馬澤強 王希勤 劉一民 孟華東

(清華大學(xué)電子工程系 北京 100084)

1 引言

稀疏恢復(fù)(Sparse Recovery,SR)是信號處理領(lǐng)域近年來興起的一個研究熱點[1－6]，主要關(guān)注具有稀疏性的信號。信號的稀疏性是指當(dāng)用一個1維向量表示信號時，信號向量中絕大多數(shù)位置的元素值等于零或十分接近零，只有少數(shù)位置的元素有顯著值，這樣的信號被稱為稀疏信號。稀疏恢復(fù)的主要思想是：在信號處理領(lǐng)域的很多場景中，信號向量往往本身具有稀疏性，或在某種變換之下具有稀疏性，對于稀疏信號，可以通過一定的方法進行壓縮觀測，使原來維度較大的信號以較小維度存儲，當(dāng)壓縮觀測滿足一定條件時，可以通過相應(yīng)的算法從壓縮觀測信號中恢復(fù)出原始的維度較大的稀疏信號，這一過程就叫做稀疏恢復(fù)。

稀疏恢復(fù)理論的數(shù)學(xué)模型可以用一個欠定線性方程組y=Ax的求解來說明，其中y為M×1的觀測信號，A為M×N的觀測矩陣(也稱為基矩陣)，其中M＜N，矩陣A的每一列可以認(rèn)為是一組基中的一個基向量。x為N×1的待恢復(fù)的稀疏信號向量。原始的稀疏恢復(fù)問題目標(biāo)是求出“最稀疏”的原始信號向量，即使信號向量中顯著分量數(shù)目最少，所以可以建模為一個l0范數(shù)最小化問題(l0范數(shù)定義為向量中非零元素的數(shù)目)：

其中ε為噪聲容限。由于 l0范數(shù)最小化問題是一個非凸優(yōu)化問題，直接求解的難度較大，所以很多情況下可以將該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為如式(2)所示的 l1范數(shù)最小化問題[6]：

在雷達信號處理領(lǐng)域，有許多場景會涉及到通過較少的觀測估計高分辨信號的問題，比如 SAR/ISAR成像、DOA/空間譜估計、自適應(yīng)陣列處理、空時2維自適應(yīng)處理等。在一定的變換下，這些待估計的信號具有稀疏性。目前國內(nèi)外已經(jīng)有大量學(xué)者開展了將稀疏恢復(fù)應(yīng)用到雷達信號處理中的研究。

空時 2維自適應(yīng)處理(Space-Time Adaptive Processing,STAP)技術(shù)是機載陣列雷達中一種重要的信號處理手段，其主要作用是抑制地雜波，檢測慢速小目標(biāo)[8]。傳統(tǒng)的STAP技術(shù)需要通過距離維上足量的獨立同分布的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本來獲得對雜波協(xié)方差矩陣的估計：

Reed等人的研究表明，如果陣元數(shù)為N，一個相干處理間隔(CPI)內(nèi)的相干脈沖數(shù)為 M，那么當(dāng)獨立同分布訓(xùn)練樣本數(shù)L＞2MN時，該方法可以獲得近似最優(yōu)性能。而在實際場景中，即使經(jīng)過子陣合成，雷達的陣元數(shù)N和相干脈沖數(shù)M也是較大的，所以往往很難得到滿足這一要求的足量平穩(wěn)訓(xùn)練樣本。為了減少所需的訓(xùn)練樣本數(shù)，研究者提出了許多降維或降秩的STAP算法，以及直接數(shù)據(jù)域STAP方法。但這些方法在降低所需樣本數(shù)的同時，往往會減小等效孔徑的大小，造成性能損失。所以，在雜波非均勻環(huán)境下，如何通過較少量的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本獲得對雜波的盡可能準(zhǔn)確的估計，是STAP技術(shù)面臨的一個重要問題。

圖1 傳統(tǒng)STAP方法與空時譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法示意圖Fig.1 The block diagram of traditional STAP method and SR-STAP

稀疏恢復(fù)在小樣本下的優(yōu)勢和STAP技術(shù)面臨的上述問題促使了基于稀疏恢復(fù)的 STAP技術(shù)(Sparse Recovery-based STAP，以下簡稱稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)或SR-STAP)的出現(xiàn)。目前已經(jīng)取得一定研究成果的稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)是基于空時譜稀疏性的空時譜估計-濾波器結(jié)構(gòu) SR-STAP方法[9]，本文主要對基于空時譜稀疏性的稀疏恢復(fù)STAP方法的已有研究成果進行總結(jié)，并對其中涉及到的其他一些研究方向進行簡要探討。

