徐克龍

摘 要：線性代數(shù)與化學(xué)理論有著很多的聯(lián)系。量子化學(xué)就是建立在線性Hilbert空間的理論基礎(chǔ)上的，沒有很好的線性代數(shù)的基礎(chǔ)，不可能很好的掌握量子化學(xué)。而如今新藥的研發(fā)和化學(xué)都離不開量子化學(xué)的計算。隨著化學(xué)科技和信息技術(shù)的發(fā)展，線性代數(shù)對化學(xué)的影響越來越多，應(yīng)用也越來越來廣泛。對線性代數(shù)的基本意義和在化學(xué)涉及的常見理論進(jìn)行了簡述，并通過例子來具體說明線性代數(shù)在化學(xué)理論中的應(yīng)用，對進(jìn)一步了解抽象的線性代數(shù)很有意義。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；化學(xué)；量子

1 線性代數(shù)與線性關(guān)系[1][2]

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個部分，線性代數(shù)處理的是線性關(guān)系的問題。線性代數(shù)是理工科、?？茖W(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課，它既是學(xué)習(xí)計算數(shù)學(xué)、微分方程、離散數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也在工程技術(shù)和自然科學(xué)中被廣泛應(yīng)用。代數(shù)英文是Algebra，起源于阿拉伯語。它的原意是“結(jié)合在一起”，代數(shù)能夠把原來很多不相關(guān)的沒有聯(lián)系的事物結(jié)合在一起，從而進(jìn)行抽象。抽象是為了更好地解決問題，同時也是為了能讓我們更好的工作，能大大提高我們的工作效率，我們可以通過學(xué)習(xí)線性代數(shù)來把很多問題歸為一種問題解決，線性代數(shù)中的行列式、矩陣和向量尤為重要，在以下討論的量子化學(xué)中也應(yīng)用到行列式和矩陣的知識。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，線性代數(shù)的含義也不斷的擴(kuò)大。它的理論不僅滲透到了數(shù)學(xué)的許多分支中，而且在理論化學(xué)、工程技術(shù)、航天、生物技術(shù)、理論物理、航海等領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用。線性代數(shù)在很多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用，這又是因為什么呢？原因可以歸結(jié)為以下幾點。

1.1 大千世界的許多現(xiàn)象是成線性變化的。例如牛頓第二定律，物體的加速速度同它所受到的力成正比，這就是一個線性方程。量子化學(xué)中物質(zhì)的波粒二象性的薜定諤方程，也是線性方程組。

1.2 我們在研究單個變量的關(guān)系時，也必須由此聯(lián)想到多個變量之間的關(guān)系。因而大多數(shù)的實際問題都可以用線性關(guān)系來解決，這也是線性代數(shù)被廣泛應(yīng)用的原因。

1.3 線性代數(shù)從具體概念到抽象的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對于提高科學(xué)智能是很有用的。

2 物理化學(xué)中的量子化學(xué)[3][4]

量子化學(xué)是物理化學(xué)中的一部分，量子化學(xué)可分基礎(chǔ)研究和應(yīng)用研究兩大類，基礎(chǔ)研究主要是尋求量子化學(xué)中的自身規(guī)律，建立量子化學(xué)的多體方法和計算方法等，多體方法包括化學(xué)鍵理論、密度矩陣?yán)碚摵蛡鞑プ永碚?，以及多級微擾理論、群論和圖論在量子化學(xué)中的應(yīng)用等。應(yīng)用研究是利用量子化學(xué)方法處理化學(xué)問題，用量子化學(xué)的結(jié)果解釋化學(xué)現(xiàn)象。量子化學(xué)的計算方法主要分為：（1）分子軌道法；（2）價鍵法。分子軌道法，它是原子軌道對分子的推廣，即在物理模型中，假定分子中的每個電子在所有原子核和電子所產(chǎn)生的平均勢場中運動，即每個電子可由一個單電子函數(shù)來表示它的運動狀態(tài)，并稱這個單電子函數(shù)為分子軌道，而整個分子的運動狀態(tài)則由分子所有的電子的分子軌道組成（乘積的線性組合），這就是分子軌道法名稱的由來。量子力學(xué)有五個基本假設(shè)：

假設(shè)一：對于一個微觀體系，它的狀態(tài)和由該狀態(tài)所決定的各種物理性質(zhì)可用波函數(shù)

Ψ（x， y， z，t）表示。Ψ是體系的狀態(tài)函數(shù)，是體系中所有粒子坐標(biāo)的函數(shù)，也是時間函數(shù)。

假設(shè)二：對于一個微觀體系的每個可觀測的物理量，都對應(yīng)著一個線性自軛算符 。

假設(shè)三：若某一物理量A的算符B作用于某一狀態(tài)函數(shù)Ψ，等于某一常數(shù)a乘以Ψ，即BΨ=aΨ。那么對Ψ所描述的這個微觀體系的狀態(tài)，物理量A具有確定的數(shù)值a。a稱為物理量算符B的本征值，Ψ稱為本征波函數(shù)。

