（R）,使得At＝BtCt；

4）對(duì)R的任意非零可數(shù)生成分式理想A、B,都?C∈F（R）,使得Aw＝BwCw；

5）對(duì)R的任意非零可數(shù)生成分式理想A、B,都?C∈F（R）,使得At＝BtCt.

證明1）?2） 設(shè)R是π-整環(huán),A,B∈F（R）.由引理1與引理2,R是w-乘法封閉的,且B是w-可逆的.于是（BB-1）w＝R,從而Aw＝（（BB-1）A）w＝（B（B-1A））w＝Bw（B-1A）w.令C＝B-1A,則C∈F（R）,且有Aw＝BwCw.

2）?4） 顯然.

4）?1） 設(shè)I是R的非零w-可數(shù)型的w-分式理想,則存在可數(shù)生成理想B,使得I＝Bw.顯然,又?C∈F（R）,使得Rw＝BwCw,即ICw＝R.于是I是可逆的,故由定理5,R是π-整環(huán).

1）?3）?（5） 類似于1）?2）?4）的證明可得.

定理8對(duì)整環(huán)R,以下各條等價(jià):

1）R是π-整環(huán)；

2）對(duì)?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

3）對(duì)?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t；

4）對(duì)?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）w＝c（g）wc（h）w；

5）對(duì)?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）t＝c（g）tc（h）t.

證明1）?2） 設(shè)f,g∈R［［X］］*,則c（f）,c（g）∈F（R）.由命題7,?C∈F（R）,使得c（f）w＝c（g）wCw.由推論6,Cw是可逆的,從而是有限生成的.不妨設(shè)Cw＝Rc1+…+Rcn,其中,c1,c2,…,cn∈K-0,則令h＝c1X+c1X2…+cnXn即可滿足要求.

2）?4） 顯然.

4）?1） 設(shè)I＝（Ra1+…+Ran+…）w是R的非零w-可數(shù)型的w-理想.令

f＝X, g＝a1X+…+anXn+…

則?h∈K［X］*,使得c（g）wc（h）w＝c（f）w.于是Ic（h）w＝R,即I是可逆的.故由定理5,R是π-整環(huán).

1）?3）?5） 類似于1）?2）?4）的證明可得.

推論9設(shè)R是π-整環(huán),則有:

1）對(duì)?f,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v；

2）對(duì)?f∈R［X］*,g∈R［［X］］*,都?h∈K［X］*,使得c（f）v＝c（g）vc（h）v.

證明由引理2與定理8可得.

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