2 基于空時譜稀疏性的SR-STAP方法

2.1 譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP的基本框架

傳統(tǒng)的STAP算法可以分為兩個環(huán)節(jié)：即估計雜波特性(具體體現(xiàn)在對雜波協(xié)方差矩陣的估計上)和自適應(yīng)濾波。估計雜波協(xié)方差矩陣是通過直接將訓(xùn)練樣本的自相關(guān)矩陣求平均得到的，如圖1中“傳統(tǒng)STAP方法”對應(yīng)的實線框內(nèi)流程所示。

2009年，文獻[9]最先提出了正側(cè)視均勻線性陣列(ULA)情形下基于稀疏恢復(fù)的STAP方法，該方法先利用稀疏恢復(fù)對檢測單元雜波的空時譜進行估計，然后利用空時譜來估計雜波協(xié)方差矩陣。在這里我們將這種方法稱為譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法，如圖 1中“譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法”對應(yīng)的實線框內(nèi)流程所示。其基本結(jié)構(gòu)和傳統(tǒng)的STAP方法一樣，依然是使用檢測單元附近的訓(xùn)練樣本來估計雜波協(xié)方差矩陣，然后做自適應(yīng)濾波。兩者的核心差別在于利用采樣數(shù)據(jù)估計雜波協(xié)方差矩陣的方法，即圖1中虛線框內(nèi)所示的部分。

譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法是基于雜波空時譜的稀疏性建立的。如圖2所示，對于某一距離單元的采樣數(shù)據(jù)(以下稱為空時快拍)，如果對其做2維DFT變換，會得到多普勒頻率-波達角域的2維空時譜。由于機載雷達平臺的運動，地雜波散射源相對雷達會有一定的運動速度，那么雜波的多普勒頻率和波達角之間會有線性的關(guān)系fd=2v/ λ sin θ ，在空時譜平面上表現(xiàn)為一條斜線，稱之為雜波脊線。圖2為MountainTop數(shù)據(jù)146#距離單元的雜波空時譜，可以看出呈現(xiàn)稀疏特性。

理論和實驗都表明，雜波脊線在整個空時譜平面上占據(jù)較窄的一條“頻帶”[9]，將空時譜做向量化后得到一個稀疏向量，只有少數(shù)位置的元素有顯著值，對應(yīng)雜波散射源，其他大部分位置都接近零，只有噪聲分量。這是利用稀疏恢復(fù)進行雜波空時譜估計的重要前提和保證。在向量化的空時快拍x和向量化的空時譜α之間，存在著一個線性變換：

其中，n為觀測噪聲向量，Φ為空時導(dǎo)引矢量t排列組成的基矩陣，因為該基矩陣是在一個完備的正交基矩陣基礎(chǔ)上擴充得到的，其列向量組構(gòu)成了一組超完備基，所以又稱為超完備基矩陣：

其中Ns=ρsN是角度維的量化點數(shù)，Nd=ρdM是多普勒維的量化點數(shù)，其中ρs和ρd分別為空時譜估計時角度維和多普勒維的擴維系數(shù)。式(4)是一個典型的稀疏恢復(fù)問題的模型，可以使用稀疏恢復(fù)的方法求解。因此，空時譜估計的問題就轉(zhuǎn)化為如式(6)所示的一個稀疏恢復(fù)問題：

這里將稀疏恢復(fù)問題建模為l1范數(shù)最小化問題，通過求解這個稀疏恢復(fù)問題，可以獲得空時譜估計α。通過稀疏恢復(fù)估計空時譜的過程如圖3所示。

圖2 雜波空時譜稀疏性示意圖Fig.2 The sparsity of clutter space-time spectrum

圖3 利用稀疏恢復(fù)進行雜波空時譜估計示意Fig.3 Estimating clutter space-time spectrum using sparse recovery

另外一個十分重要的環(huán)節(jié)是建立起空時譜和雜波協(xié)方差矩陣之間的聯(lián)系，由式(4)以及雜波協(xié)方差矩陣的定義，Rxx=E[x xH]=E[ΦααHΦH]=Φ E[ααH]ΦH，可以得到式(7)所示的通過空時譜來估計雜波協(xié)方差矩陣的公式：

式(4)～式(7)是譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法的核心環(huán)節(jié)，即利用稀疏恢復(fù)從空時快拍x得到雜波協(xié)方差矩陣估計Rxx的完整流程。得到雜波協(xié)方差矩陣估計后的處理方法和傳統(tǒng)STAP方法一致，即構(gòu)造自適應(yīng)濾波器：