假設(shè)四：若Ψ1，Ψ2，Ψ3，...Ψn為某一微觀體系的可能狀態(tài)，則由他們的線性組合所得的Ψ也是該體系可能存在的狀態(tài)。

假設(shè)五：在同一原子軌道或分子軌道上，最多只能容納倆個電子，這兩個電子的自旋狀態(tài)必須相反?；蛘哒f，兩個自旋相同的電子不能占據(jù)同一軌道。這一假設(shè)在量子力學(xué)中通常表達(dá)為：描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數(shù)，對任意兩粒子的全部坐標(biāo)（空間坐標(biāo)和自旋坐標(biāo)）進(jìn)行交換，一定得反對稱的波函數(shù)。

在以上的量子力學(xué)中五個假設(shè)中也用到了線性代數(shù)的相關(guān)知識，假設(shè)二中有線性自軛算符，而在假設(shè)三中自軛算符的第二項重要性質(zhì)就是歸一性，在假設(shè)四中態(tài)疊加原理中也有線性組合系數(shù)。在以上我們所討論的幾個方面中我們了解了什么是線性代數(shù)，線性代數(shù)被廣泛應(yīng)用的原因，物理化學(xué)中的量子力學(xué)。雖然不能全面的，精確地解釋線性代數(shù)和化學(xué)的聯(lián)系。但從他們各自的解釋中我們也不難看出線性代數(shù)在量子力學(xué)中的應(yīng)用，量子化學(xué)是建立在線性Hilbert空間的理論基礎(chǔ)上的，沒有很好的線性代數(shù)的基礎(chǔ)，不可能很好的掌握量子化學(xué)。當(dāng)我剛剛接觸物理化學(xué)的第一節(jié)課時，對物理化學(xué)的印象是特別抽象難懂，但經(jīng)過幾節(jié)課的學(xué)習(xí)后發(fā)現(xiàn)，線性代數(shù)對學(xué)習(xí)這門物理化學(xué)的幫助也是很大的，特別是在下面的一節(jié)中更多的用到了線性代數(shù)的知識，下面就讓我們一起看一下。

在利用變分法解Schrodinger方程時，利用了線性變分法求出線性組合系數(shù)，進(jìn)而得到波函數(shù)，此外在解方程的時候也應(yīng)用到了對稱矩陣的知識，利用學(xué)到的線性代數(shù)中的行列式的知識，得到了久期方程組以及久期行列式，在原子軌道線性組合為分子軌道中，久期方程是指關(guān)于組合系數(shù)的線性齊次方程組。該方程組有不全為零的解的條件是由系數(shù)所構(gòu)成的行列式等于零，此行列式稱為久期行列式。久期方程是對任意線性齊次方程組而言的。任意線性齊次方程組有根的條件是其系數(shù)行列式為零。這說明幾個方程不是線性無關(guān)的，即至少有一組線性相關(guān)的解組。一般用久期方程判斷方程組有無根的性質(zhì)來確定某方程組的系數(shù)。

3 線性代數(shù)在化學(xué)方程式系數(shù)配平中的作用

從配平化學(xué)方程式的線性代數(shù)法介紹可知，用線性代數(shù)法配平化學(xué)反應(yīng)方程式時，只需求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系.這種方法簡單、易行，然而，此方法并不是對所有反應(yīng)方程式的配平都適用。在化學(xué)方程的配平中，以前我們進(jìn)常用的方法氧化值法，電子法，離子電子法、觀察法等，這些方法都有他們的局限性，他們只對簡單的化學(xué)方程式的配平有效，他們只是專門針對某一個特定的化學(xué)反應(yīng)，因而不具有普遍性，但利用線性代數(shù)的方法解決化學(xué)方程式系數(shù)配平的問題就簡單方便了，由此我們有一次看出了線性代數(shù)對化學(xué)產(chǎn)生了重要影響，線性代數(shù)與化學(xué)倆者之間聯(lián)系密切，相互關(guān)聯(lián)，相互作用。

4 結(jié)束語

線性代數(shù)對化學(xué)產(chǎn)生重要的影響，線性代數(shù)與化學(xué)之間密不可分，相互聯(lián)系，相互作用。線性代數(shù)中的行列式、矩陣運算、初等變換與線性方程組、向量的線性相關(guān)性、矩陣的對角化及二次型能與化學(xué)產(chǎn)生聯(lián)系?，F(xiàn)在所學(xué)的物理化學(xué)很抽象，特別難理解，但是結(jié)合線性代數(shù)和微積分來理解，就能更加深入了解這些化學(xué)理論知識的意義。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.工程數(shù)學(xué)-線性代數(shù)（第5版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]王萼芳，石生明.高等代數(shù)（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[3]夏少武，夏樹偉.量子化學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2010.

[4]天津大學(xué)物理化學(xué)教研室.物理化學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2009.