整個方法的流程如圖1中“譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)STAP方法”對應(yīng)的實線框內(nèi)所示。在該方法中，估計空時譜所用的仍然是來自檢測單元附近距離單元上的訓(xùn)練樣本，因此需要假設(shè)在檢測單元鄰近的若干個距離單元內(nèi)，雜波滿足局部平穩(wěn)，即局部范圍內(nèi)能夠獲得若干個滿足獨立同分布的訓(xùn)練樣本。在這種條件下，采用了稀疏恢復(fù)的直接優(yōu)勢就是能夠使用很少的訓(xùn)練樣本，就獲得和傳統(tǒng)方法接近甚至更優(yōu)的性能。

有多種譜估計方法可以實現(xiàn)從空時快拍得到空時譜估計，比如2維DFT,MUSIC,Capon等方法。相比稀疏恢復(fù)空時譜估計方法，這些方法都有明顯的不足，比如 DFT高旁瓣且分辨力受限于孔徑大小(即采樣數(shù)據(jù)維度)，Capon和MUSIC等傳統(tǒng)高分辨譜估計方法則需要足量的快拍才能工作。相比這些傳統(tǒng)譜估計方法，稀疏恢復(fù)的重要優(yōu)勢是，只需少量快拍即可實現(xiàn)高分辨的空時譜估計，進而獲得對雜波特性的較好估計。

STAP方法的最終性能體現(xiàn)在雜波抑制效果上。在自適應(yīng)濾波器的構(gòu)造方法相同的情況下，雜波協(xié)方差矩陣估計的質(zhì)量就成為了決定算法性能的關(guān)鍵因素。相關(guān)實驗結(jié)果說明，用稀疏恢復(fù)空時譜估計得到的雜波協(xié)方差矩陣的估計具有優(yōu)良的性能。圖4展示了在MountainTop數(shù)據(jù)上傳統(tǒng)STAP方法和譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的 SR-STAP方法的性能對比。圖4(a)，圖4(b)兩圖通過空時譜輸出結(jié)果的對比說明了SR-STAP具有更好的雜波抑制和目標(biāo)檢測性能，圖4(c)的結(jié)果證明了SR-STAP可有效抑制主雜波，使得最大的旁瓣雜波剩余比實際運動目標(biāo)低 8 dB左右。而利用同樣數(shù)據(jù)訓(xùn)練樣本傳統(tǒng)方法難以有效估計出實際雜波分布，因此經(jīng)過傳統(tǒng)方法雜波抑制，目標(biāo)還淹沒在周圍雜波剩余中，無法檢測出。

圖4 傳統(tǒng)STAP方法與空時譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法性能對比Fig.4 Performance comparison between traditional STAP methods and SR-STAP

從數(shù)學(xué)角度來看，譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法的基本框架和傳統(tǒng) STAP方法是一致的。如果將STAP看做一個優(yōu)化問題，其優(yōu)化的目標(biāo)都是最大化輸出信雜比SCNRout，由這個優(yōu)化目標(biāo)推導(dǎo)出來的最優(yōu)濾波器的形式都是 w=，所以問題的關(guān)鍵是獲得盡可能精準(zhǔn)的雜波協(xié)方差矩陣的估計。譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法的核心創(chuàng)新之處就在于避免了傳統(tǒng)方法使用大量樣本訓(xùn)練協(xié)方差矩陣的做法，將協(xié)方差矩陣的估計轉(zhuǎn)化為一個空時譜估計問題，并使用稀疏恢復(fù)方法求解。在這種框架下，提高SR-STAP性能的關(guān)鍵也就在于盡可能將雜波協(xié)方差矩陣Rxx估計準(zhǔn)確，即盡可能將雜波空時譜估計準(zhǔn)確。

下面對譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP框架下國內(nèi)外近年來的一些研究成果進行簡要介紹。

2.2 off-grid問題

譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法面臨著傅里葉基矩陣下稀疏恢復(fù)的一個共有問題：格子對不準(zhǔn)問題(off-grid)[11]，有些文獻也稱之為基失配問題(basis mismatch)[12,13]。在基于稀疏恢復(fù)的空時譜估計中，該問題描述如下：在構(gòu)造稀疏恢復(fù)問題的超完備基矩陣Φ時，需要將空時導(dǎo)引矢量的兩個參數(shù)，即雜波的多普勒頻率和波達角，進行離散化(格點劃分)。而真實回波中雜波的這兩個參數(shù)往往難以完全和預(yù)先劃分的參數(shù)格點嚴(yán)格對齊，這就是off-grid問題。圖5對空時譜估計中的off-grid問題進行了示意。圖5中“空時頻點”指多普勒頻率-波達角對。

在譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法中，offgrid會顯著影響空時譜估計的性能，進而引起雜波抑制效果的下降，所以研究針對 off-grid問題的稀疏恢復(fù)算法，對于提高譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP算法的性能很有意義。減少或消除off-grid問題帶來的影響，一個最自然的思路就是設(shè)計自適應(yīng)方法，尋找真實的基矩陣，即尋找雜波真實的多普勒頻率和波達角。

國外已經(jīng)有學(xué)者展開了對這一課題的研究。在2013年IEEE雷達會上出現(xiàn)了相關(guān)的論文[14]，提出了一種基于字典學(xué)習(xí)(dictionary learning)的稀疏恢復(fù)雜波空時譜估計方法CSDL算法。對于存在offgrid的基矩陣，假設(shè)在某個格點上構(gòu)造的多普勒頻率和波達角分別為fi和θi，真實雜波對應(yīng)的多普勒頻率和波達角分別為 fi+Δfi和 θi+Δθi，則真實的基矩陣中對應(yīng)的那一列導(dǎo)引矢量為：

那么，考慮了格點失配之后的稀疏恢復(fù)空時譜估計問題變?yōu)椋?/p>

其中基矩陣Φm為式(9)中包含格點誤差在內(nèi)的空時導(dǎo)引矢量構(gòu)成的基矩陣，Δα為空時譜估計的誤差。估計真實的基矩陣等效于估計空時頻點的誤差Δfi和Δθi，以及空時譜估計α和估計誤差Δα，建立以它們?yōu)閮?yōu)化變量的優(yōu)化問題：

其中fg和θg是對格點誤差范圍的限定，最后一個約束是限定多普勒頻率和波達角之間滿足雜波脊線的線性關(guān)系。優(yōu)化問題的求解在α,Δα和Δfi,Δθi之間交替進行：初始化時假設(shè)沒有格點誤差，得到關(guān)于空時譜α的初始估計，然后固定α和Δα，求解優(yōu)化問題式(11)得到Δfi,Δθi的估計；再利用Δfi,Δθi的估計構(gòu)造基矩陣Φm，再求解式(10)的稀疏恢復(fù)問題得到α,Δα的估計。如此交替進行，直至滿足收斂條件。

文獻[14]展示了該算法在KASSPER數(shù)據(jù)上的實驗結(jié)果，以歸一化輸出信雜噪比SINR為指標(biāo)，如圖6所示。

圖5 空時譜估計中格子對不準(zhǔn)問題示意Fig.5 The off-grid problem in space-time spectrum estimation

圖6 CSDL算法性能展示[14]Fig.6 Performance of CSDL algorithm[14]

根據(jù)該文獻展示的實驗結(jié)果，基于字典學(xué)習(xí)的CSDL算法能夠有效解決off-grid問題，估計出雜波在空時譜平面上的真實位置，具有較好的魯棒性。

2.3 MMV問題

在譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的SR-STAP方法中，有一類問題叫做多觀測向量問題(Multiple Measurement Vector,MMV)[15,16]，該問題表述如下：在雜波局部平穩(wěn)條件下，可以得到距離維上若干個快拍的平穩(wěn)訓(xùn)練樣本，在此條件下使用稀疏恢復(fù)做空時譜估計，需要研究如何聯(lián)合這多個快拍進行稀疏恢復(fù)才能充分利用多快拍中的信息，提高空時譜估計的精度和雜波抑制性能。

在2013年IEEE雷達會上發(fā)表了對該問題研究成果[17]，建立了混合l2,1范數(shù)優(yōu)化模型[18]來求解聯(lián)合稀疏恢復(fù)空時譜估計問題。在多快拍情形下，假設(shè)L個快拍組成的觀測數(shù)據(jù)矩陣為 X=[x1,x2,…,xL]，聯(lián)合稀疏恢復(fù)所得空時譜估計的結(jié)果組成的矩陣為A=[α1,α2,…,αL]，基矩陣仍然為 Φ ，那么多快拍情形下聯(lián)合稀疏恢復(fù)的數(shù)學(xué)模型為：

其中，N 為觀測噪聲矩陣。求解該問題的混合 l2,1范數(shù)優(yōu)化模型為：

其中混合l2,1范數(shù)為先對A的每一行求l2范數(shù)得到一個列向量，再對這個列向量求l1范數(shù)。對于稀疏恢復(fù)MMV問題，基本的假設(shè)是：多個觀測向量xi來自同一個隨機過程；它們都在同一個基矩陣下呈現(xiàn)稀疏特性，且這些稀疏向量αi具有相同的支撐集(即顯著元素的位置)，并且顯著元素的幅度服從同一隨機分布?！安煌炫膶?yīng)的稀疏空時譜具有相同的支撐集”這一假設(shè)是多快拍聯(lián)合稀疏恢復(fù)能夠進行的基本前提，在這個假設(shè)下，最小化混合l2,1范數(shù)的物理意義就很明顯：l2范數(shù)對稀疏向量本身的稀疏性并無影響，但可以通過l2范數(shù)將稀疏約束在不同快拍間互相增強，l1范數(shù)保證了稀疏性的約束。通過混合l2,1范數(shù)，多快拍中蘊含的支撐集位置的信息被充分挖掘，提高了稀疏恢復(fù)估計支撐集位置的準(zhǔn)確度[17,18]。

可以證明，式(13)仍然是一個凸優(yōu)化問題，可以用凸優(yōu)化算法求解。在聯(lián)合稀疏恢復(fù)的結(jié)果A求得后，可以通過對行求l2范數(shù)獲得最終的稀疏譜估計。圖7展示了該方法在仿真數(shù)據(jù)下的實驗結(jié)果。

圖7 聯(lián)合稀疏恢復(fù)空時譜估計實驗結(jié)果[17]Fig.7 Space-time spectrum estimation with jointly sparse recovery[17]

對于混合 l2,1范數(shù)優(yōu)化問題還可以做一步的研究，比如在空時譜估計問題中該凸優(yōu)化問題的針對性求解方法、多快拍情形下涉及陣列誤差和 offgrid問題時的自適應(yīng)聯(lián)合稀疏恢復(fù)等。

2.4 共型陣問題

共型陣(ConFormal Array,CFA)配置在飛機機身、機翼或機頭等部位，其形狀和所配置部位的機體形狀一致，具有載荷重量小、孔徑數(shù)大、觀測范圍廣等優(yōu)點，因此研究共型陣下的STAP方法也具有重要意義[19－21]。共型陣條件下，雜波空時譜中波達角和多普勒頻率不再成線性關(guān)系，并且隨著距離變化。因此利用檢測單元附近的訓(xùn)練樣本估計的雜波協(xié)方差矩陣和真實雜波協(xié)方差矩陣特性并不一致，導(dǎo)致自適應(yīng)濾波器的雜波抑制性能下降。針對隨距離變化的雜波場景，已經(jīng)有若干方法出現(xiàn)，其中基于距離配準(zhǔn)補償?shù)?RBC算法就是較有代表性的一種[22,23]。該方法首先估計機載雷達平臺的參數(shù)信息以及雜波場景的散射強度分布，然后設(shè)計變換矩陣以使得經(jīng)過處理后的訓(xùn)練樣本和檢測單元配準(zhǔn)。RBC算法可以同時實現(xiàn)主瓣和旁瓣雜波的有效補償，但由于 RBC基于子孔徑做空時譜估計，因此性能受限，限制后續(xù)配準(zhǔn)處理的性能。

文獻[24,25]最早將稀疏恢復(fù)引入了共型陣列的STAP方法研究之中，提出了基于RBC算法和稀疏恢復(fù)的SR-RBC方法，將平臺參數(shù)估計和雜波估計統(tǒng)一在稀疏恢復(fù)環(huán)節(jié)中解決，并且該方法基于完整孔徑估計，沒有系統(tǒng)自由度(Degree Of Freedom,DOF)損失，譜估計性能較好，魯棒性也較高。

圖8 機載圓柱體共型陣列示意[10]Fig.8 Airborne cylindrical arrays[10]

SR-RBC方法建立在如下的基本共型陣模型上：如圖8所示，假設(shè)x,y和z軸分別代表正北、正西和垂直地球表面的方向；共型陣為圓柱形陣列，由M個圓形陣列環(huán)組成，圓環(huán)陣列和y軸垂直且均勻平行排列，每個圓形陣列中有N個均勻分布的陣元。對于地面上靜止的雜波散射源Q，其空間方位角和俯仰角分別為φ和θ，記為角度向量Ψ=[φ,θ]T，電磁波的方向向量記為k(Ψ)，那么空域?qū)б噶亢蜁r域?qū)б噶糠謩e為：

其中sm,n表示第m個陣列環(huán)的第n個陣元的方向向量，vp代表載機運動速度矢量，P為CPI內(nèi)相干脈沖數(shù)。那么，在不考慮距離模糊、陣列誤差的情況下，第 k個距離環(huán)的回波數(shù)據(jù)可以表示為：xk=。其中是第k個距離單元上第q個雜波散射源對應(yīng)的空時導(dǎo)引矢量，αq,k代表第k個距離單元上第q個雜波散射源的散射強度。需要注意的是，不同于正側(cè)視ULA陣列，在共型陣條件下，雜波散射源的空時導(dǎo)引矢量不僅與其所在方位角有關(guān)，而且和距離相關(guān)，同樣的方位角上不同距離環(huán)上的雜波散射源對應(yīng)的空時導(dǎo)引矢量也是不同的。所以，對于不同的距離單元k，需要構(gòu)造不同的超完備基矩陣kΦ。對于整個圓柱體陣列來講，其等效孔徑維度為NM，而CPI內(nèi)相干脈沖數(shù)為P，所以對多普勒頻率-波達角參數(shù)平面量化為 Ns=ρsNM,Nd=ρdP，量化之后的多普勒頻率-波達角對表示為(fi,φj)。那么，第k個距離單元的回波數(shù)據(jù)可用如式(14)方程表示：

在利用稀疏恢復(fù)方法得到高分辨的空時譜估計之后，和傳統(tǒng) RBC方法一樣，還可以進一步設(shè)計變換矩陣，對不同距離單元的回波數(shù)據(jù)進行距離配準(zhǔn)。傳統(tǒng) RBC方法通過子孔徑平滑獲得多個低維度的子孔徑，進而利用 Capon等方法獲得頻譜估計，所以性能有一定的損失。傳統(tǒng) RBC方法采取提取頻譜主要分量估計平臺參數(shù)，進而估計雜波散射源散射強度的方法。SR-RBC方法將空時譜估計和平臺參數(shù)估計結(jié)合在一起，并且空時譜估計是基于完整孔徑的，沒有系統(tǒng)自由度損失，譜估計性能更好。

圖9 SR-RBC空時譜估計性能[24]Fig.9 Perfoamance of space-time spectrum estimation with SR-RBC[24]

文獻[24]給出了非正側(cè)視共型陣的實驗結(jié)果，如圖9所示。圖中結(jié)果說明，SR-RBC由于利用了全孔徑，可以得到分辨率更高、精度更高的譜估計。

圖10 SR-RBC改善因子性能[24]Fig.10 The improvement factor of SR-RBC[24]

圖10表明，在共型陣條件下，由于不同距離單元的雜波特性并不一致，傳統(tǒng)的LSMI算法估計的雜波凹口位置不準(zhǔn)，性能下降嚴(yán)重；RBC算法和SR-RBC算法都可以實現(xiàn)雜波脊線主瓣和旁瓣的配準(zhǔn)以及抑制，但由于 RBC的平臺參數(shù)和雜波特性估計都是基于子孔徑的，所以有一定的性能損失。而SR-RBC算法是基于全孔徑的，沒有孔徑損失，并且是直接基于快拍數(shù)據(jù)的估計。總體來看，在共型陣條件下，由于不同距離單元的雜波特性完全不同，因此基于稀疏恢復(fù)的STAP方法具有巨大的優(yōu)勢和潛力。共型陣的具體形式多種多樣，針對不同的共型陣形式開展基于稀疏恢復(fù)的STAP方法的針對性研究也是很有意義的。

2.5 直接數(shù)據(jù)域SR-STAP

前面所介紹的空時譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP方法都是基于訓(xùn)練樣本的，即對雜波特性的估計是基于檢測單元鄰近距離單元的訓(xùn)練樣本完成的。在雜波極度非均勻、非正側(cè)視陣列、共型陣列等條件下，訓(xùn)練樣本的雜波特性和檢測單元的雜波特性會有較大差別，因此基于訓(xùn)練樣本的STAP方法總是面臨著檢測單元雜波特性難以精準(zhǔn)估計的問題。為此，人們提出了基于檢測單元采樣數(shù)據(jù)對檢測單元本身的雜波特性進行估計的方法，這就是直接數(shù)據(jù)域STAP方法[26,27]。

經(jīng)典的直接數(shù)據(jù)域方法一般采用滑動子孔徑方法。比如D3LS方法[26,28]，假設(shè)在正側(cè)視ULA陣列下，陣元數(shù)和一個 CPI內(nèi)的相干脈沖數(shù)分別為 N和M，并且假設(shè)關(guān)心的目標(biāo)的多普勒頻率和角度的大致位置已知(在實際中這一點是可能實現(xiàn)的，可以根據(jù)其他傳感器預(yù)先獲知感興趣目標(biāo)的大致位置)，D3LS方法選擇一個小于原始孔徑維度的子孔徑，沿著采樣空時快拍數(shù)據(jù)矩陣滑動處理，對目標(biāo)所在的多普勒頻率-波達角，在相鄰的兩個子孔徑間對消，然后將子孔徑樣本進行合成處理，進而獲得自適應(yīng)濾波器。D3LS方法雖然可以在一定程度上消除潛在目標(biāo)的影響，獲得不含潛在目標(biāo)的雜波特性的估計，但這是以犧牲孔徑維度為代價的，子孔徑的維度小于原始孔徑維度，導(dǎo)致分辨能力下降，對雜波特性的估計精度下降。

針對D3LS方法的不足，文獻[29]提出了基于稀疏恢復(fù)的直接數(shù)據(jù)域STAP方法，稱作D3SR方法。該方法假設(shè)陣列為非正側(cè)視ULA陣列(正側(cè)視只是非正側(cè)視的一個特例，該方法仍然適用)，并且假設(shè)感興趣目標(biāo)所在空時平面上的區(qū)域(SOI)已知。在非正側(cè)視情形下，雜波空時譜為一系列的橢圓脊線，并且不同距離環(huán)上的橢圓雜波脊線并不重合。

D3SR方法首先利用稀疏恢復(fù)對檢測單元做高分辨的空時譜估計，假設(shè)檢測單元采樣數(shù)據(jù)為x，和基于訓(xùn)練樣本的譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法一樣，用空時導(dǎo)引矢量構(gòu)造超完備基矩陣Φ，那么，對向量化的空時譜α的估計就轉(zhuǎn)化為求解如式(15)所示的欠定方程：

理論和實驗都表明，在非正側(cè)視情形下，雜波在空時平面上表現(xiàn)為一系列的橢圓脊線(正側(cè)視情形下退化為線性關(guān)系)，雜波顯著分量在空時平面上占據(jù)的比例很小，所以雜波的空時譜α滿足稀疏性，方程式(15)可以使用稀疏恢復(fù)的方法求解。在文獻[29]所提的 D3SR方法中，使用了一種針對該方法進行修正和改進的 FOCUSS算法來求解該稀疏恢復(fù)問題，具體過程在這里不詳述。

直接從檢測單元得到的高分辨的空時譜估計準(zhǔn)確反映了檢測單元的雜波特性，比使用鄰近距離單元訓(xùn)練樣本得到的空時譜估計可信度更高。由于一般情況下信雜比較低，目標(biāo)被雜波所淹沒，很難直接提取出來，所以直接在檢測單元空時譜估計上做檢測的想法并不十分可行。D3SR方法采取了利用空時譜估計構(gòu)造自適應(yīng)濾波器的方法。由于空時譜估計中可能包含潛在目標(biāo)，所以如果直接用該空時譜來估計雜波協(xié)方差矩陣，很可能在自適應(yīng)濾波的時候?qū)⒛繕?biāo)也抵消掉。為了避免這種情況發(fā)生，必須使用潛在目標(biāo)空時位置的先驗信息。假設(shè)我們已經(jīng)從先驗信息中獲得目標(biāo) SOI區(qū)域的大致估計Γ(θs,fd)，那么，我們使用去除了區(qū)域Γ的空時譜分量來估計雜波協(xié)方差矩陣：

圖11展示了在非正側(cè)視情形下D3SR方法與D3LS方法的性能對比，可以看到，D3SR方法由于利用了全孔徑，空時譜估計性能更佳，所以構(gòu)造的自適應(yīng)濾波器性能也更優(yōu)。濾波之后空時平面的輸出中，雜波脊線已經(jīng)基本被完全消除(圖11(b))，而D3LS方法由于利用子孔徑滑動導(dǎo)致譜估計性能的損失，其濾波輸出中雜波分量還有明顯殘余(圖11(a))。距離維的濾波輸出和改善因子也證明了D3SR方法的優(yōu)勢。

D3SR方法不需要訓(xùn)練樣本即可有效估計檢測單元的雜波特性，有效避免了訓(xùn)練樣本和檢測單元失配的影響，在雜波環(huán)境劇烈變化或非正側(cè)視情形下具有明顯優(yōu)勢和很好的應(yīng)用潛力。直接數(shù)據(jù)域SR-STAP中還涉及到一些問題，例如獲得潛在目標(biāo)區(qū)域先驗信息的有效方法、D3SR方法潛在的快速算法等，都值得進一步深入研究。

3 有待進一步研究的問題

從信號處理結(jié)構(gòu)的角度，如果把STAP方法看作一個系統(tǒng)，其輸入是空時2維的觀測數(shù)據(jù)，其輸出是濾波之后的空時 2維頻譜(或主波束方向的多普勒頻譜)，通過深入分析 STAP技術(shù)的本質(zhì)和算法流程，挖掘其中可以被化歸成和稀疏恢復(fù)相關(guān)的環(huán)節(jié)和步驟，可以形成不同的基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)。

從應(yīng)用場景的角度，STAP技術(shù)應(yīng)用的場景主要可以分為線性均勻陣列(ULA)和非ULA兩大類，ULA中又可以分為正側(cè)視ULA和非正側(cè)視ULA，非 ULA陣列主要是指共型陣。根據(jù)不同的工程應(yīng)用場景，STAP方法本身會有不同，相應(yīng)的稀疏恢復(fù)STAP方法也會有區(qū)別。

表1列出了基于稀疏恢復(fù)的STAP方法這一問題的框架和結(jié)構(gòu)，從信號處理結(jié)構(gòu)和應(yīng)用場景兩個角度進行了劃分，其中有些問題是已經(jīng)有學(xué)者研究過并給出了系統(tǒng)的結(jié)論，在表1中用打鉤的方式進行了標(biāo)注，并且前文已經(jīng)進行了綜述；而空白處的相關(guān)問題尚未見到相關(guān)成果發(fā)表。

圖11 非正側(cè)視情形下D3LS與D3SR性能對比[29]Fig.11 Performance comparison between D3LS and D3SR in non side-looking case[29]

從表1可以看出，目前基于稀疏恢復(fù)的STAP方法的研究大部分都集中在正側(cè)視 ULA陣列情形下，對于非正側(cè)視 ULA陣列以及共型陣列的情形則只有較少的研究成果發(fā)表。在實際工程應(yīng)用場景中，非正側(cè)視 ULA陣列以及共型陣相關(guān)的問題有很高的應(yīng)用價值，對于在這些場景下引入稀疏恢復(fù)之后的STAP方法的研究，具有重要意義。在非正側(cè)視ULA以及共型陣情形下，雜波空時譜的稀疏性仍然滿足，所以空時譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)的 SRSTAP的基本思想仍然適用，但是涉及到的其他一些具體問題仍有待進一步深入研究。在非正側(cè)視陣列情形下，off-grid、陣列誤差[30]，理想MMV，非理想MMV，降維/降秩等問題仍然存在。

表1 基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)的問題結(jié)構(gòu)Tab.1 The structure of sparse recovery based STAP technology

現(xiàn)有的稀疏恢復(fù)STAP技術(shù)建立在雜波空時譜稀疏性的基礎(chǔ)上，基于已有的常規(guī)信號觀測結(jié)構(gòu)。但從壓縮感知與稀疏恢復(fù)的理論角度，完整的壓縮感知和稀疏恢復(fù)過程應(yīng)該包括這樣兩個環(huán)節(jié)：由經(jīng)過設(shè)計的特定觀測結(jié)構(gòu)對稀疏信號進行壓縮采樣和對壓縮觀測信號進行稀疏恢復(fù)。所以，如果能夠從壓縮感知理論出發(fā)，設(shè)計特定的信號觀測結(jié)構(gòu)，保證壓縮感知理論對觀測矩陣的要求，并進一步在STAP處理環(huán)節(jié)采取相應(yīng)的稀疏恢復(fù)方法，那么整個信號的觀測和處理流程就會更加完善，處理性能也有望得到提升。

4 總結(jié)與展望

本文對基于稀疏恢復(fù)的STAP技術(shù)的已有研究成果進行了綜述。首先介紹了基于空時譜稀疏性的譜估計-濾波器結(jié)構(gòu)SR-STAP方法，然后對這一框架下的若干具體問題及最新研究成果進行了介紹，最后對其他潛在的研究方向進行了討論。

壓縮感知與稀疏恢復(fù)是信號處理領(lǐng)域近年來一個十分重要的研究方向。將其應(yīng)用于STAP技術(shù)既是對自適應(yīng)處理理論的擴充，在實際工程應(yīng)用上也具有很高的價值。目前的研究現(xiàn)狀表明，這一問題的研究尚處在起步階段，在理論研究和工程應(yīng)用上都有很多工作需要開展。希望本文能夠給對這一研究方向感興趣的讀者提供參考和啟發(fā)。

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